rekursive Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:58 Mo 02.12.2013 | | Autor: | Alex1993 |
Hallo Leute,
anscheinend spielt das Thema Folgen & Reihen momentan in vielen Vorlesungen eine Rolle. So auch bei mir:
ich habe folgende rekursive Folge:
ist [mm] 0
1. Bestimmen sie den Grenzwert der Folge
2. Zeigen sie, das lim n gegen unendlich [mm] \frac{1-x_{n+1}}{1-x_{n}} [/mm] = 0,5 ist
zu 1. leider weiß ich nicht genau wie man den Grenzwert einer rekursiven Folge bestimmt. Beweisen kann ich ihn ja dann durch Induktion. Aber ich habe ja nichtmals einen festen Wert für [mm] x_1 [/mm] . Wie kann ich dann einen Grenzwert bestimmen?
zu 2. Hier habe ich die Gleichung:
[mm] \frac{1-\wurzel{x_{n}}}{1-x_{n}} [/mm] = [mm] \frac{(1-\wurzel{x_{n}})*(1+\wurzel{x_{n}})}{(1-x_{n})*(1+\wurzel{x_{n}})}
[/mm]
= [mm] \frac{1-x_{n}}{1-x_{n}*(1+\wurzel{x_{n}})} [/mm] = [mm] \frac{1}{1+\wurzel{x_{n}}}
[/mm]
lim n gegen unendlich von diesem Term = [mm] \frac{1}{1+1} [/mm] = 0,5
da [mm] \wurzel{x_n} [/mm] für n gegen unendlich ja gegen 1 geht oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:38 Mo 02.12.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Alex!
> zu 1. leider weiß ich nicht genau wie man den Grenzwert
> einer rekursiven Folge bestimmt.
Unter der Voraussetzung, dass die Folge [mm] $x_n$ [/mm] wirklich konvergiert (das muss bewiesen werden!), gilt für den Grenzwert $x \ := \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n$ [/mm] :
$x \ := \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n$
[/mm]
Daraus folgt dann die Bestimmungsgleichung:
$x \ = \ [mm] \wurzel{x}$
[/mm]
> zu 2. Hier habe ich die Gleichung:
> [mm]\frac{1-\wurzel{x_{n}}}{1-x_{n}}[/mm] = [mm]\frac{(1-\wurzel{x_{n}})*(1+\wurzel{x_{n}})}{(1-x_{n})*(1+\wurzel{x_{n}})}[/mm]
Bis hierhin gut.
> = [mm]\frac{1-x_{n}}{1-x_{n}*(1+\wurzel{x_{n}})}[/mm] =
Hir fehlen entscheidende Klammern im Nenner.
> [mm]\frac{1}{1+\wurzel{x_{n}}}[/mm]
Was Dich aber dennoch auf das richtige Ergebnis führt.
> lim n gegen unendlich von diesem Term = [mm]\frac{1}{1+1}[/mm] = 0,5
> da [mm]\wurzel{x_n}[/mm] für n gegen unendlich ja gegen 1 geht
Hast Du das bereits bewiesen mit dem Grenzwert 1?
Wenn ja, ist alles okay.
Wenn nein ... beweisen!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Mo 02.12.2013 | | Autor: | Alex1993 |
also wegen 0< [mm] x_1 [/mm] <1 geht [mm] \wurzel{x_n} [/mm] für n gegen unendlich doch gegen [mm] \wurzel{1}=1 [/mm] oder? daher ist der Grenzwert doch 1 oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 Mo 02.12.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Alex!
> also wegen 0< [mm]x_1[/mm] <1 geht [mm]\wurzel{x_n}[/mm] für n gegen
> unendlich doch gegen [mm]\wurzel{1}=1[/mm] oder? daher ist der
> Grenzwert doch 1 oder?
Das stimmt vom Ergebnis her schon.
Aber ein Beweis ist das doch nicht, oder?!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 Mo 02.12.2013 | | Autor: | Alex1993 |
ja aber wie beweise ich dies denn? Induktion würde ja nur bei einer Ungleichung funtkionieren
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:22 Mo 02.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
eine Folge konvergiert, wenn sie monoton steigt und nach oben beschränkt ist, oder wenn sie monoton fällt und nach unten beschränkt ist.
also hier zu zeigen : [mm] x_n\le1 [/mm] und [mm] x_{n+1}> x_n [/mm] direkt oder per Induktion
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:32 Mo 02.12.2013 | | Autor: | Alex1993 |
per Induktion ist doch eigentlich schwierig oder? da ich ja keinen festen Wert für [mm] x_1 [/mm] habe
IV) [mm] \wurzel{x_n} \le [/mm] 1
IS) [mm] \wurzel{x_n+1} \le [/mm] 1
aber wie kann ich das weiter umformen? ich weiß ja nur, dass [mm] x_1 \le [/mm] 1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:37 Mo 02.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] x_1<1 [/mm] daraus [mm] \wurzel{x_1}<1 [/mm] oder [mm] x_1^2
oder wenn du lieber mit Zahlen >1 rechnest [mm] 1/x_1>1 \wurzel{1/x_1}
Monotonie der Wurzelfkt, oder der Quadrat. fkt
Gruß leduart
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