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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:12 Fr 11.11.2011 | | Autor: | nobodon |
| Aufgabe | [mm] $a_n [/mm] = [mm] \alpha*a_{n-1} [/mm] + [mm] \beta*a_{n-2}$
[/mm]
ist eine rekursive Folge [mm] $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] mit [mm] $a_0,a_1, \alpha,\beta \in \mathbb{R}$ [/mm] mit $ 0 < [mm] a_o [/mm] < [mm] a_1$ [/mm] und [mm] $\alpha,\beta \geq [/mm] 0$
Man beweise: Die Folge [mm] $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$
[/mm]
(1) ist unbeschränkt, falls [mm] $\alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] > 1$
(2) ist beschränkt, falls [mm] $\alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] = 1$
(3) ist Nullfolge, falls [mm] $\alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] < 1$ |
Hey Leute,
nach min 5 Studen frustiertes Rechnen.. bin ich zum Entschluss gekommen, dass ich folgende Aufgabe nicht alleine lösen kann:
Meine Ansätze sind alle s****e:
Wollte erst mal zeigen, dass bei
(3)stets [mm] $a_n [/mm] < [mm] a_{n-1}$ [/mm] dann würde die Folge gegen Null streben, weil das nächste Folgeglied kleiner als das vorige ist.
(2),(1) wollte zeigen, dass [mm] $a_n$ [/mm] irgendwie in Relation, also [mm] $<$,$>$,$\geq$,$\leq$, [/mm] zu [mm] $a_{n-1}$ [/mm] steht.
Ich hab nichts hinbekommen... es kam immer sowas oder ähnliches raus:
[mm] $a_n [/mm] < [mm] a_{n-1} [/mm] + [mm] a_{n-2} [/mm] > [mm] a_{n-1}$
[/mm]
damit kann ich nun wirklich nichts anfangen....
Es wäre nett wenn ihr mir einfach sagt was zu machen ist, anstatt mir Denkanstöße zu geben
mit freundlichen Gruß
Simon@dankbar für jede Hilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:12 Fr 11.11.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Simon,
mir fällt dazu auch gerade nichts ein.
Dafür kann ich Dir für den 2. Fall, also [mm] \alpha+\beta=1, [/mm] den Grenzwert verraten. Die Folge läuft gegen [mm] c=\bruch{a_1\alpha+a_2}{\alpha+1}
[/mm]
Daraus erkennt man vor allem, dass [mm] \min{(a_1,a_2)} [/mm] eine untere Schranke und [mm] \max{(a_1,a_2)} [/mm] eine obere Schranke ist.
Außerdem ist vielleicht hilfreich, dass [mm] b_n=a_n-c [/mm] eine alternierende Nullfolge ist - und der Grenzwert damit selbst keine Schranke darstellt.
Vielleicht hilft es Dir, einen Weg für den 2. Fall zu finden, der m.E. sowieso der entscheidende ist, auch um die beiden andern zu lösen.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:48 Sa 12.11.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]a_n = \alpha*a_{n-1} + \beta*a_{n-2}[/mm]
> ist eine rekursive
> Folge [mm](a_n)_{n\in\mathbb{N}}[/mm] mit [mm]a_0,a_1, \alpha,\beta \in \mathbb{R}[/mm]
> mit [mm]0 < a_o < a_1[/mm] und [mm]\alpha,\beta \geq 0[/mm]
>
> Man beweise: Die Folge [mm](a_n)_{n\in\mathbb{N}}[/mm]
>
> (1) ist unbeschränkt, falls [mm]\alpha + \beta > 1[/mm]
> (2) ist
> beschränkt, falls [mm]\alpha + \beta = 1[/mm]
> (3) ist Nullfolge,
> falls [mm]\alpha + \beta < 1[/mm]
> Hey Leute,
>
> nach min 5 Studen frustiertes Rechnen.. bin ich zum
> Entschluss gekommen, dass ich folgende Aufgabe nicht
> alleine lösen kann:
>
>
>
> Meine Ansätze sind alle s****e:
> Wollte erst mal zeigen, dass bei
> (3)stets [mm]a_n < a_{n-1}[/mm] dann würde die Folge gegen Null
> streben, weil das nächste Folgeglied kleiner als das
> vorige ist.
Das ist zwar hinreichend, aber nicht notwendig für eine Nullfolge. Besser ist es, von der Definition einer Nullfolge auszugehen und [mm] $|a_n-a_{n-1}|$ [/mm] zu untersuchen.
Es ist ja im Fall (3) [mm] $0\le \alpha,\beta [/mm] <1$ und [mm] $\beta <1-\alpha$, [/mm] und daher
[mm] a_n-a_{n-1} = (\alpha-1)a_{n-1} + \beta a_{n-2} < (\alpha-1)a_{n-1} + (1-\alpha)a_{n-2} [/mm] .
(1) geht analog.
> (2),(1) wollte zeigen, dass [mm]a_n[/mm] irgendwie in Relation,
> also [mm]<[/mm],[mm]>[/mm],[mm]\geq[/mm],[mm]\leq[/mm], zu [mm]a_{n-1}[/mm] steht.
(2) geht gut mit Induktion: nimm an, dass alle Folgenglieder bis einschließlich [mm] $a_{n-1}$ [/mm] beschränkt sind [mm] ($a_k\le [/mm] C$ für alle $k < n$) und folgere, dass [mm] $a_n
Viele Grüße
Rainer
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Hallo nobodon,
> [mm]a_n = \alpha*a_{n-1} + \beta*a_{n-2}[/mm] ist eine rekursive
> Folge [mm](a_n)_{n\in\mathbb{N}}[/mm] mit [mm]a_0,a_1, \alpha,\beta \in \mathbb{R}[/mm]
> mit [mm]0 < a_o < a_1[/mm] und [mm]\alpha,\beta \geq 0[/mm]
>
> Man beweise: Die Folge [mm](a_n)_{n\in\mathbb{N}}[/mm]
>
> (1) ist unbeschränkt, falls [mm]\alpha + \beta > 1[/mm]
> (2) ist beschränkt, falls [mm]\alpha + \beta = 1[/mm]
> (3) ist Nullfolge, falls [mm]\alpha + \beta < 1[/mm]
Alternative: Verwende die Abschätzung
[mm] (\alpha+\beta)\min(a_{n-1},a_{n-2})\leq a_n=\alpha*a_{n-1}+\beta*a_{n-2}\leq(\alpha+\beta)\max(a_{n-1},a_{n-2})
[/mm]
zusammen mit (1),(2) und (3).
LG
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