rekursive/explizite Darstellun < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:56 Di 14.09.2010 | | Autor: | azrael1 |
| Aufgabe | Weisen Sie nach, dass die folgenden rekursiv definierten Folgen [mm] {a_{n}}_{n\in\IN} [/mm] jeweils die angegebene explizite Darstellung haben.
a) [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(n+1)!} [/mm] - [mm] \bruch{a_{n}}{n+1} [/mm] , [mm] a_{1} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1 + (-1)^{n}}{2n!} [/mm] |
Hallo,
also ich vermute mal, man soll hier durch Induktion von beiden Seiten zeigen, dass jeweils die angegebene Darstellung rauskommt. Nur was ist hier jeweils der Induktionsschritt.
Also bei [mm] "\Leftarrow" [/mm] ist klar, dass n [mm] \to [/mm] n+1, was ist aber bei [mm] "\Rightarrow" [/mm] zu zeigen? n [mm] \to [/mm] n-1 ? Was mache ich dann allerdings mit dem [mm] a_{n}? [/mm] Darf ich das durch Induktionsvoraussetzung mit dem rechten ersetzen? Denn das wäre ja eigentlich zu zeigen oder?
Gut wäre, wenn jemand eine allgemeine Vorgehensweise bei der Umwandlung von rekursiven in explizite (und umgekehrt) Darstellungen hätte.
Vielleicht kann mir auch gleich noch jemand zeigen, wie man denn bei Folgen meistens, oder am besten die Beschränktheit anhand der Definition zeigt. Also: [mm] \exists [/mm] Schranke [mm] S:\forall n\in \IN [/mm] : [mm] |a_{n}| \le [/mm] S
Bisher hab ich das nur recht schwammig gelöst gesehen, nämlich, dass etwas in der Art dran stand: Offensichtlich ist die Folge nach unten durch 0 beschränkt...
Es ist ja nicht gezeigt, wenn man die Schranke hinschreibt. Würdet ihr das allgemein auch über Induktion machen oder gibt es da elegantere und einfachere Lösungen? Bzw. ab wann gilt bei der Schranke "gezeigt".
Vielen Dank soweit :D
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Guten Abend,
> Weisen Sie nach, dass die folgenden rekursiv definierten
> Folgen [mm]{a_{n}}_{n\in\IN}[/mm] jeweils die angegebene explizite
> Darstellung haben.
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> a) [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{(n+1)!}[/mm] - [mm]\bruch{a_{n}}{n+1}[/mm] , [mm]a_{1}[/mm]
> = 0 [mm]\Rightarrow a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{1 + (-1)^{n}}{2n!}[/mm]
>
> Hallo,
>
> also ich vermute mal, man soll hier durch Induktion von
> beiden Seiten zeigen, dass jeweils die angegebene
> Darstellung rauskommt. Nur was ist hier jeweils der
> Induktionsschritt.
> Also bei [mm]" $="" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$" \leftarrow=""> ist klar, dass n ![$\to[/mm] n+1, was ist
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<font class=]() > aber bei [mm]" $="" src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$" \rightarrow=""> zu zeigen? n ![$\to[/mm] n-1 ? Was mache ich
</font>
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<font class=]() > dann allerdings mit dem [mm]a_{n}?[/mm] Darf ich das durch
> Induktionsvoraussetzung mit dem rechten ersetzen? Denn das
> wäre ja eigentlich zu zeigen oder?
> Gut wäre, wenn jemand eine allgemeine Vorgehensweise bei
> der Umwandlung von rekursiven in explizite (und umgekehrt)
> Darstellungen hätte.
>
Warum willst du denn $n [mm] \to [/mm] n-1$ zeigen, das bringt dir doch nicht viel.
Wenn du für ein [mm] $n_0$ [/mm] zeigen kannst, dass dafür explizit gleich rekursiv ist und dann $n [mm] \to [/mm] n+1$ hast du doch alles gezeigt!
Das ist doch grad DIE Idee bei der Induktion!
> Vielleicht kann mir auch gleich noch jemand zeigen, wie man
> denn bei Folgen meistens, oder am besten die
> Beschränktheit anhand der Definition zeigt. Also: [mm]\exists[/mm]
> Schranke [mm]S:\forall n\in \IN[/mm] : [mm]|a_{n}| \le[/mm] S
> Bisher hab ich das nur recht schwammig gelöst gesehen,
> nämlich, dass etwas in der Art dran stand: Offensichtlich
> ist die Folge nach unten durch 0 beschränkt...
Wenn du z.B. zeigen kannst dass [mm] $a_{n+1}>a_{n}$ [/mm] und [mm] $a_0=0$ [/mm] dann ist offensichtlich 0 eine untere Schranke! ;)
> Es ist ja nicht gezeigt, wenn man die Schranke
> hinschreibt. Würdet ihr das allgemein auch über Induktion
> machen oder gibt es da elegantere und einfachere Lösungen?
> Bzw. ab wann gilt bei der Schranke "gezeigt".
>
> Vielen Dank soweit :D
>
Ich hoffe das hilft dir ein wenig!
lg Kai
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:57 Mi 15.09.2010 | | Autor: | azrael1 |
"Warum willst du denn $ n [mm] \to [/mm] n-1 $ zeigen, das bringt dir doch nicht viel.
Wenn du für ein $ [mm] n_0 [/mm] $ zeigen kannst, dass dafür explizit gleich rekursiv ist und dann $ n [mm] \to [/mm] n+1 $ hast du doch alles gezeigt!
Das ist doch grad DIE Idee bei der Induktion!"
Weil ich dachte, dass man in beide Richtungen zeigen muss.
Also würde es deiner Meinung nach ausreichen, nur [mm] "\Leftarrow" [/mm] mit n [mm] \to [/mm] n+1 zu zeigen und im Induktionsanfang ein [mm] n_{0} [/mm] angeben (hier [mm] n_{1} [/mm] = 1, für das beide Darstellungen gleich sind.
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> Also würde es deiner Meinung nach ausreichen, nur [mm] \Leftarrow [/mm] mit [mm]n \to n+1[/mm] zu
> zeigen und im Induktionsanfang ein [mm] n_{0} [/mm] angeben (hier [mm] n_{1} = 1[/mm], für das beide
> Darstellungen gleich sind.
Eigentlich eher rekursive Vorschrift [mm]\rightarrow[/mm] explizite Vorschrift
Das ist genau der Punkt: "Weisen Sie nach, dass die folgenden rekursiv definierten Folgen [mm] {a_{n}}_{n\in\IN} [/mm] jeweils die angegebene explizite Darstellung haben. "
rekursiv: [mm] a_{n} = \bruch{1}{(n)!} - \bruch{a_{n-1}}{n} [/mm]
explizit: [mm] b_{n} = \bruch{1 + (-1)^{n}}{2n!} [/mm]
Ich würde so vorgehen:
IA:
[mm]a_2=b_2[/mm]?
[mm]a_2=0.5-0=0.5[/mm]
[mm]b_2=0.5[/mm]
IS:
I-vor: [mm]a_n=b_n[/mm]
I-Beh: [mm]a_{n+1}=b_{n+1}[/mm]
I-Bew: [mm]a_{n+1}= \bruch{1}{(n+1)!} - \bruch{a_{n}}{n+1} =\ldots =\bruch{1}{(n)!} - \bruch{a_{n-1}}{n} + X = a_n +X = b_n +X = b_{n+1} [/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:16 Mi 15.09.2010 | | Autor: | azrael1 |
Hat niemand eine andere Vorgehensweise? Das entspricht nicht gerade meinem gewohnten Induktionsschema...
Verstehe auch nicht, was ich dann mit dem [mm] a_{n-1} [/mm] machen sollte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:28 Mi 15.09.2010 | | Autor: | fred97 |
Vielleicht bist Du das gewohnt:
Beh.: [mm] $a_n [/mm] = [mm] \bruch{1+(-1)^n}{2n!}$ [/mm] für jedes n aus [mm] \IN.
[/mm]
Beweis:
Ind. - Anfang: man sieht sofort, dass die Beh. für n=1 richtig ist.
Ind. Vor.: es sei n [mm] \in \IN [/mm] und
(1) [mm] $a_n [/mm] = [mm] \bruch{1+(-1)^n}{2n!}$
[/mm]
n [mm] \to [/mm] n+1:
(2) [mm] $a_{n+1}= \bruch{1}{(n+1)!}-\bruch{a_n}{n+1}$
[/mm]
So nun bist Du dran. Zeige mit Hilfe von (1) und (2) (und durch geschicktes Zusammenfassen), dass gilt:
[mm] $a_{n+1}=\bruch{1+(-1)^{n+1}}{2(n+1)!}$
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:37 Mi 15.09.2010 | | Autor: | azrael1 |
Wenn man es so herum machen darf, finde ich die letzte Version am Besten. Jemand irgendwelche Einwände dagegen?
Vielen Dank und bis bald.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:39 Mi 15.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> Wenn man es so herum machen darf,
............. was meinst Du damit ? "so herum " ?
> finde ich die letzte
> Version am Besten. Jemand irgendwelche Einwände dagegen?
Ich habe keine Einwände aber ich frage mich langsam, was Du unter einem Induktionsbeweis verstehst ? Klär mich auf
FRED
>
> Vielen Dank und bis bald.
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