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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - rekursive folge
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rekursive folge: stimmt's ?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:19 Mi 09.11.2011
Autor: meely

Aufgabe
Es sei x1 = 1 und x(n+1) [mm] =\sqrt{1 + x(n)} [/mm] . Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion: x(n)<x(n+1)

hallo :)

habe gerade dieses beispiel begonnen.
mein ansatz wäre:

1.) induktionsanfang: [mm] x1=1
2.) induktionsvorraussetzung: es gelte x(n)<x(n+1)

3.) induktionsschluss:

[mm] x(n+1)=\sqrt{1 + x(n)}<\sqrt{1 + x(n+1)}=x(n+2) [/mm]

[mm] 1+x(n)<1+x(n+1)=1+\sqrt{1 + x(n)} [/mm]

[mm] x(n)<\sqrt{1 + x(n)} [/mm] <- führt wieder auf induktionsvorraussetzung

wäre mein beispiel damit gelöst ? oder reicht es nicht das zu zeigen ?

Liebe Grüße eure meely :)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
rekursive folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:48 Mi 09.11.2011
Autor: donquijote


> Es sei x1 = 1 und x(n+1) [mm]=\sqrt{1 + x(n)}[/mm] . Zeigen Sie
> mittels vollständiger Induktion: x(n)<x(n+1)
>  hallo :)
>  
> habe gerade dieses beispiel begonnen.
>  mein ansatz wäre:
>  
> 1.) induktionsanfang: [mm]x1=1
>  
> 2.) induktionsvorraussetzung: es gelte x(n)<x(n+1)
>  
> 3.) induktionsschluss:
>  
> [mm]x(n+1)=\sqrt{1 + x(n)}<\sqrt{1 + x(n+1)}=x(n+2)[/mm]
>  
> [mm]1+x(n)<1+x(n+1)=1+\sqrt{1 + x(n)}[/mm]
>  
> [mm]x(n)<\sqrt{1 + x(n)}[/mm] <- führt wieder auf
> induktionsvorraussetzung
>  
> wäre mein beispiel damit gelöst ? oder reicht es nicht
> das zu zeigen ?

Doch, die Lösung ist ok so. Ich würd's noch ein bisschen anders hinschreiben:
Induktionsvoraussetzung x(n)<x(x+1)
[mm] \Rightarrow 1+x(n)<1+x(n+1)\Rightarrow \sqrt{1+x(n)}<\sqrt{1+x(n+1)}\Leftrightarrow [/mm] x(n+1)<x(n+2)=x((n+1)+1)

>  
> Liebe Grüße eure meely :)
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


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Bezug
rekursive folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:54 Mi 09.11.2011
Autor: meely

vielen dank :) warst mir ne große hilfe. war schon ganz verzweifelt ob meine lösung korrekt ist

Liebe Grüße

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Bezug
rekursive folge: anderes beispiel
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:09 Mi 09.11.2011
Autor: meely

Aufgabe
g(n) sei rekursiv deniert durch: g(1)=1 , g(n+1)=(g(n)²)/(1+g(n))

Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass g(n) > 0 für alle n ≥ 1 und
berechnen Sie g(n) für n ≤ 5

hab noch eine kurze frage. kann mir jemand einen tipp bzw. ansatz geben dieses beispiel zu lösen.

habe jetzt probiert zu zeigen dass diese folge monoton wachsend ist

also: g(n+1)<g(n+2)

und komme auf -(1/2) > g(n) für monoton wachsend.  da aber in der angabe steht dass g(n)>0 sein soll für n [mm] \ge [/mm] 1 folgt daraus dass meine folge für -(1/2) < g(n) monoton fallend ist ?!

leider habe ich bei diesem beispiel keine ahnung wie ich es angehen soll :(

Bezug
                        
Bezug
rekursive folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:16 Mi 09.11.2011
Autor: donquijote


> g(n) sei rekursiv deniert durch: g(1)=1 ,
> g(n+1)=(g(n)²)/(1+g(n))
>  
> Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass g(n) >
> 0 für alle n ≥ 1 und
>  berechnen Sie g(n) für n ≤ 5
>  hab noch eine kurze frage. kann mir jemand einen tipp bzw.
> ansatz geben dieses beispiel zu lösen.
>  

g(n+1)=(g(n)²)/(1+g(n))>0 zu zeigen, ist nicht schwer, da nach Induktionsvoraussetzung Zählen und Nenner >0 sind

> habe jetzt probiert zu zeigen dass diese folge monoton
> wachsend ist
>  
> also: g(n+1)<g(n+2)

monoton wachsend muss nicht sein.
Wenn du dir ein Bild machen willst, wie sich die Folge verhält, löst du erst den zweiten Teil der Aufgabe, dh. du berechnest g(2),...,g(5)

>  
> und komme auf -(1/2) > g(n) für monoton wachsend.  da aber
> in der angabe steht dass g(n)>0 sein soll für n [mm]\ge[/mm] 1
> folgt daraus dass meine folge für -(1/2) < g(n) monoton
> fallend ist ?!
>  
> leider habe ich bei diesem beispiel keine ahnung wie ich es
> angehen soll :(


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rekursive folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:31 Mi 09.11.2011
Autor: meely


> g(n+1)=(g(n)²)/(1+g(n))>0 zu zeigen, ist nicht schwer, da
> nach Induktionsvoraussetzung Zählen und Nenner >0 sind
>  

also meinst du, dass ich zuerst zeigen muss:

1+g(n) > 0 --> [mm] g(n)\not=(-1) [/mm]
g(n)>-1

--> g(n)² > (-1)²=1



>  
> monoton wachsend muss nicht sein.
>  Wenn du dir ein Bild machen willst, wie sich die Folge
> verhält, löst du erst den zweiten Teil der Aufgabe, dh.
> du berechnest g(2),...,g(5)
>  

für g(1) --> g(2)= 1/(1+1) = 1/2

g(3)=1/6 , g(4)=1/42 , g(5)=1/1806

also monoton fallend :)

wäre die aufgabe damit komplett gelöst oder habe ich noch etwas bei der beweisführung vergessen ?

Liebe Grüße meely

Bezug
                                        
Bezug
rekursive folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:47 Mi 09.11.2011
Autor: reverend

Hallo meely,

> > g(n+1)=(g(n)²)/(1+g(n))>0 zu zeigen, ist nicht schwer, da
> > nach Induktionsvoraussetzung Zählen und Nenner >0 sind
>
> also meinst du, dass ich zuerst zeigen muss:
>  
> 1+g(n) > 0 --> [mm]g(n)\not=(-1)[/mm]
>  g(n)>-1
>  
> --> g(n)² > (-1)²=1

[haee] Was rechnest Du da für Unsinn?

[mm] g_n>0\Rightarrow g_n^2>0 \wedge 1+g_n>0\ \Rightarrow \bruch{g_n^2}{1+g_n}=g_{n+1}>0 [/mm]

> > monoton wachsend muss nicht sein.
>  >  Wenn du dir ein Bild machen willst, wie sich die Folge
> > verhält, löst du erst den zweiten Teil der Aufgabe, dh.
> > du berechnest g(2),...,g(5)
>
> für g(1) --> g(2)= 1/(1+1) = 1/2
>  
> g(3)=1/6 , g(4)=1/42 , g(5)=1/1806

Stimmt.

> also monoton fallend :)

Das hast Du damit noch nicht gezeigt. Vielleicht wachsen die Folgenglieder ab g_88417 ja wieder.

> wäre die aufgabe damit komplett gelöst oder habe ich noch
> etwas bei der beweisführung vergessen ?

Wenn hier schon die komplette Aufgabe steht, dann hast Du alles ermittelt, was gefragt war.

Grüße
reverend


Bezug
                                                
Bezug
rekursive folge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:04 Mi 09.11.2011
Autor: meely


> Hallo meely,
>  
>  
> [haee] Was rechnest Du da für Unsinn?
>  
> [mm]g_n>0\Rightarrow g_n^2>0 \wedge 1+g_n>0\ \Rightarrow \bruch{g_n^2}{1+g_n}=g_{n+1}>0[/mm]
>  

naja dass g(n)>0 ist für n [mm] \ge [/mm] 1 muss ich doch zeigen ?! dass ist doch nur ne annahme der angabe die ich beweisen muss ?

deshalb hab ich gesagt 1+g(n) > 0 da ja der nenner nicht null sein darf. wobei mir gerade einfällt dass ich auch den fall < 0 betrachten müsste...

> > > monoton wachsend muss nicht sein.
>  >  >  Wenn du dir ein Bild machen willst, wie sich die
> Folge
> > > verhält, löst du erst den zweiten Teil der Aufgabe, dh.
> > > du berechnest g(2),...,g(5)
>  >

> > für g(1) --> g(2)= 1/(1+1) = 1/2
>  >  
> > g(3)=1/6 , g(4)=1/42 , g(5)=1/1806
>  
> Stimmt.
>  
> > also monoton fallend :)
>  
> Das hast Du damit noch nicht gezeigt. Vielleicht wachsen
> die Folgenglieder ab g_88417 ja wieder.

danke da stimme ich dir zu :) ist aber eigentlich nicht mal gefragt.

>  
> > wäre die aufgabe damit komplett gelöst oder habe ich noch
> > etwas bei der beweisführung vergessen ?
>  
> Wenn hier schon die komplette Aufgabe steht, dann hast Du
> alles ermittelt, was gefragt war.
>  
> Grüße
>  reverend
>  

vielen dank reverend :)

Liebe Grüße meely

Bezug
                                                        
Bezug
rekursive folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:23 Mi 09.11.2011
Autor: reverend

Hallo nochmal,

> > [mm]g_n>0\Rightarrow g_n^2>0 \wedge 1+g_n>0\ \Rightarrow \bruch{g_n^2}{1+g_n}=g_{n+1}>0[/mm]
>
> naja dass g(n)>0 ist für n [mm]\ge[/mm] 1 muss ich doch zeigen ?!

Das musst Du in der Tat. Es ist ja die eigentliche Aufgabe.

> dass ist doch nur ne annahme der angabe die ich beweisen
> muss ?

Nein, das oben ist der Induktionsschritt. Wenn [mm] g_n>0 [/mm] ist, dann ist auch [mm] g_{n+1}>0. [/mm] Und zusammen mit der Angabe [mm] g_1=1 [/mm] heißt das, dass alle [mm] g_n>0 [/mm] für [mm] n\in\IN [/mm] sind.

> deshalb hab ich gesagt 1+g(n) > 0 da ja der nenner nicht
> null sein darf. wobei mir gerade einfällt dass ich auch
> den fall < 0 betrachten müsste...

Nein, das musst Du nicht.

Grüße
reverend


Bezug
                                                                
Bezug
rekursive folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:22 Do 10.11.2011
Autor: meely

Danke hast mir sehr geholfen lieber reverend :)

Liebe Grüße, meely :)

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Induktion"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


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