relative Abweichung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:15 Sa 03.07.2010 | | Autor: | Rutzel |
Hallo zusammen,
eigentlich kam folgendes in der statistischen Physik auf, ist also auch gespickt von Begriffen, welche eigentlich gar nicht klar definiert sind.
Die Sachlage:
Man hat eine Zufallsvariable [mm] X=x_1+x_2+...+x_N, [/mm] deren Wahrscheinlichkeitsverteilung durch W(X) gegeben sei.
Die einzelnen [mm] x_i [/mm] kann man wie beim Random Walk als einzelne Schrittlängen interpretieren und X dann als die Endposition nach dem Random Walk. Insgesamt werden N Schritte gemacht
Wir konnten nun zeigen, dass
[mm] \frac{\Delta X}{\bar{X}} [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{N}} \frac{\Delta x_1}{\bar{x_1}}
[/mm]
gilt. (Beachte den Strich auf dem X) Hierbei bezeichnet [mm] \Delta [/mm] X die Varianz von X und [mm] \bar{X} [/mm] (Strich auf dem X!) der Erwartungswert von X. Dito für [mm] x_1.
[/mm]
Damit folgt, dass [mm] \frac{\Delta X}{\bar{X}} [/mm] für große N wie [mm] \frac{1}{\sqrt{N}} [/mm] gegen 0 geht.
Daraus soll sofort folgen, dass die Verteilung W(X) für große N "genügend scharf "um [mm] \bar{X} [/mm] ist.
Aber, ich finde das nicht so offensichtlich, dass man aus einer gegen 0 gehenden relativen Abweichung [mm] \frac{\Delta X}{\bar{X}} [/mm] schließen kann, dass die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung W(x) "scharf um" [mm] \Delta [/mm] X ist.
Kann man das mathematisch zeigen. (Die Frage ist natürlich auch, wie man denn nun dieses "scharf um" mathematisch korrekt fassen soll. Intuitiv ist klar, was gemeint ist: W(x) ist Peak-Artig und wird immer schmaler und höher für große N)
Viele Grüße,
Rutzel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:28 So 04.07.2010 | | Autor: | Rutzel |
Hallo,
habe jetzt nochmals eine ähnliche Aussage bei einem andere Problem gefunden:
[Dateianhang nicht öffentlich]
(hier ein Link zum Bild: ![[]](/images/popup.gif) klick!)
Das ist zwar kein Random - Walk wie oben, aber die Aussage ist ähnlich und verdeutlich evtl. um was es mir geht.
Wie folgert man aus
"relative Abweichung [mm] \propto \frac{1}{\sqrt{N}}"
[/mm]
dass gilt
"Verteilung ist scharf"
?
Viele Grüße,
Rutzel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 So 18.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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![[]](http://img145.imageshack.us/img145/3708/verteilungscharf.png){kind=small}
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