relative Kompaktheit < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:04 So 10.04.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Hallo, ich muss zeigen (soll anscheinend ganz einfach sein!):
Eine Teilmenge [mm] K\subseteq M\subseteq [/mm] X ist kompakt relativ M [mm] \Leftrightarrow [/mm] K ist kompakt in X. |
Eine Teilmenge [mm] K\subseteq [/mm] X ist in einem metrischen Raum kompakt, wenn jede Folge in K mindestens eine Teilfolge hat, die in X konvergiert. [Korrekt?]
Demnach wäre meine Idee:
[mm] "\Leftarrow [/mm] ":
Es sei [mm] K\subseteq M\subseteq X [/mm] und K sei kompakt relativ M. Dann besitzt also jede Folge [mm] (x_n)_{n\in IN} [/mm] mit [mm] x_n\in [/mm] K mindestens eine Teilfolge, die in M konvergiert. Nun ist ja [mm] M\subseteq [/mm] X, d.h. das alles "passiert" auch in X. Also ist K AUCH in X kompakt.
[mm] "\Rightarrow [/mm] ":
Sei K kompakt in X. Das bedeutet, dass jede Folge in K mindestens eine Teilfolge hat, die in X konvergiert.
An dieser Stelle komme ich nun ins Stocken?
Wie bekomme ich jetzt gezeigt, dass K kompakt relativ M ist: Was ist denn hier M?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:47 Mo 11.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, ich muss zeigen (soll anscheinend ganz einfach
> sein!):
> Eine Teilmenge [mm]K\subseteq M\subseteq[/mm] X ist kompakt relativ
> M [mm]\Leftrightarrow[/mm] K ist kompakt in X.
> Eine Teilmenge [mm]K\subseteq[/mm] X ist in einem metrischen Raum
> kompakt, wenn jede Folge in K mindestens eine Teilfolge
> hat, die in X konvergiert. [Korrekt?]
>
> Demnach wäre meine Idee:
>
> [mm]"\Leftarrow[/mm] ":
> Es sei [mm]K\subseteq M\subseteq X[/mm] und K sei kompakt relativ
> M. Dann besitzt also jede Folge [mm](x_n)_{n\in IN}[/mm] mit [mm]x_n\in[/mm]
> K mindestens eine Teilfolge, die in M konvergiert. Nun ist
> ja [mm]M\subseteq[/mm] X, d.h. das alles "passiert" auch in X. Also
> ist K AUCH in X kompakt.
>
> [mm]"\Rightarrow[/mm] ":
> Sei K kompakt in X. Das bedeutet, dass jede Folge in K
> mindestens eine Teilfolge hat, die in X konvergiert.
>
> An dieser Stelle komme ich nun ins Stocken?
> Wie bekomme ich jetzt gezeigt, dass K kompakt relativ M
> ist: Was ist denn hier M?
Das frage ich mich auch ! Wenn M=X ist, dann lautet obige Aussage:
K ist relativ kompakt in X [mm] \gdw [/mm] K ist kompakt in X.
Das ist aber falsch. Bsp.: X= [mm] \IR [/mm] , K=(0,1)
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Mo 11.04.2011 | | Autor: | dennis2 |
Das ist ja seltsam!!
Dann ist die Aufgabe falsch gestellt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Mo 11.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Das ist ja seltsam!!
> Dann ist die Aufgabe falsch gestellt?
Sie ist unvollständig
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Mo 11.04.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | | Wie müsste sie denn korrekt lauten? |
Eine andere Frage:
Kompakt relativ...
Stattdessen kann man doch auch einfach sagen: kompakt in...
Oder?
Zu Deinem Gegenbeispiel:
K=(0,1), [mm] X=\IR
[/mm]
Ich verstehe das nicht ganz, wieso das ein Gegenbeispiel ist.
Ist K kompakt in [mm] \IRund [/mm] nicht relativ kompakt in [mm] \IR [/mm] und wieso?
Oder ist K relativ kompakt in [mm] \IR [/mm] und nicht kompakt in in [mm] \IR [/mm] und wieso?
Mir ist das irgendwie unklar.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 Mo 11.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Wie müsste sie denn korrekt lauten?
> Eine andere Frage:
> Kompakt relativ...
>
> Stattdessen kann man doch auch einfach sagen: kompakt
> in...
Das könnte gemeint sein "kompakt in M" im Sinne der Spurtopologie auf M
>
> Oder?
relativ kompakt in M, d.h. [mm] \overline{K} [/mm] ist kompakt in M
>
>
> Zu Deinem Gegenbeispiel:
>
> K=(0,1), [mm]X=\IR[/mm]
K ist relativ kompakt , also [mm] \overline{K} [/mm] ist kompakt, K selbst ist aber nicht kompakt.
Ohne zusätzliche Eigenschaften von M geht es nicht.
FRED
>
> Ich verstehe das nicht ganz, wieso das ein Gegenbeispiel
> ist.
>
> Ist K kompakt in [mm]\IRund[/mm] nicht relativ kompakt in [mm]\IR[/mm] und
> wieso?
> Oder ist K relativ kompakt in [mm]\IR[/mm] und nicht kompakt in in
> [mm]\IR[/mm] und wieso?
>
>
> Mir ist das irgendwie unklar.
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:44 Mo 11.04.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Vielleicht verwenden wir irgendwie ein anderes Verständnis von relativ kompakt: So stand es ursprünglich über der Aufgabe, vielleicht hätte ichs gleich mitposten sollen, entschuldigung:
"Sei (X,d) ein metrischer Raum (z.B. [mm] X=\IR^n, [/mm] d=euklidischer Abstand) und [mm] M\subseteq [/mm] X eine Teilmenge, versehen mit der induzierten Metrik. Eine Menge [mm] U\subseteq [/mm] M heißt offen relativ M (oder offen in M), falls U offen in dem metrischen Raum (M,d) ist. Analog werden abgeschlossen relativ M, kompakt relativ M etc. definiert." |
Ändert diese Beschreibung etwas am Verständnis der Aufgabe?
[Das mit dem Abschluss und so weiter, hatten wir nämlich nie. Ich kenne diese Kompaktheitsdefinition nicht und sie gilt doch auch nur für [mm] \IR^n, [/mm] oder?]
Nutzt man bei beliebigem X nicht eher die Kompaktheit, in der folgender Beschreibung:
Eine Teilmenge [mm] Y\subseteq [/mm] X ist kompakt, wenn jede Folge in Y mindestens eine Teilfolge hat, die in X konvergiert?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 Mi 13.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
