relativer Extrempunkt < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Bestimme eine ganzrationale Funktion fünften Grades, deren Graph zu O(0|0) punktsymmetrisch ist, durch P(1|-2) verläuft und [mm] E(\wurzel{2} [/mm] | [mm] -\wurzel{8}) [/mm] als relativen Extrempunkt hat. Untersuche den Graphen der Funktion. |
Hallo Zusammen ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") ,
Die oben genannte Aufgabe ist eine Aufgabe eines Übungsblattes für meine Klausur nach den Ferien. Wir haben leider kein Mathe mehr davor, deswegen bräuchte ich eure Hilfe.
Die Funktion lautet ja
[mm] f(x)=ax^{5} [/mm] + [mm] bx^{4}+ cx^{3} [/mm] + [mm] dx^{2} [/mm] + ex + f
Da die Funktion punktsymmetrisch ist fallen alle geraden Exponenten weg (warum?! Hatte das nur noch im Kopf, jedoch ohne Begründung), also:
[mm] f(x)=ax^{5} [/mm] + [mm] cx^{3} [/mm] + ex
f`(x) = [mm] 5ax^{4} [/mm] + [mm] 3cx^{2} [/mm]
f``(x) = [mm] 20ax^{3} [/mm] + 6cx
Punkte: 0(0|0) ---> [mm] f(0)=a0^{5} [/mm] + [mm] c0^{3} [/mm] + e0 = 0
0= 0
Was sagt uns das? Ausgerechnet haben wir damit ja keine Variable.
P (1|-2) ---> [mm] f(1)=a1^{5} [/mm] + [mm] c1^{3} [/mm] + e1 = -2
a + c + e = -2
Und dann noch [mm] E(\wurzel{2} [/mm] | [mm] -\wurzel{8}) [/mm] als relativer Extrempunkt. Was mache ich damit? Hinreichende und notwenige Bedingung bilden und ausrechnen? Was ist ein relativer Extrempunkt? Habe ich sonst alle Bedingungen aufgestellt oder habe ich etwas übersehen?
Liebe Grüße,
Sarah 
|
|
| |
|
Hallo Sarah,
selber
> Bestimme eine ganzrationale Funktion fünften Grades, deren
> Graph zu O(0|0) punktsymmetrisch ist, durch P(1|-2)
> verläuft und [mm]E(\wurzel{2}[/mm] | [mm]-\wurzel{8})[/mm] als relativen
> Extrempunkt hat. Untersuche den Graphen der Funktion.
> Hallo Zusammen ,
>
> Die oben genannte Aufgabe ist eine Aufgabe eines
> Übungsblattes für meine Klausur nach den Ferien. Wir haben
> leider kein Mathe mehr davor, deswegen bräuchte ich eure
> Hilfe.
>
> Die Funktion lautet ja
>
> [mm]f(x)=ax^{5}[/mm] + [mm]bx^{4}+ cx^{3}[/mm] + [mm]dx^{2}[/mm] + ex + f ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Da die Funktion punktsymmetrisch ist fallen alle geraden
> Exponenten weg (warum?! Hatte das nur noch im Kopf, jedoch
> ohne Begründung),
f punktsymmetrisch heißt auch ungerade, dh, es gilt f(-x)=-f(x)
bei geraden Exponenten ist f(-x)=f(x) , beachte [mm] (-x)^{2k}=(-1)^{2k}\cdot{}x^{2k}=x^{2k}
[/mm]
also:
>
> [mm]f(x)=ax^{5}[/mm] + [mm]cx^{3}[/mm] + ex
> f'(x) = [mm]5ax^{4}[/mm] + [mm]3cx^{2}[/mm]
> f''(x) = [mm]20ax^{3}[/mm] + 6cx
>
> Punkte: 0(0|0) ---> [mm]f(0)=a0^{5}[/mm] + [mm]c0^{3}[/mm] + e0 = 0
> 0= 0
> Was sagt uns das?
nix 
Ausgerechnet haben wir damit ja keine
> Variable.
>
> P (1|-2) ---> [mm]f(1)=a1^{5}[/mm] + [mm]c1^{3}[/mm] + e1 = -2
> a + c + e = -2
>
> Und dann noch [mm]E(\wurzel{2}[/mm] | [mm]-\wurzel{8})[/mm] als relativer
> Extrempunkt. Was mache ich damit? Hinreichende und
> notwenige Bedingung bilden und ausrechnen? Was ist ein
> relativer Extrempunkt? Habe ich sonst alle Bedingungen
> aufgestellt oder habe ich etwas übersehen?
notwenig ist ja [mm] f'(x_0)=0, [/mm] setze also [mm] f'(\sqrt{2})=0 [/mm] an, das liefert dir die 2. Gleichung
> Liebe Grüße,
>
> Sarah
Ja du hast eines übersehen
Der Extrempunkt [mm] E(\sqrt{2}/-\sqrt{8}) [/mm] ist doch auch Punkt des Graphen der Fkt, also [mm] f(\sqrt{2})=-\sqrt{8}
[/mm]
Das liefert dir deine 3. Gleichung
Mit den 3 Gleichungen hast du alles beisammen, was du für die Berechnung der Variablen a,c,e benötigst
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Na du,
wie? wie?
Ansetzten...
[mm] f(x)=ax^5+cx^3+ex
[/mm]
Also [mm] f(\sqrt{2})=a(\sqrt{2})^5+c(\sqrt{2})^3+e\sqrt{2}=-\sqrt{8}
[/mm]
Da bissl mit den Potenzgesetzen spielen, um das als "schöne" Gleichung hinzubiegen für die weitere Rechnung
OK?
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo Sarah,
im Anhang nun doch endlich der Graph der Funktion.
Du kannst ja daran deine Ergebnisse kontrollieren
Schönen Abend noch
schachuzipus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
|
![[hand]](/images/smileys/hand.gif "[hand]"){kind=small}
,
![[boese]](/images/smileys/boese.gif "[boese]"){kind=small}
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]"){kind=small}
