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| Aufgabe | Berechnen Sie fuer n = 1, 2, . . .
[mm] Res(\bruch{(z^(n-1))}{(sin(z))^n} [/mm] , 0)
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hallo zusammen.
wie geht man hier vor?
durch das einsetzen n gleich 1,2 und soweiter?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:03 Mo 16.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Berechnen Sie fuer n = 1, 2, . . .
> [mm]Res(\bruch{(z^{n-1})}{(sin(z))^n}[/mm] , 0)
>
>
> hallo zusammen.
> wie geht man hier vor?
> durch das einsetzen n gleich 1,2 und soweiter?
Beachte, dass
[mm] \bruch{(z^{n-1})}{(\sin(z))^n} = \bruch{1}{z} \bruch{(z^{n})}{(\sin(z))^n} = \bruch{1}{z} \left(\bruch{z}{\sin z}\right)^n [/mm]
und
[mm] \lim_{z\to 0} \bruch{z}{\sin z} = 1 [/mm]
ist.
Es handelt sich also für alle n um einen Pol 1. Ordnung an der Stelle 0. Für diesen Fall gibt es eine einfache Formel:
[mm] \mathop{\mathrm{Res}} (f(z),a) = \lim_{z\to a} ((z-a) f(z)) [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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Hey Jan, bist du mit dem Zweiten Teil schon fertig.
Soweit komme ich (Bitte auch die Anderen: Korrigiert mich und gebt mir Tipps!!!) ..
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo jarjar2008,
> Hey Jan, bist du mit dem Zweiten Teil schon fertig.
> Soweit komme ich (Bitte auch die Anderen: Korrigiert mich
> und gebt mir Tipps!!!) ..
>
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Da f in ia einen ![[]](/images/popup.gif) Pol 2. Ordnung hat gilt:
[mm]Res\left(f,ia\right)=\limes_{x \rightarrow ia}\bruch{\partial}{\partial x}\left(\left(x-ia\right)^2*f\left(x\right)\right)[/mm]
Gruß
MathePower
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Hey Mathepower,
Ja das habe ich auch probiert, mit Maple ist es kein Problem auszurechnen...es kommt auch das richtige Raus!
Aber da solche Aufgaben in der Klausur per Hand ausgerechnet werden müssen stellt sich mir die Frage nach einer bequemeren Variante.
Die Ableitung von dem Gebilde Auszurechnen ist ja mehr als mühselig!
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ich habe die aufgabe per hand ausgerechnet, ich bekomme am ende [mm] \bruch{-i}{4a}.das [/mm] multipliziere ich mit [mm] 2i\pi [/mm] (nach dem residuum formel)
dann erhalte ich [mm] \bruch{\pi}{2a}, [/mm] fertig.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 Mi 18.06.2008 | | Autor: | Krazza |
Vor dem Ableiten schon kürzen, dann vereinfacht sich das ganze, und wie man am Beweis der Formel sieht kann man immer kürzen!
In diesem Fall:
[mm] Res(z^2/(z^2+a^2)^2,ia)=\limes_{z\rightarrow ia}(d/dz[(z-ia)^2*z^2/(z^2+a^2)^2])=\limes_{z\rightarrow ia}(d/dz[(z-ia)^2*z^2/((z-ia)^2*(z+ia)^2)])=\limes_{z\rightarrow ia}(d/dz[z^2/(z+ia)^2])
[/mm]
Dann habe ich noch eine Frage:
Wie komme ich auf das Residuum hier:
[mm] Res((tan(z)-z)/(1-cos(z))^2,0) [/mm] ? Habt ihr da schon irgendwas gelöst?
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hallo jarjar2008,
ich versuche den zweiten teil morgen zu machen, vielleicht(denn ich habe mich an der aufgabe noch nicht gesetzt) brauche ich tipp dafür.werde morgen erfahren
bin jetzt müde und brauche schlaf
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| Aufgabe | residum der [mm] \integral_{-infty}^{infty}{\bruch{x^2}{(x^2+1)(x^2+2x+2)}dx} [/mm] berechnen.
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hallo jarjar2008 und alle zusammen
die singularitäten der funktion [mm] \bruch{x^2}{(x^2+1)(x^2+2x+2)} [/mm] sind i,-i,-1+i,-1-i.
also mir müssen die residien in den stellen i und -1+i berechnen.
habe die aufgabe 4 mal schon gerechnet , ich bekomme aber immer das falsche ergebnis raus.
die folgende formel benutze ich da wir hier pol erste ordnung haben
res(f,i)= [mm] \limes_{z\rightarrow\a} [/mm] = (z-a).f(x)
die selbe formel gilt für -1+i aber ich bekomme am ende immer eine complexe zahl [mm] \bruch{6i\pi-i\pi}{4i-2}. [/mm] es sollte aber reell sein.
wo liegt mein fehler?
bitte um ein korrektur.
grüße jan
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übrigens für das res(f,i) bekommen ich [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
und für das res(f,-1+i) bekommen ich [mm] \bruch{-2i}{2i-1} [/mm]
welche ist denn flasch?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:52 Do 19.06.2008 | | Autor: | jarjar2008 |
Beide sind leider Falsch :(
Res bei -1+i ist -1/5-2/5*I
und Res bei +i ist 1/5+1/10*I
Dann passt auch das ergebnis wenn du die summe der residuen mit 2*pi*I malnimmst!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:53 Do 19.06.2008 | | Autor: | jarjar2008 |
sorry kann sein dass ich mich in der Aufgabe grad geirrt hab!
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das ergebnis sollte [mm] \bruch{3\pi}{5}
[/mm]
aber irgendwie ich kann deine schreibweise nicht lesen, soll das [mm] \bruch{-1}{5} [/mm] - [mm] \bruch{2}{5i} [/mm] sein?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:39 Do 19.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Beide sind leider Falsch :(
>
> Res bei -1+i ist -1/5-2/5*I
> und Res bei +i ist 1/5+1/10*I
Maxima ist auch dieser Meinung 
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:40 Do 19.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Schreib doch mal auf, was du für die Residuen herausbekommen hast.
Hast du bedacht, dass für das Integral nur die Residuen in einer Halbebene (obere oder untere) beitragen?
Viele Grüße
Rainer
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hallo zusammen,
ich habe endlich mal geschafft meine fehler zu finden.
habe die formel immer wieder falsch angewendet, aber jetzt habe ich es hinbekommen.
für das res(f,i) bekomme ich [mm] \bruch{1}{4-2i}
[/mm]
und res(f,-1+i) bekomme ich [mm] \bruch{-1}{1-2i}
[/mm]
die beiden zusammen addiert dann multipliziert mit [mm] 2i\pi, [/mm] bekommen wir
[mm] \bruch{3\pi}{5}
[/mm]
grüsse,
jan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:50 Mi 18.06.2008 | | Autor: | ardik |
Hallo jan_babayans,
> [mm]Res(\bruch{(z^(n-1))}{(sin(z))^n}[/mm] , 0)
Wenn Du mehr als ein Zeichen hochstellen (entsprechend beim Tiefstellen etc.) willst, musst Du den Block in geschweifte Klammern setzen:
Aus z^{n-1} wird so $ [mm] z^{n-1} [/mm] $
Und für Perfektionisten:
Wenn Du "hübsche" Klammern haben möchtest, also Klammern in der "richtigen" Größe, dann stellst Du der einzelnen Klammer jeweils ein \left bzw \right voran.
Aus Res \left( \bruch{ z^{n-1} }{(sin(z))^n}, 0 \right)
wird so: [mm] $Res\left(\bruch{z^{n-1}}{(sin(z))^n},0\right)$
[/mm]
Schöne Grüße
ardik
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