matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Gleichungssystemerichtige Umformung?
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Lineare Gleichungssysteme" - richtige Umformung?
richtige Umformung? < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Gleichungssysteme"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

richtige Umformung?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:06 Mi 21.11.2012
Autor: T_sleeper

Aufgabe
Sind die unten stehenden Umformungen. Im Kontext der Rechnung lässt sich meine Frage leichter stellen.

Vorausgesetzt sei, dass für reelle Zahlen a,b,c,d die Gleichheit ad-bc=0 gilt.
Gegeben seine weiterhin zwei Gleichungen: (alle auftretenden Koefizienten sind reell)
(1) [mm] a\alpha+b\gamma=1, [/mm]
(2) [mm] c\alpha+d\gamma=0. [/mm]

Multipliziere ich jetzt die erste Glg. mit (-c), die zweite mit a und addiere die neu entstandenen Gleichungen, so erhalte ich [mm] \gamma(ad-bc)=-c, [/mm] laut Voraussetzung folgt also c=0.
Meine Frage ist jetzt, ob das logisch okay ist, denn ich multipliziere im Gleichungssystem ja mit -c (also praktisch mit 0) und komme dann am Ende dazu, dass c=0. Irgendwie kommt mir das komisch, bzw. unerlaubt vor. Allerdings kann ich auch keinen Grund finden, warum das logisch falsch sein sollte. Darf man das machen, oder nicht?

        
Bezug
richtige Umformung?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:15 Mi 21.11.2012
Autor: abakus


> Sind die unten stehenden Umformungen. Im Kontext der
> Rechnung lässt sich meine Frage leichter stellen.
>  Vorausgesetzt sei, dass für reelle Zahlen a,b,c,d die
> Gleichheit ad-bc=0 gilt.
>  Gegeben seine weiterhin zwei Gleichungen: (alle
> auftretenden Koefizienten sind reell)
>  (1) [mm]a\alpha+b\gamma=1,[/mm]
>  (2) [mm]c\alpha+d\gamma=0.[/mm]
>  
> Multipliziere ich jetzt die erste Glg. mit (-c), die zweite
> mit a und addiere die neu entstandenen Gleichungen, so
> erhalte ich [mm]\gamma(ad-bc)=-c,[/mm] laut Voraussetzung folgt also
> c=0.
> Meine Frage ist jetzt, ob das logisch okay ist, denn ich
> multipliziere im Gleichungssystem ja mit -c (also praktisch
> mit 0) und komme dann am Ende dazu, dass c=0. Irgendwie
> kommt mir das komisch, bzw. unerlaubt vor. Allerdings kann
> ich auch keinen Grund finden, warum das logisch falsch sein
> sollte. Darf man das machen, oder nicht?

Hallo,
drehe die Geschichte doch mal um. Angenommen, du weißt vorher schon, dass c=0 gilt. Was bedeutet das für die Gleichung (2)?
Hat das Auswirkungen auf (1)?
Verfälschst du die Lösungsmenge des GS, wenn du (1) mit 0 multiplizierst?
Gruß Abakus


Bezug
        
Bezug
richtige Umformung?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:26 Mi 21.11.2012
Autor: reverend

Hallo T_sleeper,

nein, das geht so nicht.

> Sind die unten stehenden Umformungen. Im Kontext der
> Rechnung lässt sich meine Frage leichter stellen.

Ja, ok. Du kannst das Aufgabenfeld auch einfach leer lassen.

>  Vorausgesetzt sei, dass für reelle Zahlen a,b,c,d die
> Gleichheit ad-bc=0 gilt.
>  Gegeben seine weiterhin zwei Gleichungen: (alle
> auftretenden Koefizienten sind reell)
>  (1) [mm]a\alpha+b\gamma=1,[/mm]
>  (2) [mm]c\alpha+d\gamma=0.[/mm]
>  
> Multipliziere ich jetzt die erste Glg. mit (-c),

Das kannst Du machen, aber dann musst Du für diese Aktion unbedingt c=0 ausschließen. Die weiteren Rechnungen gelten dann also nur für [mm] c\not=0. [/mm]

> die zweite
> mit a und addiere die neu entstandenen Gleichungen, so
> erhalte ich [mm]\gamma(ad-bc)=-c,[/mm] laut Voraussetzung folgt also
> c=0.

...und das ist ein Widerspruch. Punkt.

> Meine Frage ist jetzt, ob das logisch okay ist, denn ich
> multipliziere im Gleichungssystem ja mit -c (also praktisch
> mit 0) und komme dann am Ende dazu, dass c=0. Irgendwie
> kommt mir das komisch, bzw. unerlaubt vor.

Sehr gut. Du hast offenbar ein gutes mathematisches (und logisches) Gefühl, kannst es nur nicht begründen. Siehe oben.

> Allerdings kann
> ich auch keinen Grund finden, warum das logisch falsch sein
> sollte. Darf man das machen, oder nicht?

Man darf ja fast alles, solange man weiß, was man tut und wofür es gilt. Hier ist jetzt die interessante Frage: was besagt eigentlich der auftretende Widerspruch?

Grüße
reverend


Bezug
                
Bezug
richtige Umformung?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:37 Mi 21.11.2012
Autor: T_sleeper


> Hallo T_sleeper,
>  
> nein, das geht so nicht.
>  
> > Sind die unten stehenden Umformungen. Im Kontext der
> > Rechnung lässt sich meine Frage leichter stellen.
>  
> Ja, ok. Du kannst das Aufgabenfeld auch einfach leer
> lassen.
>  
> >  Vorausgesetzt sei, dass für reelle Zahlen a,b,c,d die

> > Gleichheit ad-bc=0 gilt.
>  >  Gegeben seine weiterhin zwei Gleichungen: (alle
> > auftretenden Koefizienten sind reell)
>  >  (1) [mm]a\alpha+b\gamma=1,[/mm]
>  >  (2) [mm]c\alpha+d\gamma=0.[/mm]
>  >  
> > Multipliziere ich jetzt die erste Glg. mit (-c),
>
> Das kannst Du machen, aber dann musst Du für diese Aktion
> unbedingt c=0 ausschließen. Die weiteren Rechnungen gelten
> dann also nur für [mm]c\not=0.[/mm]
>  
> > die zweite
> > mit a und addiere die neu entstandenen Gleichungen, so
> > erhalte ich [mm]\gamma(ad-bc)=-c,[/mm] laut Voraussetzung folgt also
> > c=0.
>
> ...und das ist ein Widerspruch. Punkt.
>  
> > Meine Frage ist jetzt, ob das logisch okay ist, denn ich
> > multipliziere im Gleichungssystem ja mit -c (also praktisch
> > mit 0) und komme dann am Ende dazu, dass c=0. Irgendwie
> > kommt mir das komisch, bzw. unerlaubt vor.
>
> Sehr gut. Du hast offenbar ein gutes mathematisches (und
> logisches) Gefühl, kannst es nur nicht begründen. Siehe
> oben.
>  
> > Allerdings kann
> > ich auch keinen Grund finden, warum das logisch falsch sein
> > sollte. Darf man das machen, oder nicht?
>
> Man darf ja fast alles, solange man weiß, was man tut und
> wofür es gilt. Hier ist jetzt die interessante Frage: was
> besagt eigentlich der auftretende Widerspruch?
>  
> Grüße
>  reverend
>  

Moment. Mathematisch kann ich immer noch kein Argument finden, wieso ich bei Multiplikation vorher c [mm] \neq [/mm] 0 annehmen muss. Theoretisch mache ich dann zwar eine Gleichung zu 0=0, aber durch die anschließende Addition geht doch dann immer noch nichts kaputt.
Eigentlich ging es um folgende Situation: gegeben eine [mm] 2\times [/mm] 2 Matrix A mit Einträgen a,b,c,d. Man sollte zeigen: Ist A invertierbar, so ist [mm] ad-bc\neq [/mm] 0. Ich habe angenommen ad-bc=0 und [mm] A^{-1} [/mm] definiert als Matrix mit Einträgen [mm] $\alpha, \beta,\gamma,\delta$. [/mm] Dann kommt man durch [mm] AA^{-1} [/mm] zu diesem (Teil-)Gleichungssystem.

Aber wieder zu dem Gleichungssystem: Wenn ich annehme [mm] c\neq [/mm] 0, aber dann am Ende wieder zu c=0 komme, bedeutet das dann nur, dass das System keine Lösung hat? Kann man daraus schon den Widerspruch ziehen, den ich für den Matrixbeweis oben brauche?

Bezug
                        
Bezug
richtige Umformung?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:44 Mi 21.11.2012
Autor: abakus


> > Hallo T_sleeper,
>  >  
> > nein, das geht so nicht.
>  >  
> > > Sind die unten stehenden Umformungen. Im Kontext der
> > > Rechnung lässt sich meine Frage leichter stellen.
>  >  
> > Ja, ok. Du kannst das Aufgabenfeld auch einfach leer
> > lassen.
>  >  
> > >  Vorausgesetzt sei, dass für reelle Zahlen a,b,c,d die

> > > Gleichheit ad-bc=0 gilt.
>  >  >  Gegeben seine weiterhin zwei Gleichungen: (alle
> > > auftretenden Koefizienten sind reell)
>  >  >  (1) [mm]a\alpha+b\gamma=1,[/mm]
>  >  >  (2) [mm]c\alpha+d\gamma=0.[/mm]
>  >  >  
> > > Multipliziere ich jetzt die erste Glg. mit (-c),
> >
> > Das kannst Du machen, aber dann musst Du für diese Aktion
> > unbedingt c=0 ausschließen. Die weiteren Rechnungen gelten
> > dann also nur für [mm]c\not=0.[/mm]
>  >  
> > > die zweite
> > > mit a und addiere die neu entstandenen Gleichungen, so
> > > erhalte ich [mm]\gamma(ad-bc)=-c,[/mm] laut Voraussetzung folgt also
> > > c=0.
> >
> > ...und das ist ein Widerspruch. Punkt.
>  >  
> > > Meine Frage ist jetzt, ob das logisch okay ist, denn ich
> > > multipliziere im Gleichungssystem ja mit -c (also praktisch
> > > mit 0) und komme dann am Ende dazu, dass c=0. Irgendwie
> > > kommt mir das komisch, bzw. unerlaubt vor.
> >
> > Sehr gut. Du hast offenbar ein gutes mathematisches (und
> > logisches) Gefühl, kannst es nur nicht begründen. Siehe
> > oben.
>  >  
> > > Allerdings kann
> > > ich auch keinen Grund finden, warum das logisch falsch sein
> > > sollte. Darf man das machen, oder nicht?
> >
> > Man darf ja fast alles, solange man weiß, was man tut und
> > wofür es gilt. Hier ist jetzt die interessante Frage: was
> > besagt eigentlich der auftretende Widerspruch?
>  >  
> > Grüße
>  >  reverend
>  >  
> Moment. Mathematisch kann ich immer noch kein Argument
> finden, wieso ich bei Multiplikation vorher c [mm]\neq[/mm] 0
> annehmen muss. Theoretisch mache ich dann zwar eine
> Gleichung zu 0=0, aber durch die anschließende Addition
> geht doch dann immer noch nichts kaputt.
>  Eigentlich ging es um folgende Situation: gegeben eine
> [mm]2\times[/mm] 2 Matrix A mit Einträgen a,b,c,d. Man sollte
> zeigen: Ist A invertierbar, so ist [mm]ad-bc\neq[/mm] 0. Ich habe
> angenommen ad-bc=0 und [mm]A^{-1}[/mm] definiert als Matrix mit
> Einträgen [mm]\alpha, \beta,\gamma,\delta[/mm]. Dann kommt man
> durch [mm]AA^{-1}[/mm] zu diesem (Teil-)Gleichungssystem.
>
> Aber wieder zu dem Gleichungssystem: Wenn ich annehme [mm]c\neq[/mm]
> 0, aber dann am Ende wieder zu c=0 komme, bedeutet das dann
> nur, dass das System keine Lösung hat? Kann man daraus
> schon den Widerspruch ziehen, den ich für den Matrixbeweis
> oben brauche?

Also, wenn die Annahme [mm] $c\ne [/mm] 0$ zu einem Widerspruch führt, bedeutet das doch wohl, dass c=0 gilt. Mehr nicht.


Bezug
                                
Bezug
richtige Umformung?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:51 Mi 21.11.2012
Autor: T_sleeper


>
> > > Hallo T_sleeper,
>  >  >  
> > > nein, das geht so nicht.
>  >  >  
> > > > Sind die unten stehenden Umformungen. Im Kontext der
> > > > Rechnung lässt sich meine Frage leichter stellen.
>  >  >  
> > > Ja, ok. Du kannst das Aufgabenfeld auch einfach leer
> > > lassen.
>  >  >  
> > > >  Vorausgesetzt sei, dass für reelle Zahlen a,b,c,d die

> > > > Gleichheit ad-bc=0 gilt.
>  >  >  >  Gegeben seine weiterhin zwei Gleichungen: (alle
> > > > auftretenden Koefizienten sind reell)
>  >  >  >  (1) [mm]a\alpha+b\gamma=1,[/mm]
>  >  >  >  (2) [mm]c\alpha+d\gamma=0.[/mm]
>  >  >  >  
> > > > Multipliziere ich jetzt die erste Glg. mit (-c),
> > >
> > > Das kannst Du machen, aber dann musst Du für diese Aktion
> > > unbedingt c=0 ausschließen. Die weiteren Rechnungen gelten
> > > dann also nur für [mm]c\not=0.[/mm]
>  >  >  
> > > > die zweite
> > > > mit a und addiere die neu entstandenen Gleichungen, so
> > > > erhalte ich [mm]\gamma(ad-bc)=-c,[/mm] laut Voraussetzung folgt also
> > > > c=0.
> > >
> > > ...und das ist ein Widerspruch. Punkt.
>  >  >  
> > > > Meine Frage ist jetzt, ob das logisch okay ist, denn ich
> > > > multipliziere im Gleichungssystem ja mit -c (also praktisch
> > > > mit 0) und komme dann am Ende dazu, dass c=0. Irgendwie
> > > > kommt mir das komisch, bzw. unerlaubt vor.
> > >
> > > Sehr gut. Du hast offenbar ein gutes mathematisches (und
> > > logisches) Gefühl, kannst es nur nicht begründen. Siehe
> > > oben.
>  >  >  
> > > > Allerdings kann
> > > > ich auch keinen Grund finden, warum das logisch falsch sein
> > > > sollte. Darf man das machen, oder nicht?
> > >
> > > Man darf ja fast alles, solange man weiß, was man tut und
> > > wofür es gilt. Hier ist jetzt die interessante Frage: was
> > > besagt eigentlich der auftretende Widerspruch?
>  >  >  
> > > Grüße
>  >  >  reverend
>  >  >  
> > Moment. Mathematisch kann ich immer noch kein Argument
> > finden, wieso ich bei Multiplikation vorher c [mm]\neq[/mm] 0
> > annehmen muss. Theoretisch mache ich dann zwar eine
> > Gleichung zu 0=0, aber durch die anschließende Addition
> > geht doch dann immer noch nichts kaputt.
>  >  Eigentlich ging es um folgende Situation: gegeben eine
> > [mm]2\times[/mm] 2 Matrix A mit Einträgen a,b,c,d. Man sollte
> > zeigen: Ist A invertierbar, so ist [mm]ad-bc\neq[/mm] 0. Ich habe
> > angenommen ad-bc=0 und [mm]A^{-1}[/mm] definiert als Matrix mit
> > Einträgen [mm]\alpha, \beta,\gamma,\delta[/mm]. Dann kommt man
> > durch [mm]AA^{-1}[/mm] zu diesem (Teil-)Gleichungssystem.
> >
> > Aber wieder zu dem Gleichungssystem: Wenn ich annehme [mm]c\neq[/mm]
> > 0, aber dann am Ende wieder zu c=0 komme, bedeutet das dann
> > nur, dass das System keine Lösung hat? Kann man daraus
> > schon den Widerspruch ziehen, den ich für den Matrixbeweis
> > oben brauche?
>  Also, wenn die Annahme [mm]c\ne 0[/mm] zu einem Widerspruch führt,
> bedeutet das doch wohl, dass c=0 gilt. Mehr nicht.
>  

Aber das ist doch jetzt wieder komisch: Dann kann ich doch diese Annahme auch gleich weglassen, einfach mit c multiplizieren und komme auf dasselbe Ergebnis. Wieso sollte es denn falsch sein, eine Gleichung mit 0 zu multiplizieren. Bzw. darf ich das nun so machen, wie ich es am Anfang gemacht habe, oder muss ich es wirklich über diesen leicht komplizierteren Weg mit der Annahme [mm] c\neq [/mm] 0 machen???

Bezug
                                        
Bezug
richtige Umformung?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:56 Mi 21.11.2012
Autor: abakus


> >
> > > > Hallo T_sleeper,
>  >  >  >  
> > > > nein, das geht so nicht.
>  >  >  >  
> > > > > Sind die unten stehenden Umformungen. Im Kontext der
> > > > > Rechnung lässt sich meine Frage leichter stellen.
>  >  >  >  
> > > > Ja, ok. Du kannst das Aufgabenfeld auch einfach leer
> > > > lassen.
>  >  >  >  
> > > > >  Vorausgesetzt sei, dass für reelle Zahlen a,b,c,d die

> > > > > Gleichheit ad-bc=0 gilt.
>  >  >  >  >  Gegeben seine weiterhin zwei Gleichungen:
> (alle
> > > > > auftretenden Koefizienten sind reell)
>  >  >  >  >  (1) [mm]a\alpha+b\gamma=1,[/mm]
>  >  >  >  >  (2) [mm]c\alpha+d\gamma=0.[/mm]
>  >  >  >  >  
> > > > > Multipliziere ich jetzt die erste Glg. mit (-c),
> > > >
> > > > Das kannst Du machen, aber dann musst Du für diese Aktion
> > > > unbedingt c=0 ausschließen. Die weiteren Rechnungen gelten
> > > > dann also nur für [mm]c\not=0.[/mm]
>  >  >  >  
> > > > > die zweite
> > > > > mit a und addiere die neu entstandenen Gleichungen, so
> > > > > erhalte ich [mm]\gamma(ad-bc)=-c,[/mm] laut Voraussetzung folgt also
> > > > > c=0.
> > > >
> > > > ...und das ist ein Widerspruch. Punkt.
>  >  >  >  
> > > > > Meine Frage ist jetzt, ob das logisch okay ist, denn ich
> > > > > multipliziere im Gleichungssystem ja mit -c (also praktisch
> > > > > mit 0) und komme dann am Ende dazu, dass c=0. Irgendwie
> > > > > kommt mir das komisch, bzw. unerlaubt vor.
> > > >
> > > > Sehr gut. Du hast offenbar ein gutes mathematisches (und
> > > > logisches) Gefühl, kannst es nur nicht begründen. Siehe
> > > > oben.
>  >  >  >  
> > > > > Allerdings kann
> > > > > ich auch keinen Grund finden, warum das logisch falsch sein
> > > > > sollte. Darf man das machen, oder nicht?
> > > >
> > > > Man darf ja fast alles, solange man weiß, was man tut und
> > > > wofür es gilt. Hier ist jetzt die interessante Frage: was
> > > > besagt eigentlich der auftretende Widerspruch?
>  >  >  >  
> > > > Grüße
>  >  >  >  reverend
>  >  >  >  
> > > Moment. Mathematisch kann ich immer noch kein Argument
> > > finden, wieso ich bei Multiplikation vorher c [mm]\neq[/mm] 0
> > > annehmen muss. Theoretisch mache ich dann zwar eine
> > > Gleichung zu 0=0, aber durch die anschließende Addition
> > > geht doch dann immer noch nichts kaputt.
>  >  >  Eigentlich ging es um folgende Situation: gegeben
> eine
> > > [mm]2\times[/mm] 2 Matrix A mit Einträgen a,b,c,d. Man sollte
> > > zeigen: Ist A invertierbar, so ist [mm]ad-bc\neq[/mm] 0. Ich habe
> > > angenommen ad-bc=0 und [mm]A^{-1}[/mm] definiert als Matrix mit
> > > Einträgen [mm]\alpha, \beta,\gamma,\delta[/mm]. Dann kommt man
> > > durch [mm]AA^{-1}[/mm] zu diesem (Teil-)Gleichungssystem.
> > >
> > > Aber wieder zu dem Gleichungssystem: Wenn ich annehme [mm]c\neq[/mm]
> > > 0, aber dann am Ende wieder zu c=0 komme, bedeutet das dann
> > > nur, dass das System keine Lösung hat? Kann man daraus
> > > schon den Widerspruch ziehen, den ich für den Matrixbeweis
> > > oben brauche?
>  >  Also, wenn die Annahme [mm]c\ne 0[/mm] zu einem Widerspruch
> führt,
> > bedeutet das doch wohl, dass c=0 gilt. Mehr nicht.
>  >  
> Aber das ist doch jetzt wieder komisch: Dann kann ich doch
> diese Annahme auch gleich weglassen, einfach mit c
> multiplizieren und komme auf dasselbe Ergebnis. Wieso
> sollte es denn falsch sein, eine Gleichung mit 0 zu
> multiplizieren. Bzw. darf ich das nun so machen, wie ich es
> am Anfang gemacht habe, oder muss ich es wirklich über
> diesen leicht komplizierteren Weg mit der Annahme [mm]c\neq[/mm] 0
> machen???

Hallo,
deine berechtigten Zweifel waren folgende:
Eine Gleichung mit 0 zu multiplizieren ergibt keinen Erkenntnisgewinn.
Wir haben deshalb c ungleich Null angenommen.
Erkenntnisgewinn:
1) c ist doch 0.
2) Wenn ich das weiß, muss ich keine Gleichung mehr mit c multiplizieren. Ich bekomme die zweite Variable in der Gleichung mit c auch so heraus.
Gruß Abakus


Bezug
                                                
Bezug
richtige Umformung?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:04 Mi 21.11.2012
Autor: T_sleeper


>
> > >
> > > > > Hallo T_sleeper,
>  >  >  >  >  
> > > > > nein, das geht so nicht.
>  >  >  >  >  
> > > > > > Sind die unten stehenden Umformungen. Im Kontext der
> > > > > > Rechnung lässt sich meine Frage leichter stellen.
>  >  >  >  >  
> > > > > Ja, ok. Du kannst das Aufgabenfeld auch einfach leer
> > > > > lassen.
>  >  >  >  >  
> > > > > >  Vorausgesetzt sei, dass für reelle Zahlen a,b,c,d die

> > > > > > Gleichheit ad-bc=0 gilt.
>  >  >  >  >  >  Gegeben seine weiterhin zwei Gleichungen:
> > (alle
> > > > > > auftretenden Koefizienten sind reell)
>  >  >  >  >  >  (1) [mm]a\alpha+b\gamma=1,[/mm]
>  >  >  >  >  >  (2) [mm]c\alpha+d\gamma=0.[/mm]
>  >  >  >  >  >  
> > > > > > Multipliziere ich jetzt die erste Glg. mit (-c),
> > > > >
> > > > > Das kannst Du machen, aber dann musst Du für diese Aktion
> > > > > unbedingt c=0 ausschließen. Die weiteren Rechnungen gelten
> > > > > dann also nur für [mm]c\not=0.[/mm]
>  >  >  >  >  
> > > > > > die zweite
> > > > > > mit a und addiere die neu entstandenen Gleichungen, so
> > > > > > erhalte ich [mm]\gamma(ad-bc)=-c,[/mm] laut Voraussetzung folgt also
> > > > > > c=0.
> > > > >
> > > > > ...und das ist ein Widerspruch. Punkt.
>  >  >  >  >  
> > > > > > Meine Frage ist jetzt, ob das logisch okay ist, denn ich
> > > > > > multipliziere im Gleichungssystem ja mit -c (also praktisch
> > > > > > mit 0) und komme dann am Ende dazu, dass c=0. Irgendwie
> > > > > > kommt mir das komisch, bzw. unerlaubt vor.
> > > > >
> > > > > Sehr gut. Du hast offenbar ein gutes mathematisches (und
> > > > > logisches) Gefühl, kannst es nur nicht begründen. Siehe
> > > > > oben.
>  >  >  >  >  
> > > > > > Allerdings kann
> > > > > > ich auch keinen Grund finden, warum das logisch falsch sein
> > > > > > sollte. Darf man das machen, oder nicht?
> > > > >
> > > > > Man darf ja fast alles, solange man weiß, was man tut und
> > > > > wofür es gilt. Hier ist jetzt die interessante Frage: was
> > > > > besagt eigentlich der auftretende Widerspruch?
>  >  >  >  >  
> > > > > Grüße
>  >  >  >  >  reverend
>  >  >  >  >  
> > > > Moment. Mathematisch kann ich immer noch kein Argument
> > > > finden, wieso ich bei Multiplikation vorher c [mm]\neq[/mm] 0
> > > > annehmen muss. Theoretisch mache ich dann zwar eine
> > > > Gleichung zu 0=0, aber durch die anschließende Addition
> > > > geht doch dann immer noch nichts kaputt.
>  >  >  >  Eigentlich ging es um folgende Situation: gegeben
> > eine
> > > > [mm]2\times[/mm] 2 Matrix A mit Einträgen a,b,c,d. Man sollte
> > > > zeigen: Ist A invertierbar, so ist [mm]ad-bc\neq[/mm] 0. Ich habe
> > > > angenommen ad-bc=0 und [mm]A^{-1}[/mm] definiert als Matrix mit
> > > > Einträgen [mm]\alpha, \beta,\gamma,\delta[/mm]. Dann kommt man
> > > > durch [mm]AA^{-1}[/mm] zu diesem (Teil-)Gleichungssystem.
> > > >
> > > > Aber wieder zu dem Gleichungssystem: Wenn ich annehme [mm]c\neq[/mm]
> > > > 0, aber dann am Ende wieder zu c=0 komme, bedeutet das dann
> > > > nur, dass das System keine Lösung hat? Kann man daraus
> > > > schon den Widerspruch ziehen, den ich für den Matrixbeweis
> > > > oben brauche?
>  >  >  Also, wenn die Annahme [mm]c\ne 0[/mm] zu einem Widerspruch
> > führt,
> > > bedeutet das doch wohl, dass c=0 gilt. Mehr nicht.
>  >  >  
> > Aber das ist doch jetzt wieder komisch: Dann kann ich doch
> > diese Annahme auch gleich weglassen, einfach mit c
> > multiplizieren und komme auf dasselbe Ergebnis. Wieso
> > sollte es denn falsch sein, eine Gleichung mit 0 zu
> > multiplizieren. Bzw. darf ich das nun so machen, wie ich es
> > am Anfang gemacht habe, oder muss ich es wirklich über
> > diesen leicht komplizierteren Weg mit der Annahme [mm]c\neq[/mm] 0
> > machen???
>  Hallo,
>  deine berechtigten Zweifel waren folgende:
>  Eine Gleichung mit 0 zu multiplizieren ergibt keinen
> Erkenntnisgewinn.
>  Wir haben deshalb c ungleich Null angenommen.
>  Erkenntnisgewinn:
>  1) c ist doch 0.
>  2) Wenn ich das weiß, muss ich keine Gleichung mehr mit c
> multiplizieren. Ich bekomme die zweite Variable in der
> Gleichung mit c auch so heraus.
>  Gruß Abakus
>  

ok ich bin dami einverstanden. Trotzdem finde ich aber, dass man meine ursprüngliche erste Version genau so aufschreiben darf, denn da ist doch kein mathematischer Fehler drin, wenn doch, wo genau? Muss ich also wirklich (in der Aufschrift) den Umweg über die Annahme [mm] c\neq [/mm] 0 gehen? Oder darf ich halt ohne die Annahme für c zunächst alle Werte zulassen und dann eben dazu kommen, dass c=0 ist?

Bezug
                                                        
Bezug
richtige Umformung?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:53 Mi 21.11.2012
Autor: reverend

Hallo nochmal,

>  >  deine berechtigten Zweifel waren folgende:
>  >  Eine Gleichung mit 0 zu multiplizieren ergibt keinen
> > Erkenntnisgewinn.
>  >  Wir haben deshalb c ungleich Null angenommen.
>  >  Erkenntnisgewinn:
>  >  1) c ist doch 0.
>  >  2) Wenn ich das weiß, muss ich keine Gleichung mehr
> mit c
> > multiplizieren. Ich bekomme die zweite Variable in der
> > Gleichung mit c auch so heraus.
>
> ok ich bin dami einverstanden.

Schön, das ist doch ein Anfang. ;-)

> Trotzdem finde ich aber,
> dass man meine ursprüngliche erste Version genau so
> aufschreiben darf, denn da ist doch kein mathematischer
> Fehler drin, wenn doch, wo genau?

Das ist in der Tat diskutabel. Wir bewegen uns hier im Bereich der Erkenntnistheorie, ohne die die Mathematik nicht da wäre, wo sie ist.

> Muss ich also wirklich
> (in der Aufschrift) den Umweg über die Annahme [mm]c\neq[/mm] 0
> gehen? Oder darf ich halt ohne die Annahme für c zunächst
> alle Werte zulassen und dann eben dazu kommen, dass c=0
> ist?

Das kann man in der Tat verschieden handhaben. Allgemeiner Konsens ist aber, eine "entwertete" Gleichung nicht weiter heranzuziehen. Alle Wege, die Gleichung 1=0 etc. zu beweisen, gehen so vor. Irgendwo wird mit 0 multipliziert oder (seltener) durch 0 dividiert.

Logisch sauber ist dagegen die Fallunterscheidung. Wenn aus [mm] c\not=0 [/mm] folgt, dass c=0 ist, dann kann [mm] c\not=0 [/mm] nicht stimmen. Und allein deswegen muss also c=0 sein.
Es ist möglich, dass auch das dann wieder dazu führt, dass eine Aufgabe (ein Gleichungssystem) nicht lösbar ist. Dann ist sie/es eben nicht lösbar, aber der Weg dahin hat keine Fallen und darf als schlüssig betrachtet werden.

Darum wird sowohl die Multiplikation einer Gleichung mit Null als auch die Division einer Gleichung durch Null generell ausgeschlossen.

Wie gesagt, erkenntnistheoretisch könnte man anders verfahren, aber unanfechtbar ist die Variante mit der Fallunterscheidung, jedenfalls in einer binären Logik ("tertium non datur"). Dann gibt es keine anderen Möglichkeiten als [mm] c=0\vee c\not=0. [/mm]

Grüße
reverend

>  


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Gleichungssysteme"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]