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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion
f: [mm] \IR^{2} [/mm] -> [mm] \IR [/mm] mit f(x,y) = [mm] 5x^{4} [/mm] + [mm] x^{2} [/mm] + [mm] 2y^{3} [/mm] + y
Zeigen Sie, dass durch die Gleichung f(x,y) = 0 in einer Umgebung von [mm] x_{0} [/mm] = 0 implizit eine Funktion y= g(x) mit g(0) = 0 definiert wird, so dass f(x,g(x)) = 0 gilt. |
Hallo,
wenn man [mm] x_{0} [/mm] in die funktion einsetzt bleibt ja [mm] f(x_{0},y) [/mm] = [mm] 2y^{3} [/mm] + y. Bedeutet das dann, dass g(x) = [mm] 2x^{3} [/mm] + x ist? für g(0) würde es ja auch stimmen und wenn man alles wieder in die ausgangsfunktion mit [mm] x_{0} [/mm] einsetzt würde ja f(x,g(x)) = 0 auch gelten. Könnt ihr mir bitte sagen ob ich richtig oder total falsch liege? Hab das gefühl, dass es nicht so ganz leicht ist^^
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Hallo EdwinMoses,
> Gegeben sei die Funktion
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> f: [mm]\IR^{2}[/mm] -> [mm]\IR[/mm] mit f(x,y) = [mm]5x^{4}[/mm] + [mm]x^{2}[/mm] + [mm]2y^{3}[/mm] + y
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> Zeigen Sie, dass durch die Gleichung f(x,y) = 0 in einer
> Umgebung von [mm]x_{0}[/mm] = 0 implizit eine Funktion y= g(x) mit
> g(0) = 0 definiert wird, so dass f(x,g(x)) = 0 gilt.
> Hallo,
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> wenn man [mm]x_{0}[/mm] in die funktion einsetzt bleibt ja
> [mm]f(x_{0},y)[/mm] = [mm]2y^{3}[/mm] + y. Bedeutet das dann, dass g(x) =
> [mm]2x^{3}[/mm] + x ist? für g(0) würde es ja auch stimmen und
Nein, das bedeutet es nicht.
> wenn man alles wieder in die ausgangsfunktion mit [mm]x_{0}[/mm]
> einsetzt würde ja f(x,g(x)) = 0 auch gelten. Könnt ihr
> mir bitte sagen ob ich richtig oder total falsch liege? Hab
> das gefühl, dass es nicht so ganz leicht ist^^
Es ist zu zeigen, daß
[mm]5x^{4} + x^{2} +2y^{3} + y =0[/mm]
in einer Umgebung von [mm]x_{0}=0[/mm] nach y aufgelöst werden kann.
Differenziere dazu
[mm]5*x^{4}+x^{2}+2*\left(\ g\left(x\right) \ \right)^{3}+g\left(x\right)=0[/mm]
nach x und zeige, daß aus dieser
Gleichung g'(x) bestimmt werden kann, insbesondere g'(0).
Gruss
MathePower
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okay vielen dank erstmal dafür!
wenn ich diese funktion nach x differenziere heißt es:
[mm] 20x^{3} [/mm] + 2x [mm] +6g(x)^{2} [/mm] + g'(x) = 0
dann löse ich nach g'(x) auf
g'(x) = [mm] -20x^{3} [/mm] - 2x [mm] -6g(x)^{2}
[/mm]
aber ich bin leider noch ratlos wie ich nun genau auf g(x) komme
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Hallo EdwinMoses,
> okay vielen dank erstmal dafür!
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> wenn ich diese funktion nach x differenziere heißt es:
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> [mm]20x^{3}[/mm] + 2x [mm]+6g(x)^{2}[/mm] + g'(x) = 0
Das muss doch so lauten;
[mm]20x^{3} + 2x +6g(x)^{2}*\red{g'(x)} + g'(x)=0[/mm]
>
> dann löse ich nach g'(x) auf
>
> g'(x) = [mm]-20x^{3}[/mm] - 2x [mm]-6g(x)^{2}[/mm]
>
> aber ich bin leider noch ratlos wie ich nun genau auf g(x)
> komme
Die Funktion g(x) ist hier nicht explizit anzugeben.
Gruss
MathePower
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stimmt hab das nachdifferenzieren vergessen.
ja gut, es gibt aber noch eine weitere teilaufgabe wo man mit der funktion g(x) das taylorpolynom 2. grades aufstellen soll. Geht das dann auch ohne explizite funktion?
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Hallo EdwinMoses,
> stimmt hab das nachdifferenzieren vergessen.
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> ja gut, es gibt aber noch eine weitere teilaufgabe wo man
> mit der funktion g(x) das taylorpolynom 2. grades
> aufstellen soll. Geht das dann auch ohne explizite
> funktion?
Ja.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:53 Di 16.11.2010 | | Autor: | EdwinMoses |
okay vielen dank :)
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