riemann integrierbarkeit < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:21 Fr 06.06.2008 | | Autor: | nicki83 |
hallo,
ich habe ein problem mit der folgenden aufgabe:
1. ex.die folg. integrale?
wenn ja, berechne mithilfe von ober-/untersumme deren wert.
[mm] a)\integral_{0}^{1}{x dx}
[/mm]
[mm] b)\integral_{0}^{1}{x^2 dx}
[/mm]
wie weise ich die existenz dieser integrale nach und wie berechne ich deren ober-/untersumme.
ich weiss, dass 1/n die zerlegung des intevalls in gleichlange teilintervalle.
die obersumme hat etwas mit dem max zu tun und untersumme mit dem min.
a) ist im intervall 0;1 monoton wachsend ebenso wie b), das bedeutet es ex. ein solches min/max, aber wie berechne ich es.
bei wikipedia( http://de.wikipedia.org/wiki/Riemann-Integral )steht ja eine formel zur berechnung von [mm] O_n, U_n, [/mm] aber ich verstehe sie nicht richtig
es wäre super, wenn mir jemand auf die sprünge helfen würde...
vielen dank im vorraus.
lg nici
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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> hallo,
> ich habe ein problem mit der folgenden aufgabe:
> 1. ex.die folg. integrale?
> wenn ja, berechne mithilfe von ober-/untersumme deren
> wert.
>
> [mm]a)\integral_{0}^{1}{x dx}[/mm]
>
> [mm]b)\integral_{0}^{1}{x^2 dx}[/mm]
>
> wie weise ich die existenz dieser integrale nach und wie
> berechne ich deren ober-/untersumme.
>
> ich weiss, dass 1/n die zerlegung des intevalls in
> gleichlange teilintervalle.
>
> die obersumme hat etwas mit dem max zu tun und untersumme
> mit dem min.
>
> a) ist im intervall 0;1 monoton wachsend ebenso wie b), das
> bedeutet es ex. ein solches min/max, aber wie berechne ich
> es.
Wenn die Funktion $f(x)$ monoton wachsend ist, so nimmt sie in den Teilintervallen [mm] $\left[(k-1)\frac{1}{n};k\frac{1}{n}\right]$ [/mm] (wobei [mm] $k=1,2,\ldots,n$) [/mm] jeweils ihr Minimum an der unteren Grenze des Intervalls, ihr Maximum an der oberen Grenze des Intervalls an.
So ist zum Beispiel bei b) die n-te Obersumme gleich
[mm]O_n=\frac{1}{n}\cdot \left[\left(1\cdot \frac{1}{n}\right)^2+\left(2\cdot \frac{1}{n}\right)^2+\cdots+\left(n\cdot \frac{1}{n}\right)^2\right][/mm]
und die n-te Untersumme ist
[mm]U_n = \frac{1}{n}\cdot \left[\left(0\cdot \frac{1}{n}\right)^2+\left(1\cdot \frac{1}{n}\right)^2+\cdots+\left((n-1)\cdot \frac{1}{n}\right)^2\right][/mm]
Dabei ist der Faktor [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] vor der eckigen Klammer jeweils die (aus der Summe der Rechtecksflächen bereits ausgeklammerte) Länge der Teilintervalle und [mm] $\left(k\cdot \frac{1}{n}\right)^2$ [/mm] der Wert des Integranden [mm] $x^2$ [/mm] an der oberen Grenze des k-ten Teilintervalles bzw. [mm] $\left((k-1)\cdot \frac{1}{n}\right)^2$ [/mm] der Wert des Integranden [mm] $x^2$ [/mm] an der unteren Grenze des k-ten Teilintervalles.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Fr 06.06.2008 | | Autor: | nicki83 |
hallo somebody,
danke für die ausführliche erläuterung.
leider habe ich den hinweis vergessen, der uns gegeben wurde...
zu b) [mm] \summe_{k=1}^{n} k^2 [/mm] =1/6*n(n+1)(2n+1)
ändert das was an deinen ausführungen?
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> hallo somebody,
> danke für die ausführliche erläuterung.
> leider habe ich den hinweis vergessen, der uns gegeben
> wurde...
> zu b) [mm]\summe_{k=1}^{n} k^2[/mm] =1/6*n(n+1)(2n+1)
>
> ändert das was an deinen ausführungen?
Nein, überhaupt nicht: Du musst nun einfach die Ober- bzw. Untersummen so umformen, dass Du diese Summenformel verwenden kannst. Du kannst ja jeweils alle Summanden der Form [mm] $\left(k\frac{1}{n}\right)^2$ [/mm] in das Produkt [mm] $k^2 \cdot \frac{1}{n^2}$ [/mm] zerlegen und dann [mm] $\frac{1}{n^2}$ [/mm] ebenfalls aus der grossen eckigen Klammer herausziehen. In der eckigen Klammer steht dann nur noch eine Summe der Form [mm] $1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2$ [/mm] bzw. [mm] $0^2+1^2+2^2+\cdots+ (n-1)^2$.
[/mm]
In beiden Fällen kannst Du die obige Summationsformel für diese Summen von Quadraten natürlicher Zahlen verwenden. Danach musst Du überlegen, gegen welchen Wert [mm] $O_n$ [/mm] bzw. [mm] $U_n$ [/mm] für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] geht. Die Funktion ist dann und nur dann Riemann-integrierbar, wenn diese beiden Grenzwerte übereinstimmen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Fr 06.06.2008 | | Autor: | nicki83 |
also [mm] ist:\limes_{n\rightarrow\infty} O_n
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (n(n+1)(2n+1))/6=0
ich habe noch einen anderen weg versucht:
[mm] O_n=\summe_{k=1}^{n} (1+k/n)^2
[/mm]
=...
[mm] =1/n\summe_{k=1}^{n}1+2/n^2 \summe_{k=1}^{n}k
[/mm]
[mm] +1/n^3 \summe_{k=1}^{n}k^2
[/mm]
dann kann ich ja 1/6*n(n+1)(2n+1) für die letzte summe einsetzen und würde zumindest für die letzte summe das gleiche rausbekommen wie du, aber was passiert mit den anderen beiden summen?
lg nici
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> also [mm]ist:\limes_{n\rightarrow\infty} O_n[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (n(n+1)(2n+1))/6=0
Dieser Limes ist sicher nicht richtig. So wie Du dies geschrieben hast, hast Du den Faktor [mm] $\frac{1}{n^3}$ [/mm] vor der eckigen Klammer einfach ignoriert.
Des weiteren muss das Integral [mm] $=\frac{1}{3}$ [/mm] sein, jedenfalls $>0$
>
> ich habe noch einen anderen weg versucht:
>
> [mm]O_n=\summe_{k=1}^{n} (1+k/n)^2[/mm]
Weshalb dies gleich dem [mm] $O_n$ [/mm] ist, das ich hingeschrieben hatte, musst Du mir erst noch genauer erklären.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:53 Fr 06.06.2008 | | Autor: | nicki83 |
bin auf den gleichen wert von ober- und untersummen gekommen, also ist b) R-integrabel.
könntest du mir vielleicht noch kurz erläutern, wie du auf
[mm] O_n=1/n((1*1/n)^2+...) [/mm] und [mm] U_n [/mm] gekommen bist?
vielen lieben dank!
lg nici
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> bin auf den gleichen wert von ober- und untersummen
> gekommen, also ist b) R-integrabel.
>
> könntest du mir vielleicht noch kurz erläutern, wie du auf
> [mm]O_n=1/n((1*1/n)^2+...)[/mm] und [mm]U_n[/mm] gekommen bist?
Wenn wir einmal annehmen, dass [mm] $f(x)\geq [/mm] 0$ ist im betrachteten Integrationsintervall (was bei dieser Teilaufgabe sicher der Fall ist) so ist [mm] $O_n$ [/mm] nichts anderes als die Summe der "Rechteckflächen", deren Breite jeweils [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] ist und deren Höhe der grösste Funktionswert von $f$ im betreffenden Intervall [mm] $\left[(k-1)\frac{1}{n};k\frac{1}{n}\right]$. [/mm] Also ist, wegen [mm] $f(x)=x^2$,
[/mm]
[mm]O_n=\left(1\cdot \frac{1}{n}\right)^2\cdot\frac{1}{n}+\left(2\cdot \frac{1}{n}\right)^2\cdot\frac{1}{n}+\left(3\cdot \frac{1}{n}\right)^2\cdot\frac{1}{n}+\cdots +\left(k\cdot \frac{1}{n}\right)^2\cdot\frac{1}{n}[/mm]
Klammert man den gemeinsamen Faktor [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] aus, so erhält man exakt die Form von [mm] $O_n$, [/mm] die ich angegeben hatte. Analog für [mm] $U_n$, [/mm] nur dass dort jeweils anstelle des grössten Funktionswertes von $f$ im $k$-ten Teilintervall, also [mm] $\left(k\frac{1}{n}\right)^2$, [/mm] der kleinste Funktionswert von $f$ im $k$-ten Teilintervall, also [mm] $\left((k-1)\frac{1}{n}\right)^2$, [/mm] verwendet wird.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:59 Sa 07.06.2008 | | Autor: | nicki83 |
vielen lieben dank!
das erste integral hat den wert 1/2.
ich habe aber noch ein paar fragen zu diesem thema.
wenn a) mein intervall von 0 bis 3 geht, muss ich die integrale dann aufspalten, [mm] also\integral_{0}^{1}{f(x) dx}+\integral_{1}^{2}{f(x) dx}+\integral_{2}^{3}{f(x) dx} [/mm] oder kann ich es so lassen und 3/n nehmen, statt 1/n
b)es sich bei f um winkelfunktionen handelt, z.B.
[mm] \integral_{0}^{2}{sinx dx}. [/mm] wie ermittel ich da [mm] O_n/U_n?
[/mm]
c) es ein polynom ist,z.B. [mm] \integral_{1}^{2}{(2x^2+3)/(x-1) dx}
[/mm]
wie ermittel ich da [mm] O_n/U_n?
[/mm]
lg nici
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> vielen lieben dank!
>
> das erste integral hat den wert 1/2.
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> ich habe aber noch ein paar fragen zu diesem thema.
>
> wenn a) mein intervall von 0 bis 3 geht, muss ich die
> integrale dann aufspalten, [mm]also\integral_{0}^{1}{f(x) dx}+\integral_{1}^{2}{f(x) dx}+\integral_{2}^{3}{f(x) dx}[/mm]
> oder kann ich es so lassen und 3/n nehmen, statt 1/n
Ja. Aber für ein beliebiges $f$ (statt ein monoton wachsendes oder fallendes $f$) besteht eine eventuell ganz erhebliche Schwierigkeit darin, den grössten bzw. den kleinsten Wert von $f(x)$ für [mm] $x\in \;\left[(k-1)\frac{3}{n};k\frac{3}{n}\right]$ [/mm] zu finden.
>
> b)es sich bei f um winkelfunktionen handelt, z.B.
> [mm]\integral_{0}^{2}{sinx dx}.[/mm] wie ermittel ich da [mm]O_n/U_n?[/mm]
Also vielleicht grundsätzlich sollte gesagt werden: das Berechnen von bestimmten Integralen mit Hilfe von Ober- bzw. Untersummen ist mehr eine didaktische Übung: zwecks Illustration der Definition des bestimmten Integrals. Aber die praktische Berechnung läuft fast immer über die Bestimmung einer sogenannten Stammfunktion des Integranden.
Bei diesem speziellen Beispiel ist es so, dass für [mm] $0\leq x\leq \frac{\pi}{2}\approx [/mm] 1.57$ der [mm] $\sin(x)$ [/mm] streng mononton wachsend ist, für [mm] $\frac{\pi}{2}\leq x\leq [/mm] 2$ aber streng monoton fallend. Deshalb kann man für die Berechnung der Obersummem [mm] $O_n$ [/mm] in diesem Falle nicht mehr pauschal die Funktionswerte an der oberen Grenze des Teilintervalls nehmen.
Und wenn man dieses Problem gelöst hat, dann bleibt noch das weitere - und vielleicht grössere - Problem, eine Summationsformel für Werte von [mm] $\sin(x)$ [/mm] an gewissen einigermassen merkürdigen Stellen des Integrationsintervalls $[0;2]$ zu finden.
>
> c) es ein polynom ist,z.B. [mm]\integral_{1}^{2}{(2x^2+3)/(x-1) dx}[/mm]
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> wie ermittel ich da [mm]O_n/U_n?[/mm]
Wie gesagt: die effektive Berechnung von [mm] $O_n$ [/mm] und [mm] $U_n$ [/mm] mit nachfolgender Grenzwertbetrachtung für [mm] $n\rightarrow \infty$ [/mm] hat mehr didaktischen / prinzipellen, nicht aber praktischen Wert für die Berechnung von Integralen.
Daher meine Empfehlung: warte nun besser, bis der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung bewiesen ist, so dass Du viele Integrale ohne jede Bestimmung von Unter- bzw. Obersummen und deren Grenzwerte berechnen kannst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:57 So 08.06.2008 | | Autor: | nicki83 |
vielen lieben dank für deine hilfe!!
lg nici
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