rotierendes Wasserbecken < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:40 So 12.01.2014 | | Autor: | Coxy |
| Aufgabe | Die Oberfläche eines Wasserbeckens formt sich zu einem Rotationsparaboloiden wenn es um seinen Mittelpunkt gedreht wird. Richtig Spaß macht es natürlich nur, wenn das Becken dabei überläuft.
Bei welche Rotationsfrequenz läuft ein Wasserbad über, das um seinen Mittelpunkt gedreht wird
Hinweis: wenn sie ihre Nerven schonen wollen, nehmen Sie nur einen zweidimensionalen Schnitt an bzw. das Becken als rotationssymmetrisch um die Rotationsachse.
Leiten sie die allgemeine Parabelgleichung aus dem Kräftegleichgewicht her. Bestimmen Sie dann die Konstanten und dann die entsprechende Frequenz für den Überlauf. Überprüfen sie das Ergebnis auf Plausibilität |
Leider weis ich nicht so recht wie ich mit der aufgabe anfangen soll bzw. welches Kräftegleichgewicht gemeint ist.
Ich könnte mir nur vorstellen das auf das Wasser Zentripetalkraft wirkt, aber damit komme ich noch nicht weit :/
Ich bin für jede inspirierende Idee dankbar.
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Was ist denn der Mittelpunkt eines Wasserbeckens?
Also: Mach dir selber eine gescheite Aufgabenstellung daraus, z.B.
Zylinderförmiges Becken mit Radius R und (zunächst) beliebiger Höhe h, Rotation um Symmetrieachse mit Winkelfrequenz [mm] \omega.
[/mm]
An irgend einem Punkt auf der Wasseroberfläche im Abstand r von der Achse stellt sich die Oberfläche so ein, dass die Teilchen darauf nicht mehr "verschoben werden wollen", dass also die Summe aller darauf wirkenden Kräfte keine Komponente in Richtung der Oberfläche mehr hat, sondern nur senkrecht zur Oberfläche gerichtet ist. Mit anderen Worten:
Bestimme die Richtung der Kräftesumme aus Fliehkraft und Schwerkraft. Die Oberfläche steht senkrecht darauf --> Parabel. Bestimme die Fkt-Gleichung der Parabel in Abhängigkeit von [mm] \omega [/mm] bzw. f. Damit kannst du ermitteln, wann das Wasser am Rand wie hoch gestiegen ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Mo 13.01.2014 | | Autor: | Coxy |
so dann setze ich Gravitations=Fliehkraft also
[mm] m*g=m*r*w^2 [/mm] wobei [mm] w=2\pi [/mm] f
Nach dem kürzen und umstellen erhalte ich
[mm] 0=\bruch{r*w^2}{g}
[/mm]
Nur wie muss ich jetzt weiter vorgehen?
Bzw. wie bestimme ich r?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:36 Mo 13.01.2014 | | Autor: | chrisno |
Du musst die vorige Antwort genauer lesen. Das Wort "Richtung" hast Du nicht berücksichtigt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Mo 13.01.2014 | | Autor: | Coxy |
ich verstehe nicht so genau was du meinst`?
Könntest du das etwas erörtern?
Ist das was ich bisher gemacht habe falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 Mo 13.01.2014 | | Autor: | chrisno |
> ich verstehe nicht so genau was du meinst'?
Ich zitiere:
"Bestimme die Richtung der Kräftesumme aus Fliehkraft und Schwerkraft. Die Oberfläche steht senkrecht darauf --> Parabel."
> Könntest du das etwas erörtern?
Ich fasse mich kurz: wenn es um eine Richtung geht, wirst Du die Arbeit mit Vektoren nicht vermeiden können.
> Ist das was ich bisher gemacht habe falsch?
Ja, Du hast zwei Kräfte gleich gesetzt. Das wurde Dir nicht vorgeschlagen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:24 Mo 13.01.2014 | | Autor: | Coxy |
Also ich verstehe immer noch nicht so recht, deswegen habe ich mal eine Skizze gemacht.
Stimmt diese oder habe ich wieder etwas verkehrt gemacht?
Ich weiß immer noch nicht so recht wo ich anfangen soll...
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:17 Di 14.01.2014 | | Autor: | notinX |
> Also ich verstehe immer noch nicht so recht, deswegen habe
> ich mal eine Skizze gemacht.
Das ist immer eine gute Idee.
> Stimmt diese oder habe ich wieder etwas verkehrt gemacht?
Sieht gut aus.
> Ich weiß immer noch nicht so recht wo ich anfangen
> soll...
Berechne den Winkel zwischen Deiner grünen Geraden und der Tangente der roten Kurve.
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:21 Di 14.01.2014 | | Autor: | Coxy |
okay danke erst mal.
Aber mein Problem ist ja das ich noch keine Gleichung für die rote Kurve habe :/ Wie soll ich dann die Tangente bzw. den Winkel bestimmen?
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Hallo!
Das mit dem Winkel geht nicht ganz in die richtige Richtung, meint aber das richtige.
Deine grüne Gesamtkraft steht senkrecht auf der roten Wasseroberfläche, das hast du ja auch so eingezeichnet.
Dein erstes Ziel sollte es jetzt sein, die Steigung der roten Funktion an der Stelle, an der der grüne Vektor angeheftet ist, zu berechnen.
Dazu ein Tipp: Eine Steigung m bedeutet ja "ein schritt nach rechts, m Schritte nach oben". Als Vektor kann man dieses Sachverhalt als [mm] \vektor{1\\m} [/mm] schreiben. Wichtig ist dabei die 1 (ein Schritt) in dem Vektor, aber du kannst den Vektor, aus dem du die Steigung ablesen willst, mit einem beliebigen Wert multiplizieren, so dass hinterher oben ne 1 steht.
Danach kannst du zu einer beliebigen Position x angeben, wie groß die Steigung der roten Linie dort ist. Dabei ist zu erwarten, daß die Steigung linear von der Position abhängt, denn wie die Aufgabenstellung schon erwähnt, die rote Funktion ist eine Parabel. Du mußt allerdings berechnen, wie sie genau aussieht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:47 Di 14.01.2014 | | Autor: | Coxy |
Gut das habe ich verstanden. Aber 2 Fragen habe ich immer noch - ich dachte die Parabel form ist abhängig von Omega und nicht r.
Außerdem habe ich nur die Formel
[mm] Fliehkraft=m*r*w^2
[/mm]
Gewichtskraft=m*g
Nun dachte ich das ich daraus Vektoren basteln kann:
Für die Gewichtskraft [mm] \vektor{0\\ m*g} [/mm] und für die Fliehkraft
[mm] \vektor{m*r*w^2 \\ 0} [/mm] dann habe ich beide addiert:
[mm] \vektor{m*r*w^2 \\ m*g}.
[/mm]
Stimmt da soweit? Nur ich hab keine Ahnung wie ich jetzt den Normalenvektor dazu bestimmen soll ?
Allgemein verstehe ich ja immer noch nicht welches Kräftegleichgewicht gemeint ist. Ich hab nichts wirklich zum anpacken womit anfange könnte...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:59 Di 14.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Tangente ist senkrecht auf diiesem . richtigen Vektor das Skalarprodukt ist also 0
oder wenn du die Steigung [mm] n_y/n_x [/mm] =m des Normalenvektors n hast ost -1/m die Steigung senkrecht dazu! Eigentlich könntest du das aus der Zeichnung ablesen, wenn du die Tangente einträgst!
Gruß leduart!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Di 14.01.2014 | | Autor: | Coxy |
Soweit ich kam ich schon
$ [mm] \vektor{m\cdot{}r\cdot{}w^2 \\ m\cdot{}g}. $*\vektor{1\\ x}=
[/mm]
[mm] m*r*w^2+(m*g)*x=0
[/mm]
So und wie soll ich da nun weiter kommen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:22 Di 14.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Soweit ich kam ich schon
> [mm]\vektor{m\cdot{}r\cdot{}w^2 \\ m\cdot{}g}.[/mm][mm] *\vektor{1\\ x}=[/mm]
was soll denn das sein?
ich hatte dir doch gesagt wie du f'(r==f'(x) berechnen kannst?
und aus f'(x) kannst du hoffentlich f(x) rauskriegen?
oder was soll dein x denn sein und den Vektor [mm] \vektor{1\\ x} [/mm] versteh ich nicht
> [mm]m*r*w^2+(m*g)*x=0[/mm]
> So und wie soll ich da nun weiter kommen?
Damit sicher nicht!
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 Di 14.01.2014 | | Autor: | Coxy |
Das soll der Normalenvektor sein, denn ich ja bestimmen muss.
Wenn ich den Normalenvektor habe kann ich ja die Steigung bestimmen.
Aber jetzt bin wieder Anfang :/
Wie kann ich denn den Normalen Vektor bestimmen?
bzw. dessen Steigung?
Die Steigung meines grünen Pfeiles enspricht ja:
Steigung= [mm] \bruch{m*g}{m*r*w^2}
[/mm]
also [mm] Steigung=\bruch{g}{r*w^2}
[/mm]
oder ist das auch falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:52 Di 14.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Steigung des Normalen Vektors, besser m statt x hast du, dein eingezeichneter Pfeil allerdings hat die dazu negative Steigung also [mm] m=-=\bruch{g}{r\cdot{}w^2} [/mm] auch das kann man doch aus der Zeichnung sehen!
damit hast du jetzt auch mit -1/m die Steigung der Tangente an der Stelle r bzw. x.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Di 14.01.2014 | | Autor: | Coxy |
So also ich habe als funkton für die Steigung
[mm] f´(x)=\bruch{w^2}{g}*x
[/mm]
somit habe ich für die eigentlich Funktion
[mm] f(x)=\bruch{1}{2}*\bruch{w^2}{g}*x^2+h
[/mm]
und für die Wassermenge im Gefäß
[mm] F(x)=\bruch{1}{6}*\bruch{w^2}{g}*x^3+h*x
[/mm]
Wie gehe nun aber weiter vor?
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Hallo!
Das mit der Wassermenge ist nicht so einfach, denn bisher betrachtest du ja nur einen Schnitt durch die Mitte des Gefäßes.
Dein F(x) ist die Fläche unter deiner roten Linie, nicht das Volumen im ganzen Becken.
Es handelt sich um einen Rotationskörper, daher bekommst du das Volumen über [mm] $V=\int_0^R 2*\pi*x*f(x)\,dx$ [/mm] , wobei R der Radius des Gefäßes ist.
Wie auch immer, du hast nun die Form der Oberfläche. Aber du hast keine Information darüber, wie hoch die Wände sind, wie groß R ist, oder wie viel Wasser in den Gefäß ist.
Grundsätzlich ist aber f(R) die Höhe des Wasserspiegels am Rand. Das h in der Formel ist die Wasserhöhe im Zentrum, und das kannst du z.B mit der Volumenformel berechnen, wenn das Gesamtvolumen gegeben ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Mi 15.01.2014 | | Autor: | Coxy |
Hallo,
zu nächst einmal mach ich das nur 2 Dimensonal da es sonst zu kompliziert wird.
ich hab jetzt für die Höhe des Beckes bei Ruhe
h2*d1
das kann ich dann ja dem Integral gleichsetzen weil es ja die gleiche menge an wasser sein soll
[mm] \bruch{1}{6}*\bruch{w^2}{g}*d1^2+h1=h2
[/mm]
(d1 wurde auf beiden Seiten gekürzt)
So wie muss aber nun weitermachen?
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Hallo!
Naja, du verwechselst hier die Höhe der Wände mit der tiefe des Wassers in Ruhe. Wenn beides gleich wäre, würde die geringste Drehbewegung zum Überlaufen führen, weil der Behälter schon in Ruhe randvoll ist.
Gemeint ist das ganze so:
Du hast die generelle Form der Oberfläche zu [mm] f(x)=\frac{\omega^2}{6g}*x^2+h [/mm] berechnet. Der Bruch kann als gegeben angesehen werden, h ist unbekannt.
Da f(0)=h ist, ist h die Höhe des Wassers in der Mitte des rotierenden Beckens. Und damit ist h abhängig von der Gesamtmenge Wasser.
Deshalb brauchst du das Integral über f(x), welches das Volumen der rotierenden Wassersäule angibt. Auch da steht noch das h drin. Setzt du das Integral aber gleich dem hoffentlich auch gegebenen Volumen an Wasser, kannst du h berechnen.
Erst dann kannst du sagen, an welcher Stelle das Wasser im rotierenden Behälter wie tief ist.
Und dann mußt du eben wissen, wie hoch der Rand des Beckens ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:29 Di 14.01.2014 | | Autor: | chrisno |
Zur Strategie:
Du bekommst für jeden Radius eine Steigung der gesuchten Funktion, also $f'(r)$. Damit kannst Du dann $f(r)$ finden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:42 Mo 13.01.2014 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> so dann setze ich Gravitations=Fliehkraft also
was die Vorgehensweise angeht, hast Du ja schon Rückmeldung bekommen.
> [mm]m*g=m*r*w^2[/mm] wobei [mm]w=2\pi[/mm] f
> Nach dem kürzen und umstellen erhalte ich
> [mm]0=\bruch{r*w^2}{g}[/mm]
Ich möchte nur sicherheitshalber noch klarstellen, dass das mathematischer Unsinn ist. Es gilt nicht :
[mm] $\frac{g}{g}=0$
[/mm]
Gruß,
notinX
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