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Forum "Topologie und Geometrie" - schiefsymm. Matrizen
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schiefsymm. Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:24 Mo 04.07.2016
Autor: impliziteFunktion

Aufgabe
Eine Matrix [mm] $A\in M_n(\mathbb{R})\cong\mathbb{R}^{n\times n}$ [/mm] heißt schiefsymmetrisch, falls [mm] $A^T=-A$. [/mm]
Wir betrachten O(n) (orthogonale Matrizen) als Untermannigfaltigkeit von [mm] $\mathbb{R}^{n\times n}$. [/mm]

a) Sei [mm] $c:(-\epsilon,\epsilon)\to [/mm] O(n)$ glatt und [mm] $c(0)=E_n$ [/mm] (Einheitsmatrix). Zeigen Sie, dass $c'(0)$ schiefsymmetrisch ist.

b) Sei [mm] $A\in M_n(\mathbb{R}$ [/mm] schiefsymmetrisch. Zeigen Sie, dass dann [mm] $e^{tA}$ [/mm] für alle [mm] $t\in\mathbb{R}$ [/mm] orthogonal ist.


Hallo,

ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.

zu a): Ich kann den Umkehrsatz benutzen und dann den Satz über implizite Funktionen anwenden. Doch sehe ich nicht recht, ob das tatsächlich hilft.


zu b): Um zu zeigen, dass [mm] $e^{tA}$ [/mm] orthogonal ist, muss [mm] $(e^{tA})^T(e^{tA})=E_n$ [/mm] gelten.

Es ist [mm] $(e^{tA})^T(e^{tA})=e^{t(A^T)}e^{tA}=e^{-tA}e^{tA}$, [/mm] da A schiefsymmetrisch.

Dann ist [mm] $e^{(t-t)A}=e^{0}=E_n$, [/mm] wobei $0$ hier die Null-Matrix bezeichnet.

Hat jemand einen Tipp für die a)?
Vielen Dank im voraus.

        
Bezug
schiefsymm. Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:55 Mo 04.07.2016
Autor: hippias


> Eine Matrix [mm]A\in M_n(\mathbb{R})\cong\mathbb{R}^{n\times n}[/mm]
> heißt schiefsymmetrisch, falls [mm]A^T=-A[/mm].
>  Wir betrachten O(n) (orthogonale Matrizen) als
> Untermannigfaltigkeit von [mm]\mathbb{R}^{n\times n}[/mm].
>  
> a) Sei [mm]c:(-\epsilon,\epsilon)\to O(n)[/mm] glatt und [mm]c(0)=E_n[/mm]
> (Einheitsmatrix). Zeigen Sie, dass [mm]c'(0)[/mm] schiefsymmetrisch
> ist.
>  
> b) Sei [mm]A\in M_n(\mathbb{R}[/mm] schiefsymmetrisch. Zeigen Sie,
> dass dann [mm]e^{tA}[/mm] für alle [mm]t\in\mathbb{R}[/mm] orthogonal ist.
>  
> c) Folgern Sie: [mm]T_{E_n}^{u} O(n)[/mm] ist der Raum aller
> schiefsymmetrischen Matrizen in [mm]M_n(\mathbb{R})[/mm]
>  Hallo,
>  
> ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
>  
> zu a): Ich kann den Umkehrsatz benutzen und dann den Satz
> über implizite Funktionen anwenden. Doch sehe ich nicht
> recht, ob das tatsächlich hilft.

Nutze aus, dass $c$ in die Menge der orthogonalen Matrizen abbildet: d.h. betrachte [mm] $c(t)(c(t))^{T}$. [/mm]

>  
>
> zu b): Um zu zeigen, dass [mm]e^{tA}[/mm] orthogonal ist, muss
> [mm](e^{tA})^T(e^{tA})=E_n[/mm] gelten.
>  
> Es ist [mm](e^{tA})^T(e^{tA})=e^{t(A^T)}e^{tA}=e^{-tA}e^{tA}[/mm],
> da A schiefsymmetrisch.
>  
> Dann ist [mm]e^{(t-t)A}=e^{0}=E_n[/mm], wobei [mm]0[/mm] hier die Null-Matrix
> bezeichnet.

O.K.

>  
> Hat jemand einen Tipp für die a)?
>  Vielen Dank im voraus.


Bezug
                
Bezug
schiefsymm. Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:05 Mo 04.07.2016
Autor: impliziteFunktion


> Nutze aus, dass $ c $ in die Menge der orthogonalen Matrizen abbildet: d.h. betrachte $ [mm] c(t)(c(t))^{T} [/mm] $.

Also [mm] $c(t)c(t)^T=E_n=c(0)$ [/mm]

Und nun differenzieren?

Edit:

Ich glaube ich habe es (Edit2: Nein, ist Quatsch... Ich habe gerade irgendwie [mm] E_n [/mm] mit der Nullmatrix verwechselt...)

[mm] $c'(0)=c'(t)c(t)^T+c(t)c'(t)^T=E_n$ [/mm]

Also gilt [mm] $c'(t)c(t)^T=-c(t)c'(t)^T$ [/mm]

Dann ist [mm] $(c'(t)^T)^Tc(t)^T=-c(t)c'(t)^T$ [/mm]

Also [mm] $c(t)c'(t)^T=-c(t)c'(t)^T$ [/mm]
Unter Ausnutzung von [mm] $(AB)^T=B^TA^t$[/mm]

Bezug
                        
Bezug
schiefsymm. Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:42 Di 05.07.2016
Autor: fred97

Aus  [mm] c(t)c(t)^T=E_n [/mm] folgt durch Differentiation:

   [mm] c'(t)c(t)^T+c(t)c'(t)^T=0. [/mm]

Mit t=0 bekommen wir


    [mm] c'(0)c(0)^T+c(0)c'(0)^T=0. [/mm]

Wegen [mm] c(0)=E_n=c(0)^T [/mm] ergibt sich dann was ?

FRED


Bezug
                                
Bezug
schiefsymm. Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:11 Di 05.07.2016
Autor: impliziteFunktion

Ach, natürlich. So erhält man leicht das was zu zeigen ist.
Ich hatte da auch gestern mich verschrieben und mein zweiter Edit war falsch. Nach dem ableiten habe ich natürlich die Nullmatrix und nicht mehr die Einheitsmatrix.

Man erhält [mm] $c'(0)=-c'(0)^T$ [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
schiefsymm. Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:55 Di 05.07.2016
Autor: fred97


> Ach, natürlich. So erhält man leicht das was zu zeigen
> ist.
>  Ich hatte da auch gestern mich verschrieben und mein
> zweiter Edit war falsch. Nach dem ableiten habe ich
> natürlich die Nullmatrix und nicht mehr die
> Einheitsmatrix.
>  
> Man erhält [mm]c'(0)=-c'(0)^T[/mm]

So ist es.

FRED


Bezug
                                                
Bezug
schiefsymm. Matrizen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:26 Di 05.07.2016
Autor: impliziteFunktion

Vielen Dank.

Bezug
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