schiefsymmetrische Matrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:27 Sa 14.06.2008 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Sei [mm] A \in M_{n\times n}(\IR) [/mm] schiefsymmetrisch.
1) Beweisen Sie, dass [mm] I_n+A [/mm] invertierbar ist.
2) Beweisen Sie, dass [mm] (I_n-A)(I_n+A)^{-1} [/mm] orthogonal ist. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
also erstmal bedeutet schiefsymm., dass [mm] A^T=-A [/mm] ist, d.h. auf der Diagonalen stehen Nullen. Wenn ich dann die Einheitsmatrix draufaddiere, stehen dort 1-en, und ich denke mir, dass die Determinante dadurch nicht 0 wird, aber wie beweise ich es ?
zu 2) Muss ich dabei zeigen, dass das Produkt 0 ergibt ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:03 Mo 16.06.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Sei [mm]A \in M_{n\times n}(\IR)[/mm] schiefsymmetrisch.
> 1) Beweisen Sie, dass [mm]I_n+A[/mm] invertierbar ist.
> 2) Beweisen Sie, dass [mm](I_n-A)(I_n+A)^{-1}[/mm] orthogonal ist.
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Hallo,
> also erstmal bedeutet schiefsymm., dass [mm]A^T=-A[/mm] ist, d.h.
> auf der Diagonalen stehen Nullen. Wenn ich dann die
> Einheitsmatrix draufaddiere, stehen dort 1-en, und ich
> denke mir, dass die Determinante dadurch nicht 0 wird, aber
> wie beweise ich es ?
Betrachte doch mal die Eigenwerte. [mm] $I_n [/mm] + A$ ist genau dann invertierbar, wenn $A$ nicht den Eigenwert $-1$ hat. Also musst du eine Aussage ueber die Eigenwerte von $A$ treffen. Dazu brauchst du jetzt, dass $A$ schiefsymmetrisch ist.
Weisst du z.B. wie man Aussagen ueber die Eigenwerte von symmetrischen (oder orthogonalen) Matrizen zeigt? Sowas aehnliches kannst du auch hier machen.
> zu 2) Muss ich dabei zeigen, dass das Produkt 0 ergibt ?
Welches Produkt? Das [mm] $(I_n [/mm] - A) [mm] (I_n [/mm] + [mm] A)^{-1}$? [/mm] Ich bezweifle mal, dass das im allgemeinen 0 ist.
Du musst zeigen, dass $[ [mm] (I_n [/mm] - A) [mm] (I_n [/mm] + [mm] A)^{-1} [/mm] ] [ [mm] (I_n [/mm] - A) [mm] (I_n [/mm] + [mm] A)^{-1} ]^T [/mm] = [mm] I_n$ [/mm] ist. Dazu rechne das doch einfach mal aus und beachte, wie Transponieren mit Invertieren vertauscht, und was transponieren mit [mm] $I_n$ [/mm] bzw. $A$ macht.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Mi 18.06.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Felix,
erstmal vielen Dank für Deine Hilfe.
Nachdem meine Frage abgelaufen war, war ich ein paar Tage nicht mehr in diesem Forum, deshalb melde ich mich erst jetzt.
Die Nr.2 habe ich jetzt verstanden - vielen Dank- , aber beim 1.Teil komme ich immer noch nicht weiter:
> Betrachte doch mal die Eigenwerte. [mm]I_n + A[/mm] ist genau dann
> invertierbar, wenn [mm]A[/mm] nicht den Eigenwert [mm]-1[/mm] hat. Also musst
> du eine Aussage ueber die Eigenwerte von [mm]A[/mm] treffen. Dazu
> brauchst du jetzt, dass [mm]A[/mm] schiefsymmetrisch ist.
>
> Weisst du z.B. wie man Aussagen ueber die Eigenwerte von
> symmetrischen (oder orthogonalen) Matrizen zeigt? Sowas
> aehnliches kannst du auch hier machen.
Leider weiss ich das nicht. Also wenn ich die 2 Matrizen addiere, steht ja auf der Diagonalen der Wert 1 (wenn A den EW -1 hätte, würde hier dann 0 stehen). Aber für die Invertierbarkeit darf die Determinante nicht 0 werden, und die ist ja nicht gleich der Diagonalen, solange es keine Dreiecksmatrix ist. Für den Rest der Matrix kann man sagen, dass [mm] a_{ij} = -a_{ji} [/mm] ist, aber wie komme ich dadurch zu der Aussage, dass die Determinante ungleich 0 ist ?
Oder was kann ich mit dem EW machen ?
Vielen Dank
LG, Susanne.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:25 Do 19.06.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Susanne
> Die Nr.2 habe ich jetzt verstanden - vielen Dank- ,
schoen :)
> aber beim 1.Teil komme ich immer noch nicht weiter:
>
> > Betrachte doch mal die Eigenwerte. [mm]I_n + A[/mm] ist genau dann
> > invertierbar, wenn [mm]A[/mm] nicht den Eigenwert [mm]-1[/mm] hat. Also musst
> > du eine Aussage ueber die Eigenwerte von [mm]A[/mm] treffen. Dazu
> > brauchst du jetzt, dass [mm]A[/mm] schiefsymmetrisch ist.
> >
> > Weisst du z.B. wie man Aussagen ueber die Eigenwerte von
> > symmetrischen (oder orthogonalen) Matrizen zeigt? Sowas
> > aehnliches kannst du auch hier machen.
>
> Leider weiss ich das nicht. Also wenn ich die 2 Matrizen
> addiere, steht ja auf der Diagonalen der Wert 1 (wenn A den
> EW -1 hätte, würde hier dann 0 stehen). Aber für die
> Invertierbarkeit darf die Determinante nicht 0 werden, und
> die ist ja nicht gleich der Diagonalen, solange es keine
> Dreiecksmatrix ist.
Eine schiefsymmetrische Matrix ist genau dann eine Diagonalmatrix, wenn sie die Nullmatrix ist; insofern ist das hier wirklich nicht so interessant 
> Für den Rest der Matrix kann man sagen,
> dass [mm]a_{ij} = -a_{ji}[/mm] ist, aber wie komme ich dadurch zu
> der Aussage, dass die Determinante ungleich 0 ist ?
> Oder was kann ich mit dem EW machen ?
Versuch's doch mal so: sei [mm] $\lambda$ [/mm] ein Eigenwert und $v [mm] \neq [/mm] 0$ ein Eigenvektor zu [mm] $\lambda$. [/mm] (Dies ist erstmal eine komplexe Zahl plus ein Vektor im komplexen.) Betrachte mal [mm] $\langle [/mm] A v, v [mm] \rangle [/mm] = [mm] \overline{A v}^T [/mm] v$. Du kannst das $A$ mittels der schief-symmetrie-Eigenschaft auf die andere Seite bringen (und dann kommt ein Minus dazu), und du kannst ausnutzen dass $v$ ein Eigenvektor zum Eigenwert [mm] $\lambda$ [/mm] ist. Und dass [mm] $\langle [/mm] v, v [mm] \rangle [/mm] > 0$ ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:38 Do 19.06.2008 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Felix,
> Versuch's doch mal so: sei [mm]\lambda[/mm] ein Eigenwert und [mm]v \neq 0[/mm]
> ein Eigenvektor zu [mm]\lambda[/mm]. (Dies ist erstmal eine komplexe
> Zahl plus ein Vektor im komplexen.) Betrachte mal [mm]\langle A v, v \rangle = \overline{A v}^T v[/mm].
> Du kannst das [mm]A[/mm] mittels der schief-symmetrie-Eigenschaft
> auf die andere Seite bringen (und dann kommt ein Minus
> dazu), und du kannst ausnutzen dass [mm]v[/mm] ein Eigenvektor zum
> Eigenwert [mm]\lambda[/mm] ist. Und dass [mm]\langle v, v \rangle > 0[/mm]
> ist.
VIELEN VIELEN DANK, jetzt hab ich es verstanden !
LG, Susanne.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 So 14.06.2009 | | Autor: | pedaa |
| Aufgabe | | I-A ist invertierbar (mit A schiefsym.) |
In meinem Falle wäre das ja invertierbar, wenn mein Eigenwert nicht +1 ist. Das ist mir klar. Was die Geschichte mit dem Skalarprodukt hier bringt ist mir nicht klar. Du schreibst man kann die Matrix mittels der Schiefsym.-Eigenschaft auf die andere Seite bringen, wie und welche meinst du? [mm] A*x=\lambda*x [/mm] das ist klar und wie gehts weiter?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 So 14.06.2009 | | Autor: | pedaa |
So, ich hab das jetzt mal versucht. Dabei ist mir aufgefallen, dass der Schritt $ [mm] (A*x)^T*x [/mm] = [mm] A^T*x^T*x=A^T* [/mm] $ falsch ist. Denn dann ändert sich ja die Dimension.
Wie soll ich nun A auf die andere Seite bringen?
Hier gilt: $ [mm] =<\lambda*x,x>=\lambda* [/mm] $
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Hallo,
um zu zeigen, dass I+A invertierbar ist, zeige ich, dass Kern(f)={0} ist:
Sei [mm] v \in Kern(f) [/mm] , also [mm] (I_n+A)v = 0 [/mm]
Dann gilt:
[mm] 0=v^T(I_n+A)v=v^Tv+v^TAv [/mm]
und, da A schiefsymmetrisch ist
[mm] 0=v^T(I_n-A)v=v^Tv-v^TAv [/mm]
Das addiert ergibt
[mm] 0=2v^Tv [/mm] also v=0 und damit Kern(f)=0 und damit I+A invertierbar.
Ich hoffe, das ist verständlich.
LG, Susanne.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:00 So 14.06.2009 | | Autor: | pedaa |
(s.u.)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 So 14.06.2009 | | Autor: | pedaa |
Hallo,
dieser Beweis funktioniert meiner Meinung nach nur für symmetrische Matrizen. Bei dir fehlt das Transponiert-Zeichen in der zweiten Gleichung!
Das Ergebnis setzt sich dann nämlich wie folgt zusammen
$ [mm] 2v^T*v [/mm] - [mm] v^T*A*v [/mm] + [mm] v^T [/mm] * [mm] A^T*v [/mm] $
Wie gehts nun weiter?
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> Hallo,
>
> dieser Beweis funktioniert meiner Meinung nach nur für
> symmetrische Matrizen. Bei dir fehlt das
> Transponiert-Zeichen in der zweiten Gleichung!
>
> Das Ergebnis setzt sich dann nämlich wie folgt zusammen
>
> [mm]2v^T*v - v^T*A*v + v^T * A^T*v[/mm]
>
> Wie gehts nun weiter?
Hallo,
es fehlt kein transponiert-Zeichen.
Die 2.Gleichung wird so entwickelt:
[mm] 0=(v^T(I+A)v)^T=v^t(I+A)^Tv=v^T(I-A)v=v^Tv-v^TAv [/mm]
(da [mm] A^T=-A)
[/mm]
LG, Susanne.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:18 So 14.06.2009 | | Autor: | SusanneK |
(siehe Antwort oben)
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