schnitt trigonom. Funktionen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:02 Di 06.06.2006 | | Autor: | Fairy |
| Aufgabe | | Gegeben ist die Funktion g durch g(x) = 0,5x-a*sin(x)-1 , x [mm] \in [/mm] [0;5], a > 0,5. Ihr Schaubild Kg schließt mit Kf : 0,5x-0,5sin(x)-1 eine Fläche mit dem Inhalt 5 FE ein . Bestimmen sie a. |
Hallo
ich lerne gerade für meine Abschlussprüfung (BKFH) und stehe vor dieser Aufgabe.
Da die zwei Graphen eine Fläche einschließen muss man logischerweise erstmal die Schnittpunkte der Graphen berechnen soviel ist mir schonmal klar.
Also f [mm] \cap [/mm] g
Also 0,5x-a*sin(x)-1 = 0,5x-0,5sin(x)-1
Als Ergebnis sollte dann sin(x) = 0 , also Schnittpunkte 0 und [mm] \pi [/mm] für x [mm] \in [/mm] [0;5] herauskommen, aber wie ich darauf komme ist mir unklar.
Mein Hauptproblem sind also die Schnittpunkte zweier trigonometrischer Funktionen zu berechnen.
Vielen dank schonmal im Vorraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 Di 06.06.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Fairy,
Der Ansatz, den Schnittpunkt von f und g zu berechnen, ist vollkommen korrekt. Also bekomme ich:
0,5x-a*sin(x)-1 = 0,5x-0,5sin(x)-1
Weitere Unformungen ergeben
0,5x-a*sin(x)-1 = 0,5x-0,5sin(x)-1 | +1 |-0,5x
[mm] \gdw [/mm] -a sin(x) = 0,5 sin(x)
Die Schnittpunkte sind 0 und alle Werte von x im Intervall [0;5], deren Sinuswert 0 ergibt, weil die Aussage von oben (-a sin(x) = 0,5 sin(x)) dann zur wahren Aussage 0=0 führt.
Der Sinus ist, wie du ja an der Funktionskurve erkennen kannst, periodisch.
Also sind die Gesuchten Schnittstellen die Nullstellen der Sinusfunktion zwischen 0 und 5.
Die Nullstellen der Sinusfunktion sind [mm] x_{0} [/mm] = k [mm] \pi [/mm] , k [mm] \in \IZ [/mm] .
Für k = 1 und k= 0 liegt der Wert [mm] k\pi [/mm] in deinem Intervall. Also hast du die Schnittstellen zwischen f ung g bei 0 * [mm] \pi [/mm] = 0 ind 1 * [mm] \pi [/mm] = [mm] \pi \approx [/mm] 3,141....
Also musst du jetzt das Integral
[mm] \integral_{0}^{\pi}{f(x)-g(x)} [/mm] lösen, weil f(x) > g(x) in dem geuchten Bereich von 0 bis [mm] \pi. [/mm] Die Fläche, also das Integral soll 5 ergeben.
Also gilt:
5 = [mm] \integral_{0}^{\pi}{f(x)-g(x)}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 5 = [mm] \integral_{0}^{\pi}{0,5x-0,5sin(x)-1 - [0,5x-a sin(x)-1]}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 5 = [mm] \integral_{0}^{\pi}{-0,5sin(x) + a sin(x)}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 5 = [mm] \integral_{0}^{\pi}{(-0,5 +a)sin(x)}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 5 = (-0,5 +a) [mm] \integral_{0}^{\pi}{sin(x)} [/mm] Stammfunktion bilden
[mm] \gdw [/mm] 5 = (-0,5 +a) [mm] [-cos(\pi) [/mm] - (-cos(0))]
[mm] \gdw [/mm] 5 = (-0,5 +a) [-(-1) - (-1)]
[mm] \gdw [/mm] 5 = (-0,5 +a) *2
[mm] \gdw [/mm] 5 = -1 +2a
[mm] \gdw [/mm] a = 3
Ich hoffe, das ist halbwegs verständlich und hilft weiter.
Ein Tipp noch: Falls dur dir zum Überblick Verschaffen die Funktionen graphisch anschauen willst, Funkyplot (ist Freeware, kostet also nix) ist ein hervorragendes Programm für sowas.
Marius
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