schwache Ableitung < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich beschäftige mich gerade ein bisschen mit Sobolevräumen. Nun habe ich mal eine Frage zur Schwachen Ableitung. Im Buch "M. Dobrowolski, Angewandte Funktionalanalysis" steht folgender Satz:
"Wenn eine Funktion stark differenzierbar ist, so ist sie auch schwach differenzierbar und die Ableitung stimmt überein"
Das macht intuitiv natürlich Sinn, da die schwache Ableitung ja eine Verallgemeinerung der starken Ableitung sein soll.
Das möchte ich jetzt gerne mal auf den [mm] $\mathbb{L}_{2}$ [/mm] anwenden.
Jetzt nehmen wir mal den Satz her und setzen $f(t) [mm] \in \mathbb{L}_{2}(\IR)$ [/mm] sowie $f(t) [mm] \in C^{\infty}(\IR)$. [/mm] Müsste ich dann nicht voraussetzen, dass die $f'(t) [mm] \in \mathbb{L}_{2}(\IR)$ [/mm] um zu sagen, dass $f'(t)$ die schwache Ableitung ist?
Viele Grüße
Blasco
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Hallo,
> Hallo,
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> ich beschäftige mich gerade ein bisschen mit
> Sobolevräumen. Nun habe ich mal eine Frage zur Schwachen
> Ableitung. Im Buch "M. Dobrowolski, Angewandte
> Funktionalanalysis" steht folgender Satz:
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> "Wenn eine Funktion stark differenzierbar ist, so ist sie
> auch schwach differenzierbar und die Ableitung stimmt
> überein"
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> Das macht intuitiv natürlich Sinn, da die schwache
> Ableitung ja eine Verallgemeinerung der starken Ableitung
> sein soll.
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> Das möchte ich jetzt gerne mal auf den [mm]\mathbb{L}_{2}[/mm]
> anwenden.
> Jetzt nehmen wir mal den Satz her und setzen [mm]f(t) \in \mathbb{L}_{2}(\IR)[/mm]
> sowie [mm]f(t) \in C^{\infty}(\IR)[/mm]. Müsste ich dann nicht
> voraussetzen, dass die [mm]f'(t) \in \mathbb{L}_{2}(\IR)[/mm] um zu
> sagen, dass [mm]f'(t)[/mm] die schwache Ableitung ist?
das ist imho eine Frage der Definition. Gehst Du streng nach der Definition der Sobolev-Räume , müssen alle schwachen Ableitungen in [mm] L^2 [/mm] (bzw. allgemeiner in [mm] L^p) [/mm] sein. Schaut man sich dagegen die Definition der schwachen ableitung im Rahmen der Theorie der Distributionen an, muss man nicht unbedingt [mm] $f'\in L^2$ [/mm] fordern.
Um zum Beispiel eine ![[]](/images/popup.gif) reguläre Distribution zu erzeugen, muss eine funktion lediglich lokal integrierbar sein (das trifft auf funktionen in [mm] L^2 [/mm] grundsätzlich zu). Um dann im distributions-sinne die ableitung(en) zu definieren, muss man keine weiteren anforderungen an $f$ oder $f'$ stellen. Hier schliesst sich der Kreis zu den Sobolewräumen: eine funktion f aus [mm] L^2 [/mm] ist genau dann in [mm] $H^1$ [/mm] wenn sich die distributions-ableitung der von f erzeugten regulären distribution wieder von einer [mm] $L^2$-Funktion [/mm] (nämlich $f'$) erzeugen lässt.
gruss
matthias
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