matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenStochastikschwache Konvergenz
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Stochastik" - schwache Konvergenz
schwache Konvergenz < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

schwache Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:04 Mi 14.06.2017
Autor: mimo1

Aufgabe
Seien X, [mm] X_1, X_2,... [/mm] stetige reelle Zufallsvariablen mit [mm] X_n\rightarrow [/mm] X für [mm] n\rightarrow \infty. [/mm] Zeige, dass auch [mm] X_n^2\rightarrow X^2 [/mm] für [mm] n\rightarrow \infty [/mm]

Hallo,

ich habe einige Probleme diese Aufgabe zulösen bzw. weiß ich nicht so recht wie ich anfangen soll, daher hoffe ich Ihr könnt mir da etwas weiterhelfen.

Man muss zeigen, es gilt [mm] X^2_n\rightarrow X^2, [/mm] falls [mm] F_{X_n^2}(x)\rightarrow F_{X}(x). [/mm]

Wie fange hier am Besten an?

        
Bezug
schwache Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:56 Mi 14.06.2017
Autor: HJKweseleit

[mm]X_n^2\rightarrow X^2[/mm] für [mm]n\rightarrow \infty[/mm]

bedeutet: Für jedes [mm] \varepsilon [/mm] > 0 existiert ein N, so dass für alle n>N gilt: [mm] |X^2_n -X^2|<\varepsilon. [/mm]

[mm]X_n\rightarrow[/mm] X für [mm]n\rightarrow \infty.[/mm]

bedeutet: Für jedes [mm] \varepsilon_1 [/mm] > 0 existiert ein [mm] N_1, [/mm] so dass für alle [mm] n>N_1 [/mm] gilt: [mm] |X_n -X|<\varepsilon_1. [/mm]

Das Zweite weißt du, und damit sollst du das Erste beweisen. Das erreichst du, indem du zwischen N, [mm] N_1 [/mm] ,  [mm] \varepsilon [/mm] und [mm] \varepsilon_1 [/mm] eine "entsprechende Beziehung" herstellst.


Bezug
                
Bezug
schwache Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:38 Do 15.06.2017
Autor: mimo1

Vielen Dank für Deinen Hinweis.

kann ich folgendes machen:

[mm] |X^2_n-X^2|=|(X_n-X)(X_n+X)|=|X_n-X|*|X_n+X|<\epsilon|X_n+X|=\epsilon|X_n+X-X+X|<\epsilon^2+2\epsilon|X|=:\epsilon_1 [/mm]

Ist das richtig?

Bezug
                        
Bezug
schwache Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:55 Do 15.06.2017
Autor: X3nion

Hallo mimo1,

viel einfacher:

In Analysis 1 gibt es ein Sätzchen aus den Rechenregeln von Folgen:
Seien [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] und [mm] (b_{n})_{n\in\IN} [/mm] zwei konvergente Folgen in [mm] \IR [/mm] mit [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = a [mm] \in \IR [/mm] und [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} b_{n} [/mm] = b [mm] \in \IR. [/mm]

Dann gilt: [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} (a_{n} [/mm] * [mm] b_{n}) [/mm] = a * b.


Dieser Fall ist eine Anwendung des Satzes mit [mm] a_{n} [/mm] = [mm] X_{n}, b_{n} [/mm] = [mm] X_{n}, [/mm] a = X, b = X

=> [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} X_{n}^{2} [/mm] = [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} (X_{n} [/mm] * [mm] X_{n}) [/mm] = X * X = [mm] X^{2}, [/mm] was zu beweisen war :-)


Viele Grüße,
X3nion


Bezug
                        
Bezug
schwache Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:38 Do 15.06.2017
Autor: HJKweseleit


> Vielen Dank für Deinen Hinweis.
>  
> kann ich folgendes machen:
>  
> [mm]|X^2_n-X^2|=|(X_n-X)(X_n+X)|=|X_n-X|*|X_n+X|<\epsilon|X_n+X|=\epsilon|X_n+X-X+X|<\epsilon^2+2\epsilon|X|=:\epsilon_1[/mm]
>  
> Ist das richtig?

Ja, das hast du genau richtig gemacht. Allerdings muss du davon ausgehen, dass man dir nun [mm] \varepsilon_1 [/mm] nennt und du das dazu passende [mm] \varepsilon [/mm] angeben musst. Umstellen nach [mm] \varepsilon [/mm] mit p-q-Formel gibt:

Zu gegebenem [mm] \varepsilon_1 [/mm] bilde ich

[mm] \varepsilon=\wurzel{x^2+\varepsilon_1}-|x| [/mm] > 0.

Dann ist ab irgendeinem N für n>N der Wert  [mm] |x_n-x|<\varepsilon [/mm] und damit [mm] |x_n^2-x^2|...(s.o.) [/mm] < [mm] \varepsilon_1. [/mm]

Natürlich ist der Weg von X3nion eleganter, wenn man die "Produktregel" kennt.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Stochastik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]