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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - schwache Konvergenz
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schwache Konvergenz: Tipp, Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:32 Mo 21.06.2010
Autor: kegel53

Aufgabe
Für [mm] n\in{\IN} [/mm] sei [mm] X_n [/mm] uniform verteilt auf [mm] \{1,2,...,n\}. [/mm]
Gegen welches Wahrscheinlichkeitsmaß konvergiert die Verteilung von [mm] \bruch{X_n}{n} [/mm] schwach? Warum?

Tag Leute,
schön, dass der Server wieder am Netzt hängt, ich hatte ja schon matheraum-Entzugserscheinungen :).
Okay also ich hab etwas Schwierigkeiten mit den Konvergenzaufgaben im Allgemeinen. Obige Aufgabe ist ja nun nicht von der schweren Sorte und als Einstieg wahrscheinlich ganz gut geeignet.

Wie geh ich hierbei nun vor bzw. mit was fang ich an?? Wär echt richtig klasse, wenn da jemand bisschen helfen könnte!
Vielen Dank schon mal!

        
Bezug
schwache Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:41 Mo 21.06.2010
Autor: steppenhahn

Hallo!

> Für [mm]n\in{\IN}[/mm] sei [mm]X_n[/mm] uniform verteilt auf [mm]\{1,2,...,n\}.[/mm]
>  Gegen welches Wahrscheinlichkeitsmaß konvergiert die
> Verteilung von [mm]\bruch{X_n}{n}[/mm] schwach? Warum?

> Wie geh ich hierbei nun vor bzw. mit was fang ich an??

Nun, da die üblichen Konvergenzsätze nicht greifen (mir fällt gerade keiner ein), solltest du damit beginnen, die Verteilung von [mm] \frac{X_{n}}{n} [/mm] zu bestimmen.

[mm] \frac{X_{n}}{n} [/mm] ist uniform verteilt auf [mm] \{1/n,2/n,...,n/n =1\}. [/mm]

Jetzt mal' dir das am besten mal auf einem Zahlenstrahl von 0 bis 1 auf.
Was passiert, wenn n größer wird, also die Unterteilungen des Zahlenstrahls kleiner?

Grüße,
Stefan

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Bezug
schwache Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:26 Mo 21.06.2010
Autor: kegel53

Vielen Dank!!
D.h. wenn wir mal voraussetzen, dass X eine ZV ist mit [mm] X\sim{Unif([0,1])}, [/mm] dann ist für [mm] n\to{\infty} [/mm] die ZV [mm] \bruch{X_n}{n} [/mm] gerade gleich unserem X und damit gleichverteilt auf dem Intervall [0,1].

Oder anders ausgedrückt [mm] \lim_{n\to{\infty}} F_{\bruch{X_n}{n}}(t)=F_X(t) [/mm]

Kann man das so sagen??

Bezug
                        
Bezug
schwache Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:42 Mo 21.06.2010
Autor: steppenhahn

Hallo,

> Vielen Dank!!
>  D.h. wenn wir mal voraussetzen, dass X eine ZV ist mit
> [mm]X\sim{Unif([0,1])},[/mm] dann ist für [mm]n\to{\infty}[/mm] die ZV
> [mm]\bruch{X_n}{n}[/mm] gerade gleich unserem X und damit
> gleichverteilt auf dem Intervall [0,1].
>  
> Oder anders ausgedrückt [mm]\lim_{n\to{\infty}} F_{\bruch{X_n}{n}}(t)=F_X(t)[/mm]
>  
> Kann man das so sagen??

Ja, dem würde ich zustimmen :-)
Unsere Überlegungen sind ja schon so gut wie ein Beweis, aber dir sollte klar sein, dass du eigentlich eben gerade [mm] \lim_{n\to{\infty}} F_{\bruch{X_n}{n}}(t)=F_X(t) [/mm] zeigen musst, also

[mm] $\lim_{n\to{\infty}} F_{\bruch{X_n}{n}}(t) [/mm] = t$.

Es ist [mm] $F_{\bruch{X_n}{n}}(t) [/mm] = [mm] \frac{[t*n]}{n}$ [/mm]

(wobei [...] Gaußklammer zum Abrunden).

Grüße,
Stefan

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schwache Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:00 Di 22.06.2010
Autor: kegel53

Okay stimmt da hast du recht!
Gut, ich versteh noch nicht ganz warum [mm] F_{\bruch{X_n}{n}}(t) [/mm] = [mm] \frac{[t\cdot{}n]}{n} [/mm] ist.

Könntest du da vielleicht noch kurz erklären wie du darauf kommst?
Oder sieht man das einfach, dass das so sein muss?

Und wie funktioniert dann die Grenzwertberechnung mit der Gaußklammer?
Herzlichen Dank für Erklärung schon mal.

Bezug
                                        
Bezug
schwache Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:15 Di 22.06.2010
Autor: steppenhahn

Hallo!

> Okay stimmt da hast du recht!
>  Gut, ich versteh noch nicht ganz warum
> [mm]F_{\bruch{X_n}{n}}(t)[/mm] = [mm]\frac{[t\cdot{}n]}{n}[/mm] ist.
>  
> Könntest du da vielleicht noch kurz erklären wie du
> darauf kommst?
>  Oder sieht man das einfach, dass das so sein muss?

Nein, ich habe es nicht so einfach gesehen :-)
Es ist aber

[mm] $F_{\frac{X_n}{n}}(t) [/mm] = [mm] P(\frac{X_n}{n}\le [/mm] t)$.

Nun nimmst du dir wieder deinen Zahlenstrahl von 0 bis 1 her und schaust, welche Werte [mm] \frac{X_n}{n} [/mm] annimmt (1/n, 2/n, ..., n/n=1) und zeichnest irgendwo dazwischen  t ein.

Du siehst dann:

[mm] (\frac{X_n}{n}\le [/mm] t) ist die Menge [mm] \{1/n,2/n,...,k/n\}, [/mm] der Brüche $i/n [mm] \le [/mm] t$.
Nun muss man noch herausfinden, wieviele Brüche in der Menge sind ([t*n]), und alle haben ja Wahrscheinlichkeit 1/n.

> Und wie funktioniert dann die Grenzwertberechnung mit der
> Gaußklammer?

Ja, ich habe geraten :-)
Wir mussten ja was rauskommen soll.
Man könnte es aber auch streng analytisch beweisen. Es ist ja so, dass [t*n]/n immer genauere Approximationen von t liefert, je größer n wird.

(Beispiel "abrunden": Nimmt man t = 0.1234, und nun:

[t*10]/10 = [1.234]/10 = 1/10 = 0.1
[t*100]/100 = [12.34]/100 = 12/100 = 0.12
usw.

)

Grüße,
Stefan

Bezug
                                                
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schwache Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:45 Di 22.06.2010
Autor: kegel53

Herzlichen Dank für die Antwort!!

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