schwache Konvergenz in Hilbert < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:32 Fr 02.03.2012 | | Autor: | physicus |
Hallo Forum
Mich würde folgende Frage interessieren:
Wenn ich eine schwach konvergente Folge [mm] $(f_n)$ [/mm] habe, konvergiert diese dann auch punktweise, oder existiert eine punktweise konvergente Teilfolge? Insbesondere würde mich der Fall eines Hilbertraumes interessieren. Also z.B. [mm] $L^2$, [/mm] gilt dann:
$ [mm] f_n\to [/mm] f$ konvergiert schwach, dann konvergiert [mm] $f_n\to [/mm] f$ P-f.s. oder eine Teilfolge davon?
Danke und Gruss
physicus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:25 Fr 02.03.2012 | | Autor: | fred97 |
Sei H ein (ganz beliebiger) Hilbertraum mit der Norm ||*|| und [mm] (u_n) [/mm] eine Folge in H.
1. Ist [mm] (u_n) [/mm] eine Orthonormalfolge, also [mm] ||u_n||=1 [/mm] für alle n und [mm] u_n \perp u_m [/mm] für n [mm] \ne [/mm] m, so gilt:
a) [mm] (u_n) [/mm] konvergiert schwach gegen 0
b) [mm] ||u_n-u_m||^2=||u_n||^2+||u_m||^2=2 [/mm] für n [mm] \ne [/mm] m
Aus b) folgt: [mm] (u_n) [/mm] enthält keine stark konvergente Teilfolge.
2. Es gilt:
[mm] (u_n) [/mm] konv. stark in H gegen u [mm] \in [/mm] H [mm] \gdw (u_n) [/mm] konv. schwach in H gegen u [mm] \in [/mm] H und [mm] $||u_n|| \to [/mm] ||u||$
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 Fr 02.03.2012 | | Autor: | physicus |
Hallo fred
Sehe ich das richtig: wenn ich also eine Funktionenfolge [mm] $(f_n)\subset L^2$, [/mm] mit [mm] $f_n \to [/mm] f$ schwach. Dann kann ich ja doch [mm] $g_n:= \bruch{f_n}{\|f_n\|}$, [/mm] ersetzen. Dann gilt doch:
[mm] $g_n \to [/mm] g$ und [mm] $\|g\|=1$, [/mm] daher gilt: [mm] $\lim_n \|g_n\| =\lim_n [/mm] 1 = [mm] 1=\|g\|$, [/mm] also konvergiert [mm] $g_n\to [/mm] g$ stark (nach deinem Eintag Nummer 2.) Dann muss ich aber noch eine Teilfolge wählen, damit ich Konvergenz fast überall bekomme, richtig?
Gruss und Danke
physicus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:25 Fr 02.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred
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> Sehe ich das richtig: wenn ich also eine Funktionenfolge
> [mm](f_n)\subset L^2[/mm], mit [mm]f_n \to f[/mm] schwach. Dann kann ich ja
> doch [mm]g_n:= \bruch{f_n}{\|f_n\|}[/mm], ersetzen. Dann gilt doch:
>
> [mm]g_n \to g[/mm] und [mm]\|g\|=1[/mm], daher gilt: [mm]\lim_n \|g_n\| =\lim_n 1 = 1=\|g\|[/mm],
> also konvergiert [mm]g_n\to g[/mm] stark
Nein. Nimm mal an, wir hätten [mm] ||f_n||=1 [/mm] für jedes n und [mm] (f_n) [/mm] konv. schwach gegen 0
(solche Folgeb gibt es, wie ich in meiner 1. Antwort erläutert habe)
Dann : [mm] ||f_n|| \to [/mm] 1 [mm] \ne [/mm] 0
FRED
> (nach deinem Eintag Nummer
> 2.) Dann muss ich aber noch eine Teilfolge wählen, damit
> ich Konvergenz fast überall bekomme, richtig?
>
>
> Gruss und Danke
>
> physicus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 Fr 02.03.2012 | | Autor: | physicus |
Hallo fred
Entschuldige, ich habe deinen Beitrag falsch gelesen. Wenn ich deine erste Antwort aber betrachte, sehe ich nicht ein, dass dies meine Frage beantwortet:
Gilt folgendes: Wenn [mm] $f_n\to [/mm] f$ schwach in [mm] $L^2$, [/mm] dann konvergiert [mm] $f_n\to [/mm] f$ punktweise (oder eine Teilfolge.)
Gruss und Danke
physicus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:17 Fr 02.03.2012 | | Autor: | Blech |
Hi,
such Dir doch mal ein konkretes Beispiel zu dem, was Fred in seiner Antwort schreibt.
Was wäre denn eine Orthonormalfolge in [mm] $L^2$?
[/mm]
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:56 Sa 03.03.2012 | | Autor: | physicus |
Hallo Blech
Zuerst danke ich euch für eure Geduld. Aber ich blicke bis jetzt wirklich noch nicht ganz durch, wie das gemeint ist. Also z.B. ist eine orthonormalfolge gegeben durch ![[]](/images/popup.gif) Link.
Nach dem Eintrag von fred, konvergiert diese Folge schwach gegen 0. Ebenso existiert eine Teilfolge, die stark konvergiert, also bzgl [mm] $L^2$ [/mm] Norm. Also existiert eine Teilfolge der Teilfolge die fast überall konvergiert.
Sehe ich das jetzt so richtig?
Was ist nun aber, wenn keine Orthonormalfolge vorliegt, sondern eine beliebige schwach konvergente Folge.
Gruss
Physicus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:20 Sa 03.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Blech
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> Zuerst danke ich euch für eure Geduld. Aber ich blicke bis
> jetzt wirklich noch nicht ganz durch, wie das gemeint ist.
> Also z.B. ist eine orthonormalfolge gegeben durch
> Link.
>
> Nach dem Eintrag von fred, konvergiert diese Folge schwach
> gegen 0. Ebenso existiert eine Teilfolge, die stark
> konvergiert, also bzgl [mm]L^2[/mm] Norm.
Nein, eben gerade nicht. Lies nochmal, was ich oben zur Folge [mm] (u_n) [/mm] gesagt habe
FRED
> Also existiert eine
> Teilfolge der Teilfolge die fast überall konvergiert.
>
> Sehe ich das jetzt so richtig?
>
> Was ist nun aber, wenn keine Orthonormalfolge vorliegt,
> sondern eine beliebige schwach konvergente Folge.
>
> Gruss
>
> Physicus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:48 Sa 03.03.2012 | | Autor: | physicus |
Hallo fred
Also wenn es eine Orthonormalfolge ist, dann kann [mm] $u_n$ [/mm] nicht stark konvergiert. Aber ich sehe immer noch nicht, dass dies meine Frage beantwortet:
1. Z.b. in [mm] $L^2$ [/mm] gilt: konvergiert eine Folge in [mm] $L^2$ [/mm] dann existiert eine fast überall konvergente Teilfolge. Wenn ich jetzt eine Orthonormalfolge habe, dann weiss ich, nach deinem Eintrag, dass [mm] $(u_n)$ [/mm] nicht fast überall konvergiert. Aber was ist mit einer Teilfolge von [mm] $(u_n)$? [/mm]
2. Eigentlich bin ich ja nicht an Orthonotmalfolgen interessiert, sonder an einer beliebigen Folge [mm] $(f_n)$ [/mm] die schwach konvergiert und für die keine zusätzlichen Dinge wie [mm] $\|f_n\| \to \|f\|$ [/mm] gilt.
Danke und Gruss
physicus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:08 Sa 03.03.2012 | | Autor: | Blech |
> Wenn ich jetzt eine Orthonormalfolge habe, dann weiss ich, nach deinem Eintrag, dass $ [mm] (u_n) [/mm] $ nicht fast überall konvergiert. Aber was ist mit einer Teilfolge von $ [mm] (u_n) [/mm] $?
Für diesen Satz will ich Dich einfach nur schlagen (nicht ernst =).
"naja, wenn Ihr das sagt, wird's schon stimmen."
Du hast ein konkretes Beispiel für eine schwach konvergente Folge. Jetzt schaust Du, ob die tut, was Du willst.
>Eigentlich bin ich ja nicht an Orthonotmalfolgen interessiert, sonder an einer beliebigen Folge $ [mm] (f_n) [/mm] $ die schwach konvergiert und für die keine zusätzlichen Dinge wie $ [mm] \|f_n\| \to \|f\| [/mm] $ gilt.
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Eine allgemeine Aussage ist falsch, wenn es ein Gegenbeispiel gibt.
ciao
Stefan
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