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| Aufgabe | Betrachte das Cauchy-Problem [mm] u_{t}+f(u)_{x}=0,x\in\mathbb{R},&t>0,
[/mm]
[mm] u(x,0)=u_{0}(x),&x\in\mathbb{R}.
[/mm]
dabei sei [mm] u_{0} [/mm] beschränkt in [mm] \mathbb{R}. [/mm] Zeigen Sie, dass eine klassische Lösung des Problems auch eine schwache Lösung ist. |
Hallo,
im wesentlichen hab ich das gemacht. Nur zwei Fragen dazu. Zunächst: u heißt schwache Lösung in [mm] Q=\mathbb{R}\times[0,T], [/mm] falls u und f(u) lokal integrierbar sind und für jede Testfunktion [mm] \varphi\in C_{C}^{\infty}(Q) [/mm] gilt: [mm] \iint_{Q}(u\frac{\partial\varphi}{\partial t}+f(u)\frac{\partial\varphi}{\partial x})dxdt+\int_{\mathbb{R}}u_{0}(x)\varphi(x,0)dx=0.
[/mm]
Wenn ich nun eine klassische Lösung [mm] u\in C^{1}(\mathbb{R}\times(0,\infty))\cap C(\mathbb{R}\times[0,\infty)), [/mm] kann ich die Definition zeigen. Dann gilt nämlich
[mm] 0&=&\int_{0}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}(u_{t}+f(u)_{x})\varphi [/mm] dxdt
[mm] =&\int_{-\infty}^{\infty}(\int_{0}^{\infty}\varphi u_{t}dt)dx+\int_{0}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\varphi f(u)_{x}dxdt
[/mm]
An dieser Stelle mal zunächst die Frage: Darf ich die Integrationsreihenfolge vertauschen? Ich kenn mich mit Lebesgue integrierbarkeit echt nicht aus und sehe hier nicht sofort, dass man Fubini anwenden darf. Weiter
[mm] =&\int_{-\infty}^{\infty}(-\int_{0}^{\infty}\varphi_{t}u\, dt+[\varphi u]_{0}^{\infty})dx+\int_{0}^{\infty}(-\int_{-\infty}^{\infty}\varphi_{x}f(u)dx+[\varphi f]_{-\infty}^{\infty})dt
[/mm]
Das liefert dann das Gewünschte, weil die letzte eckige Klammer wegen des kompakten Trägers wegfällt.
Jetzt noch eine Frage: In meiner Definition von schwachen Lösungen ist [mm] Q=\mathbb{R}\times[0,T], [/mm] also mal angenommen die klassische Lösung u ist in [mm] C^{1}(\mathbb{R}\times(0,T])\cap C(\mathbb{R}\times[0,T]) [/mm] und ich mache dieselbe Rechnung wie oben. Dann steht da am Ende
[mm] \int_{-\infty}^{\infty}(-\int_{0}^{\infty}\varphi_{t}u\, dt+[\varphi u]_{0}^{T})dx+\int_{0}^{\infty}(-\int_{-\infty}^{\infty}\varphi_{x}f(u)dx+[\varphi f]_{-\infty}^{\infty})dt. [/mm] Ist es nicht theoretisch so, dass ein [mm] \varphi [/mm] existieren kann, dessen Träger das Intervall [0,T] komplett enthält? Dann würde doch aber gelten [mm] [\varphi u]_{0}^{T}=\varphi(x,T)u(x,T)-\varphi(x,0)u(x,0). [/mm] D.h. ich komme am Ende nicht mehr auf die Definition oben. Habe ich irgendwo einen gedanklichen Fehler?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Fr 10.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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