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| Aufgabe | 1) Sei X ein separbaler, metrischer Raum. Zeigen Sie, dass dann
$ [mm] \forall Y\in\mathcal [/mm] P(X): Y \ [mm] \text{separabel} [/mm] $
2) Zeigen Sie, dass [mm] l^{p}(\IR) [/mm] separabel [mm] \forall p\in[1,\infty)
[/mm]
3) Ist auch [mm] l^{\infty}(\IR) [/mm] separabel? |
Hallo!
Also die erste Aussage sollte irgendwie klar sein, eigentlich...
Sei $ [mm] A\subset [/mm] X $ abzählbar mit [mm] \overline(A)=X. [/mm]
Dann sollte [mm] \overline{A\cap Y}=Y [/mm] sein...
Nur muss man da wohl etwas aufpassen und es wird unschön, weil man Y ja mit der Relativtopologie betrachten muss, oder?
Zu 2):
[mm] \alpha_{n}:=(0,0,...,0,1,0,...) [/mm] mit 1 an der n-ten Stelle
[mm] A:=\{\alpha_{n}|n\in\IN\} [/mm]
Dann ist [mm] \overline{}=l^{p}(\IR), [/mm] also [mm] l^{p} [/mm] separabel
Zu 3):
Mmmh, ob das nun auch separabel, ist mir nicht ganz klar... Der Beweis wie in 2) sollte nicht funktionieren. Aber man könnte für jede beschränkte Folge reeller Zahlen doch Folgen von Folgen von rationalen Zahlen nehmen, die punktweise dagegen gehen. Das liegt ist doch abzählbar und liegt dicht drin, weil die Grenzwerte wieder im Abschluss sind oder täusche ich mich?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:40 Mi 20.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> 1) Sei X ein separbaler, metrischer Raum. Zeigen Sie, dass
> dann
> [mm]\forall Y\in\mathcal P(X): Y \ \text{separabel}[/mm]
>
> 2) Zeigen Sie, dass [mm]l^{p}(\IR)[/mm] separabel [mm]\forall p\in[1,\infty)[/mm]
>
> 3) Ist auch [mm]l^{\infty}(\IR)[/mm] separabel?
>
> Hallo!
>
> Also die erste Aussage sollte irgendwie klar sein,
> eigentlich...
>
> Sei [mm]A\subset X[/mm] abzählbar mit [mm]\overline(A)=X.[/mm]
> Dann sollte [mm]\overline{A\cap Y}=Y[/mm] sein...
> Nur muss man da wohl etwas aufpassen und es wird unschön,
> weil man Y ja mit der Relativtopologie betrachten muss,
> oder?
Diese Aufgabe ist nicht ganz einfach. Daher schau nach in H:Heuser: Funktionalanalysis, §24 Aufgabe 6 (mit Lösung)
>
> Zu 2):
> [mm]\alpha_{n}:=(0,0,...,0,1,0,...)[/mm] mit 1 an der n-ten Stelle
> [mm]A:=\{\alpha_{n}|n\in\IN\}[/mm]
> Dann ist [mm]\overline{}=l^{p}(\IR),[/mm] also [mm]l^{p}[/mm] separabel
Nicht ganz. betrachte alle Linearkombinationen der Elemente aus A mit rationalen Skalaren. Du brauchst doch eine abzählbare Menge die dicht liegt.
>
> Zu 3):
> Mmmh, ob das nun auch separabel, ist mir nicht ganz
> klar... Der Beweis wie in 2) sollte nicht funktionieren.
> Aber man könnte für jede beschränkte Folge reeller
> Zahlen doch Folgen von Folgen von rationalen Zahlen nehmen,
> die punktweise dagegen gehen. Das liegt ist doch abzählbar
> und liegt dicht drin, weil die Grenzwerte wieder im
> Abschluss sind oder täusche ich mich?
Tipp: [mm]l^{\infty}(\IR)[/mm] ist nicht separabel
FRED
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