separation der variablen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Lösen Sie durch Separation der Variablen folgendes Anfangswertproblem
[mm] y'=xy^{2}+x, [/mm] y(0)=1 |
Hallo!
Ich glaube das Prinzip der Separation verstanden zu haben:
1. y' als Produkt einer Funktion, die nur von x abhängt, und einer Funktion, die nur von y abhängt, darstellen
2. [mm] \bruch{dy}{dx}=\bruch{a(x)}{b(y)}
[/mm]
3. Die Gleichung aus 2. so umstellen: b(y)dy=a(x)dx
4. Integral berechnen und so umstellen, dass am Schluss "y(x)=..." da steht.
Stimmt das so weit?
Ich hab das nämlich mit der Aufgabe von oben versucht und komme irgendwie nicht so recht auf was gescheites:
1. [mm] y'=x(y^{2}+1)
[/mm]
[mm] 2.\bruch{dy}{dx}=\bruch{x}{y^{2}+1}
[/mm]
3. [mm] y^{2}+1dy=xdx
[/mm]
4. [mm] \integral_{y_{0}}^{y}{t^{2}+1 dt}=\integral_{x_{0}}^{x}{s ds}
[/mm]
[mm] \gdw [\bruch{t^{3}}{3}+1]_{1}^{y}=[\bruch{s^{2}}{2}]_{0}^{x}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{y^{3}}{3}+y-\bruch{4}{3}=\bruch{x^{2}}{2}
[/mm]
Aber dann komm ich nicht mehr weiter. Hab ich irgendwo einen Fehler gemacht?
Kann mir hier jemand helfen?
Grüßle, Lily
|
|
| |
|
Hallo Mathe-Lily,
> Lösen Sie durch Separation der Variablen folgendes
> Anfangswertproblem
> [mm]y'=xy^{2}+x,[/mm] y(0)=1
> Hallo!
> Ich glaube das Prinzip der Separation verstanden zu
> haben:
> 1. y' als Produkt einer Funktion, die nur von x abhängt,
> und einer Funktion, die nur von y abhängt, darstellen
> 2. [mm]\bruch{dy}{dx}=\bruch{a(x)}{b(y)}[/mm]
> 3. Die Gleichung aus 2. so umstellen: b(y)dy=a(x)dx
> 4. Integral berechnen und so umstellen, dass am Schluss
> "y(x)=..." da steht.
>
> Stimmt das so weit?
>
> Ich hab das nämlich mit der Aufgabe von oben versucht und
> komme irgendwie nicht so recht auf was gescheites:
> 1. [mm]y'=x(y^{2}+1)[/mm]
>
> [mm]2.\bruch{dy}{dx}=\bruch{x}{y^{2}+1}[/mm]
>
> 3. [mm]y^{2}+1dy=xdx[/mm]
>
> 4. [mm]\integral_{y_{0}}^{y}{t^{2}+1 dt}=\integral_{x_{0}}^{x}{s ds}[/mm]
>
> [mm]\gdw [\bruch{t^{3}}{3}+1]_{1}^{y}=[\bruch{s^{2}}{2}]_{0}^{x}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{y^{3}}{3}+y-\bruch{4}{3}=\bruch{x^{2}}{2}[/mm]
>
> Aber dann komm ich nicht mehr weiter. Hab ich irgendwo
> einen Fehler gemacht?
>
Beim Übergang vom 2. zum 3. Schritt ist ein Fehler passiert.
Korrekt muss es lauten:
[mm]\bruch{dy}{y^{2}+1}=x \ dx[/mm]
> Kann mir hier jemand helfen?
> Grüßle, Lily
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
> >
> > Ich hab das nämlich mit der Aufgabe von oben versucht und
> > komme irgendwie nicht so recht auf was gescheites:
> > 1. [mm]y'=x(y^{2}+1)[/mm]
> >
> > [mm]2.\bruch{dy}{dx}=\bruch{x}{y^{2}+1}[/mm]
> >
> > 3. [mm]y^{2}+1dy=xdx[/mm]
> >
> > 4. [mm]\integral_{y_{0}}^{y}{t^{2}+1 dt}=\integral_{x_{0}}^{x}{s ds}[/mm]
>
> >
> > [mm]\gdw [\bruch{t^{3}}{3}+1]_{1}^{y}=[\bruch{s^{2}}{2}]_{0}^{x}[/mm]
>
> >
> > [mm]\gdw \bruch{y^{3}}{3}+y-\bruch{4}{3}=\bruch{x^{2}}{2}[/mm]
> >
> Beim Übergang vom 2. zum 3. Schritt ist ein Fehler
> passiert.
>
> Korrekt muss es lauten:
>
> [mm]\bruch{dy}{y^{2}+1}=x \ dx[/mm]
>
aber muss man nicht [mm] *(y^{2}+1) [/mm] machen? oder ist das keine äquivalenzumformung sondern nur ein "verschieben"?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:55 Di 21.08.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
deine DGL lautet: [mm] y'=xy^2+x = x(y^2+1)[/mm] dann gilt mit Trennung der Variablen:
[mm] y'=x(y^2+1) \Rightarrow \frac{dy}{dx}=x(y^2+1) \Rightarrow \frac{dy}{y^2+1}=x dx \Rightarrow ... [/mm]
Grüße
|
|
|
|
