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sigma-Algebra: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 12:48 Sa 01/12/2018
Author: knowhow

Aufgabe
Es sei [mm] \Omiga=\{0,1,2,3\}, P=Unif(\Omiga), S=\{0,1\} [/mm] und

[mm] X(0)=(1,\overline{0,1},...), X(1)=(0,\overline{0,1},...), X(2)=(1,\overline{1,0},...), X(3)=(0,\overline{1,0},...) [/mm]

Zeige: [mm] \mathcal{I}(X)=\{\emptyset, \Omega\}\subset \mathcal{T}(X)=\{\emptyset, \{0,1\},\{2,3\},\Omega\}\subset \mathcal{E}(X)=\mathcal{P}(\Omega), [/mm]

wobei mit [mm] \mathcal{I}(X) [/mm] die invariante [mm] \sigma-Algebra [/mm] von [mm] X=(X_n)_{n\ge 0}, \mathcal{T}(X) [/mm] terminale [mm] \sigma-Algebra [/mm] von [mm] X=(X_n)_{n\ge 0} [/mm] und [mm] \mathcal{E}(X) [/mm] die austauschbare [mm] \sigma-Algebra [/mm] von [mm] X=(X_n)_{n\ge 0} [/mm] gemeint ist.

Hallo,

es ist

[mm] \mathcal{T}(X)=\{A\in\mathcal{F}| \forall k\ge 0 \exists B\in S^{\otimes\IN_0}: A=\{\Theta^k(X)\in B\}\} [/mm]


[mm] \mathcal{I}(X)=\{A\in\mathcal{F}| \exists B\in S^{\otimes\IN_0} \forall k\ge 0: A=\{\Theta^k(X)\in B\}\} [/mm]

[mm] \mathcal{E}(X)=\{A\in\mathcal{F}| \exists C\in S^{\otimes\IN_0} \forall k\ge 0\forall \pi\in Sym (k): A=\{\tau_{\pi}(X)\in C\}\}, [/mm]

wobei [mm] \Theta [/mm] die Shift-Funktion

[mm] \Theta: S^{\otimes \IN_0}\rightarrow S^{\otimes \IN_0}, \Theta ((x_n)_{n\ge 0})=(x_{n+1})_{n\ge 0} [/mm]

Dann ist

[mm] \Theta(X(0))=\Theta (1,\overline{0,1},...)=(0,\overline{1,0},...)=X(2) [/mm]
[mm] \Theta(X(1))=\Theta (0,\overline{0,1},...)=(0,\overline{1,0},...)=X(2) [/mm]
[mm] \Theta(X(2))=\Theta (0,\overline{1,0},...)=(1,\overline{0,1},...)=X(0) [/mm]
[mm] \Theta(X(3))=\Theta (1,\overline{1,0},...)=(1,\overline{0,1},...)=X(0) [/mm]

Kann mir jemand weiterhelfen? Bzw einen Tipp geben?

        
Bezug
sigma-Algebra: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 07:51 So 02/12/2018
Author: tobit09

Hallo knowhow!

Ich mache mal einen Anfang, mal sehen, wie weit ich komme:

Zu zeigen sind:

1. [mm] $\mathcal{I}(X)=\{\emptyset, \Omega\}$ [/mm]
2. [mm] $\mathcal{T}(X)=\{\emptyset, \{0,1\},\{2,3\},\Omega\}$ [/mm]
3. [mm] $\mathcal{E}(X)=\mathcal{P}(\Omega)$. [/mm]

Da jeweils eine Gleichheit von Mengen zu zeigen ist, zeigt man typischerweise nacheinander die Inklusionen (Teilmengenbeziehungen) [mm] $\subseteq$ [/mm] und [mm] $\supseteq$. [/mm]

Bei 1. und 3. ist jeweils eine der beiden Inklusionen relativ klar (Welche und warum?), so dass "nur" noch die andere zu zeigen ist; bei 2. ist der Nachweis beider Inklusionen auszuführen.

Den einzelnen Teilen widme ich mich in separaten Antworten...

Viele Grüße
Tobias

P.S.: Vermutlich hast du irgendwo X(2) und X(3) vertauscht. Ich richte mich in meinen Antworten zunächst nach deinen Angaben im Aufgabenstellungstext, nicht nach deinen Rechnungen weiter unten.

Bezug
                
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sigma-Algebra: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 13:55 So 02/12/2018
Author: knowhow

Hallo Tobit09,

Super! Vielen Dank für deine so ausführliche Erklärung. Ich werde meine Lösung erstmals aufschreiben und hier danach kundtun.

Viele Grüße
knowhow

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sigma-Algebra: zu 1.
Status: (Answer) finished Status 
Date: 08:07 So 02/12/2018
Author: tobit09

Zu 1.:

Um [mm] $\mathcal{I}(X)\subseteq\{\emptyset,\Omega\}$ [/mm] zu zeigen, sei [mm] $A\in \mathcal{I}(X)$ [/mm] (das bedeutet was?).
Zu zeigen ist [mm] $A\in\{\emptyset,\Omega\}$. [/mm]

Dazu würde ich folgende Implikationen zeigen:
a) [mm] $0\in A\Rightarrow 1\in [/mm] A$
b) [mm] $1\in A\Rightarrow 2\in [/mm] A$
c) [mm] $2\in A\Rightarrow 3\in [/mm] A$
d) [mm] $3\in A\Rightarrow 0\in [/mm] A$.

Ist dir klar, dass dann tatsächlich [mm] $A\in\{\emptyset,\Omega\}$ [/mm] folgt?

Zum Nachweis von a) bis d): Um eine Aussage der Form [mm] $\omega\in A\Rightarrow \omega'\in [/mm] A$ für gewisse [mm] $\omega,\omega'\in\Omega$ [/mm] zu zeigen, würde ich zunächst [mm] $k,k'\ge [/mm] 0$ mit [mm] $\Theta^k(X(\omega))=\Theta^{k'}(X(\omega'))$ [/mm] suchen.

Warum folgt aus der Existenz solcher $k,k'$ unter Zuhilfenahme von [mm] $A\in\mathcal{I}(X)$ [/mm] tatsächlich die Implikation [mm] $\omega\in A\Rightarrow \omega'\in [/mm] A$?

Bezug
        
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sigma-Algebra: zu 2. erste Inklusion
Status: (Answer) finished Status 
Date: 08:27 So 02/12/2018
Author: tobit09

Zur Inklusion [mm] $\mathcal{T}(X)\subseteq\{\emptyset,\{0,1\},\{2,3\},\Omega\}$: [/mm]

Sei [mm] $A\in\mathcal{T}(X)$ [/mm] (das bedeutet?).
Zu zeigen ist [mm] $A\in\{\emptyset,\{0,1\},\{2,3\},\Omega\}$. [/mm]

Ist dir klar, dass es dafür genügt, folgende Implikationen zu zeigen?
i) [mm] $0\in A\Rightarrow 1\in [/mm] A$
ii) [mm] $1\in A\Rightarrow 0\in [/mm] A$
iii) [mm] $2\in A\Rightarrow 3\in [/mm] A$
iv) [mm] $3\in A\Rightarrow 2\in [/mm] A$.

Um eine Implikation der Art [mm] $\omega\in A\Rightarrow \omega'\in [/mm] A$ für gewisse [mm] $\omega,\omega'\in\Omega$ [/mm] zu zeigen, genügt es, folgendes zu zeigen (Warum? Für diese Begründung brauchst du die Definition von [mm] $A\in\mathcal{T}(X)$): [/mm]

Es existiert ein [mm] $k\ge0$ [/mm] mit [mm] $\Theta^k(X(\omega))=\Theta^k(X(\omega'))$. [/mm]

Bezug
        
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sigma-Algebra: zu 2. zweite Inklusion
Status: (Answer) finished Status 
Date: 08:36 So 02/12/2018
Author: tobit09

Zur Inklusion [mm] $\mathcal{T}(X)\supseteq\{\emptyset,\{0,1\},\{2,3\},\Omega\}$ [/mm] genügt es, [mm] $\{0,1\}\in\mathcal{T}(X)$ [/mm] zu zeigen (Warum?).

Um [mm] $\{0,1\}\in\mathcal{T}(X)$ [/mm] zu zeigen, benötigen wir für jedes [mm] $k\ge [/mm] 0$ eine passende Menge [mm] $B\in S^{\otimes\IN}$ [/mm] mit [mm] $\{0,1\}=\{\Theta^k(X)\in B\}$. [/mm]

Zeige, dass [mm] $B:=\{\Theta^k(X(0)),\Theta^k(X(1))\}$ [/mm] das Gewünschte leistet.

Für [mm] $\{0,1\}=\{\Theta^k(X)\in B\}$ [/mm] würde ich wiederum beide Inklusionen getrennt zeigen.

Bezug
        
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sigma-Algebra: zu 3.
Status: (Answer) finished Status 
Date: 09:08 So 02/12/2018
Author: tobit09

Zur Inklusion [mm] $\mathcal{E}(X)\supseteq\mathcal{P}(\Omega)$ [/mm] genügt es zu zeigen (Warum?):
I) [mm] $\{0\}\in\mathcal{E}(X)$ [/mm]
II) [mm] $\{1\}\in\mathcal{E}(X)$ [/mm]
III) [mm] $\{2\}\in\mathcal{E}(X)$ [/mm]
IV) [mm] $\{3\}\in\mathcal{E}(X)$. [/mm]

Um eine Aussage der Form [mm] $\{\omega\}\in\mathcal{E}(X)$ [/mm] für ein [mm] $\omega\in\Omega$ [/mm] zu zeigen, benötigen wir eine Menge [mm] $C\in S^{\otimes\IN_0}$, [/mm] so dass für alle [mm] $k\ge0$ [/mm] und alle [mm] $\pi\in [/mm] Sym(k)$ gilt: [mm] $\{\omega\}=\{\tau_\pi(X)\in C\}$. [/mm]

Dieser Teil erscheint mir schwerer als die Übrigen, daher schlage ich vor, ihn erst einmal zurückzustellen.

Bezug
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