\sigma Algebra separabel < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:48 Fr 27.04.2012 | | Autor: | mili03 |
Hallo,
wir nennen eine [mm] \sigma- [/mm] Algebra A separabel, wenn sie von einem abzählbaren Mengensystem [mm] \Epsilon [/mm] erzeugt wird.
Ich weiß, dass die Borel [mm] \sigma- [/mm] Algebra auf [mm] \IR^N [/mm] separabel ist.
Aber ich kann mir nicht so wirklich nicht separable [mm] \sigma [/mm] Algebren vorstellen (außer Potenzmengen vielleicht).
Kennt jemand ein Beispiel für eine nicht separable [mm] \sigma- [/mm] Algebra?
Danke&Gruß
mili
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Hiho,
> Ich weiß, dass die Borel [mm]\sigma-[/mm] Algebra auf [mm]\IR^N[/mm]
> separabel ist.
> Aber ich kann mir nicht so wirklich nicht separable [mm]\sigma[/mm]
> Algebren vorstellen (außer Potenzmengen vielleicht).
> Kennt jemand ein Beispiel für eine nicht separable
> [mm]\sigma-[/mm] Algebra?
na naheliegend wäre dann doch sofort die [mm] Lebesgue-$\sigma$-Algebra....
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:26 Sa 28.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo mili,
> Kennt jemand ein Beispiel für eine nicht separable
> [mm]\sigma-[/mm] Algebra?
Z.B. die Sigma-Algebra
[mm] $\{A\subseteq\IR\;|\;A \mbox{ oder } A^c \mbox{ abzählbar}\}$
[/mm]
auf [mm] $\IR$ [/mm] ist nicht separabel, wie man sich überlegen kann.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Sa 28.04.2012 | | Autor: | mili03 |
Hallo,
vielen Dank für eure Antworten!
> [mm]\{A\subseteq\IR\;|\;A \mbox{ oder } A^c \mbox{ abzählbar}\}[/mm]
Ich würde das gern beweisen.
Also angenommen es gibt einen abzählbaren Erzeuger. o.b.d.A besteht der nur aus abzählbaren Mengen [mm] A_n.
[/mm]
Ich setze [mm] A:=\bigcup A_n, [/mm] das ist abzählbar.
Ich will nun zeigen, dass alle abzählbaren Mengen in [mm] T:=\sigma(\{A_n\}) [/mm] in A liegen (*).
Dann habe ich ein Widerspruch, weil nicht alle Einpunktmengen (das sind überabzählbar viele) in T liegen können.
Aber der beweis von (*) macht mir Probleme.
Ich weiß ja, dass die Vereinigung von abzählbar vielen Mengen aus A wieder in A liegt, aber sonst fällt mir leider nicht viel ein.
Weiß noch jemand Rat, oder gehts anders besser?
Vielen Dank
mili
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Hiho,
> o.b.d.A besteht der nur aus abzählbaren Mengen [mm]A_n.[/mm]
naja, so oBdA ist das gar nicht. Ich wollte erst widersprechen, dass du das so pauschal ja gar nicht annehmen kannst. Hier geht das ja aber durchaus.
Eine Begründung wäre hier also durchaus angebracht.
> Ich setze [mm]A:=\bigcup A_n,[/mm] das ist abzählbar.
Jop.
> Ich will nun zeigen, dass alle abzählbaren Mengen in
> [mm]T:=\sigma(\{A_n\})[/mm] in A liegen (*).
> Dann habe ich ein Widerspruch, weil nicht alle
> Einpunktmengen (das sind überabzählbar viele) in T liegen
> können.
Warum sollten sie das nicht? Dir ist (hoffentlich) schon klar, dass eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] nie abzählbar sein kann, und damit ist die [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] eines abzählbaren Erzeugers immer überabzählbar!
Heißt: Deine Argumentation geht da irgendwie kaputt ;)
Die Idee mit den Einpunktmengen ist aber schon nicht schlecht.
Diese sind ein Erzeuger der oben beschriebenen [mm] $\sigma$-Algebra.
[/mm]
Wenn du so argumentieren willst, müsstest du also zeigen, dass bei einem abzählbaren Erzeugendensystem immer noch etwas "fehlt".
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:58 Sa 28.04.2012 | | Autor: | mili03 |
Hallo,
> Hiho,
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> > o.b.d.A besteht der nur aus abzählbaren Mengen [mm]A_n.[/mm]
>
> naja, so oBdA ist das gar nicht. Ich wollte erst
> widersprechen, dass du das so pauschal ja gar nicht
> annehmen kannst. Hier geht das ja aber durchaus.
> Eine Begründung wäre hier also durchaus angebracht.
in einem Erzeugendensystem mit nicht abzählbaren Mengen, kann man diese einfach durch deren Komplemente ersetzen.
>
> > Ich setze [mm]A:=\bigcup A_n,[/mm] das ist abzählbar.
>
> Jop.
>
> > Ich will nun zeigen, dass alle abzählbaren Mengen in
> > [mm]T:=\sigma(\{A_n\})[/mm] in A liegen (*).
>
>
> > Dann habe ich ein Widerspruch, weil nicht alle
> > Einpunktmengen (das sind überabzählbar viele) in T liegen
> > können.
>
> Warum sollten sie das nicht? Dir ist (hoffentlich) schon
> klar, dass eine [mm]\sigma[/mm]-Algebra nie abzählbar sein kann,
> und damit ist die [mm]\sigma[/mm]-Algebra eines abzählbaren
> Erzeugers immer überabzählbar!
>
> Heißt: Deine Argumentation geht da irgendwie kaputt ;)
schade!
>
> Die Idee mit den Einpunktmengen ist aber schon nicht
> schlecht.
> Diese sind ein Erzeuger der oben beschriebenen [mm]\sigma[/mm]-Algebra.
Ja, das hatte ich auch rausgefunden. 
>
> Wenn du so argumentieren willst, müsstest du also zeigen,
> dass bei einem abzählbaren Erzeugendensystem immer noch etwas "fehlt".
Hm, mein Verdacht war ja gerade, dass die Einpunktmengen zu [mm] \IR\backslash [/mm] A fehlen. Aber ich brauche wohl einen neuen Ansatz.
Tut mir leid, ich komme hier nicht weiter.
>
> MFG,
> Gono.
Dank&Gruß,
mili
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:37 So 29.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > > o.b.d.A besteht der nur aus abzählbaren Mengen [mm]A_n.[/mm]
> >
> > naja, so oBdA ist das gar nicht. Ich wollte erst
> > widersprechen, dass du das so pauschal ja gar nicht
> > annehmen kannst. Hier geht das ja aber durchaus.
> > Eine Begründung wäre hier also durchaus angebracht.
> in einem Erzeugendensystem mit nicht abzählbaren Mengen,
> kann man diese einfach durch deren Komplemente ersetzen.
Genau.
> > > Ich will nun zeigen, dass alle abzählbaren Mengen in
> > > [mm]T:=\sigma(\{A_n\})[/mm] in A liegen (*).
> >
> >
> > > Dann habe ich ein Widerspruch, weil nicht alle
> > > Einpunktmengen (das sind überabzählbar viele) in T liegen
> > > können.
> >
> > Warum sollten sie das nicht? Dir ist (hoffentlich) schon
> > klar, dass eine [mm]\sigma[/mm]-Algebra nie abzählbar sein kann,
> > und damit ist die [mm]\sigma[/mm]-Algebra eines abzählbaren
> > Erzeugers immer überabzählbar!
> >
> > Heißt: Deine Argumentation geht da irgendwie kaputt ;)
> schade!
Glücklicherweise war deine Formulierung nur ungenau, deine Argumentation an sich dagegen schon korrekt!
> Hm, mein Verdacht war ja gerade, dass die Einpunktmengen
> zu [mm]\IR\backslash[/mm] A fehlen.
Genau.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:33 So 29.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > [mm]\{A\subseteq\IR\;|\;A \mbox{ oder } A^c \mbox{ abzählbar}\}[/mm]
>
> Ich würde das gern beweisen.
> Also angenommen es gibt einen abzählbaren Erzeuger.
> o.b.d.A besteht der nur aus abzählbaren Mengen [mm]A_n.[/mm]
> Ich setze [mm]A:=\bigcup A_n,[/mm] das ist abzählbar.
>
> Ich will nun zeigen, dass alle abzählbaren Mengen in
> [mm]T:=\sigma(\{A_n\})[/mm] in A liegen (*).
> Dann habe ich ein Widerspruch, weil nicht alle
> Einpunktmengen (das sind überabzählbar viele) in T liegen
> können.
Sehr schön! Genauso bin ich für meinen Beweis vorgegangen.
Genauer: Da A abzählbar und [mm] \IR [/mm] überabzählbar existiert ein [mm] $x\in\IR\setminus [/mm] A$. Dann gilt nach (*), dass [mm] $\{x\}\not\in [/mm] T$, obwohl [mm] $\{x\}\in\mathcal{A}$.
[/mm]
> Aber der beweis von (*) macht mir Probleme.
Zeige dazu [mm] $T\subseteq\{B\subseteq\IR\;|\;B\subseteq A\mbox{ oder }B\supseteq A^c\}=:\mathcal{B}$.
[/mm]
Dazu verifiziere, dass [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] eine Sigma-Algebra ist, die alle [mm] $A_n$ [/mm] enthält.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:03 Mi 02.05.2012 | | Autor: | mili03 |
danke für deine Hilfe!
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