simpson verfahren < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 Sa 29.11.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
kann mal jemand kurz erklären, wie man in der simpson regel darauf kommt, welcher Funktionswert mit 2 multipliziert wird und welcher mit 4?
den Faktor 2 verstehe ich, da das ende des einen Intervalls immer der Anfang des nächsten Intervalls ist, aber wo kommt die 4 her?
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sori aber korigir dcho bite zuerts di ortogravifeler dan schaun wir wider ...
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> hallo,
> kann mal jemand kurz erklären, wie man in der simpson
> regel darauf kommt, welcher Funktionswert mit 2
> multipliziert wird und welcher mit 4?
> den Faktor 2 verstehe ich, da das ende des einen
> Intervalls immer der Anfang des nächsten Intervalls ist,
> aber wo kommt die 4 her?
Hallo noobo,
du schreibst ja doch deutsch ... 
Die Formel von Simpson wird ja ursprünglich auf
einem Intervall [links;rechts] hergeleitet, indem
eine Parabel durch die 3 Punkte
$\ Links\ (links/f(links))$
$\ Mitte\ (mitte/f(mitte))$
$\ Rechts\ (rechts/f(rechts))$
gelegt wird, wobei $\ [mm] mitte=\bruch{links+rechts}{2}$
[/mm]
Dabei kommt heraus:
$\ [mm] \integral_{links}^{rechts}{f(x)\ dx\ }=\bruch{rechts-links}{6}*\left(f(links)+4*f(mitte)+f(rechts)\right)$
[/mm]
Dann fügt man eine Reihe solcher halbierter Intervalle
aneinander. Dabei werden die Gewichte für die Funktions-
werte an den Stützstellen (inkl. Intervallmittelpunkte)
addiert, und man erhält z.B. bei 4 Intervallen (8 Halb-
Intervalle, 9 Stützpunkte) die Gewichte:
1 4 1
1 4 1
1 4 1
1 4 1
__________________________________________________
1 4 2 4 2 4 2 4 1
Gruß und schönen Abend !
Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Sa 29.11.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
erstmal vielen dank für die große mühe mit der antwort, hätte jedoch noch eine frage..kann man sich das visuell vorstellen, dass der mittlere funktionswert mit 4 multipliziert werden muss oder ergibt sich das einfach aus dem von dir gezeigten Integral (keplersche fassregel) , weil sobald nnicht mehr 2 ist sondern mehr tritt ja erst der Faktor 2 mit ins spiel...
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> hallo,
> erstmal vielen dank für die große mühe mit der antwort,
so groß war die nicht mal ...
> hätte jedoch noch eine frage...kann man sich das visuell
> vorstellen, dass der mittlere funktionswert mit 4
> multipliziert werden muss oder ergibt sich das einfach aus
> dem von dir gezeigten Integral (keplersche fassregel)
Wirklich gezeigt habe ich das Integral ja nicht, aber du
kannst es, wenn du willst, selber nachvollziehen:
Wir betrachten z.B. eine Funktion f, von der wir
nur die Funktionswerte f(0)=r, f(1)=s, f(2)=t
an den Stellen links=0, mitte=1 und rechts=2
kennen.
Als Ersatzfunktion für f nehmen wir nun (da wir
f ja gar nicht im Detail kennen) eine quadratische
Funktion [mm] q(x)=a*x^2+b*x+c [/mm] . Diese Funktion q
soll an den Stützstellen x=0, x=1 und x=2 mit der
Funktion f übereinstimmen, also:
(1) $\ [mm] q(0)=a*0^2+b*0+c=r$
[/mm]
(2) $\ [mm] q(1)=a*1^2+b*1+c=s$
[/mm]
(3) $\ [mm] q(2)=a*2^2+b*2+c=t$
[/mm]
Löse dieses Gleichungssystem nach a,b,c auf,
setze die Lösungsterme für a,b,c (welche natürlich
die Konstanten r,s und t enthalten werden) in die
Funktionsgleichung von q ein und berechne
dann das Integral
[mm] $\integral_{0}^{2}q(x)\ [/mm] dx$
Beachte noch, dass das Integrationsintervall
in diesem Fall die Breite 2 hat - und dann
wirst du die Simpson-Formel sicher besser
verstehen, als wenn du diese Rechnung nicht
gemacht hättest !
LG al-Chw.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:43 Sa 29.11.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
danke das ist jetzt soweit klar, ich hab aber noch eine problem udn zwar war mti die funktion gegeben
f(x) = x*ln(x)
udn ich sollte mit dem simpson verfahren numerisch integrieren und zwar das integral
[mm] \integral_{1}^{2}{f(x) dx}
[/mm]
also hab ich eingesetzt ich hab efür n=6 Einzelstreifen gewählt:
f(b)= 2*ln(2)
f(a) = f(1)=0
[mm] \bruch{\bruch{2-1}{3}}{3}*(0+2*\summe_{i=1}^{(6/2)-1} f(0+2*i*\bruch{1}{3})+ [/mm] 4* [mm] [\summe_{i=0}^{2}f(0+2*i*(1/3)+(1/3)] [/mm] +f(b))
es kommt aber keien geeignete näherung aus meien formel ind ie ich einsetzte lautet:
dabei gilt h= (b-a)/n
[mm] \bruch{h}{3}(f(a)+2*\summe_{i=1}^{(n/2)+1}f(a+2*i*(1/3))+4*(\summe_{i=1}^{(n/2)+1}f(a+2*i*(1/3)+(1/3))+f(b))
[/mm]
hab cih nen fehler gemacht?
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meine erste Mitteilung in diesem thread schon wieder vergessen ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mo 01.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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