simultane Kongruenz komplex < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Lösen Sie folgende simultane Kongruenzen.
a) Finden Sie ein [mm]x \in \IZ \left[ i \right][/mm] mit:
[mm]x \equiv 2\, (mod \,5)[/mm]
[mm]x \equiv 7\, (mod \,23)[/mm]
[mm]x \equiv i\, (mod \, 1+i)[/mm]
b) Finden Sie ein [mm]f \in \IZ \left[ x \right][/mm] mit:
[mm]f \equiv 2\, (mod \,(5))[/mm]
[mm]f \equiv 7\, (mod \,(23))[/mm]
[mm]f \equiv x^2+x\, (mod \,(115x^2+1))[/mm] |
Hallo!
Ich hab mich an der Aufgabe a) versucht. [mm]x=7\,(mod \,115)[/mm] erfüllt [mm]x \equiv 2\,(mod\, 5)[/mm] und [mm]x \equiv 7\,(mod \,23)[/mm]. Jetzt wollte ich mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus den ggT (115/1+i) bestimmen um letztendlich eine Darstellung der 1 als Differenz von Vielfachen von 115 und (1+i) zu bekommen. Das wird ganz furchtbar häßlich und lang - vor allem hab ich den Eindruck es ist falsch. Gibt es da vielleicht einen Trick oder ein anderes Schema? Ich bin beispielsweise so vorgegangen:
[mm]\bruch{115}{(1+i)} = \bruch{115(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \bruch{115-115i}{2}[/mm]. Die beste Näherung ist dann [mm](57-57i)[/mm].
Also [mm]115 = (57-57i)(1+i) + (-114i)[/mm].
Analog [mm](1+i)= (-1+i)(-114i) + (-113-113i)[/mm] usw.
Bei der Aufgabe b) weiß ich leider nicht was die Schreibweise (mod(x)) statt (mod x) bedeutet.
Ich würde mich freuen, wenn mir das jemand erklären könnte, vielen Dank schonmal!
Grüße
couldbeworse
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Sa 10.12.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Lösen Sie folgende simultane Kongruenzen.
>
> a) Finden Sie ein [mm]x \in \IZ \left[ i \right][/mm] mit:
> [mm]x \equiv 2\, (mod \,5)[/mm]
> [mm]x \equiv 7\, (mod \,23)[/mm]
> [mm]x \equiv i\, (mod \, 1+i)[/mm]
>
> b) Finden Sie ein [mm]f \in \IZ \left[ x \right][/mm] mit:
> [mm]f \equiv 2\, (mod \,(5))[/mm]
> [mm]f \equiv 7\, (mod \,(23))[/mm]
> [mm]f \equiv x^2+x\, (mod \,(115x^2+1))[/mm]
>
> Hallo!
>
> Ich hab mich an der Aufgabe a) versucht. [mm]x=7\,(mod \,115)[/mm]
> erfüllt [mm]x \equiv 2\,(mod\, 5)[/mm] und [mm]x \equiv 7\,(mod \,23)[/mm].
> Jetzt wollte ich mit dem erweiterten euklidischen
> Algorithmus den ggT (115/1+i) bestimmen um letztendlich
> eine Darstellung der 1 als Differenz von Vielfachen von 115
> und (1+i) zu bekommen. Das wird ganz furchtbar häßlich
> und lang - vor allem hab ich den Eindruck es ist falsch.
> Gibt es da vielleicht einen Trick oder ein anderes Schema?
> Ich bin beispielsweise so vorgegangen:
>
> [mm]\bruch{115}{(1+i)} = \bruch{115(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \bruch{115-115i}{2}[/mm].
> Die beste Näherung ist dann [mm](57-57i)[/mm].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Also [mm]115 = (57-57i)(1+i) + (-114i)[/mm].
Wie kommst du auf den Rest $-114i$? Das kann doch eh nicht sein, da $|-114i| [mm] \ge [/mm] |1 + i|$ ist.
Wenn du das nochmal nachrechnest, siehst du: der Rest ist nicht -114i, sondern 1.
> Bei der Aufgabe b) weiß ich leider nicht was die
> Schreibweise (mod(x)) statt (mod x) bedeutet.
Die bedeutet das gleiche. Falls $x$ eine Summe von Termen ist schreibt man manchmal (mod(x)) um klarzumachen dass die ganze Summe gemeint ist nach dem mod und nicht nur der erste Term.
LG Felix
|
|
|
| |
|
Hallo Felix,
vielen Dank für Deine Antwort....hatte es gestern gefühlte 1000x überprüft - Rechnen sollte man halt können 
Gruß
couldbeworse
|
|
|
|
