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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{\sin(x)}{x} dx} [/mm] existiert. Benutzen Sie partielle Integration. |
Hallo zusammen,
Also ich weiß, dass das Integral existiert und [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] ist. Aber mit Partieller Integration komme ich da echt nicht zurande.
Wenn ich [mm] \integral_{a}^{b}{f(x)g(x) dx}=[f(x)G(x)]_a^b -\int_{a}^{b}{f'(x)G(x) dx} [/mm] verwende, dann verwende ich doch die Funktion, die abgeleitet wieder sich selbst ergibt als f(x). Damit komme ich aber nicht hin. Schon [mm] [f(x)G(x)]_a^b [/mm] ist dann gleich [mm] [\bruch{1}{x}*(-\cos(x))]_0^\ifty [/mm] und das ist doch nicht mehr endlich.
Wo liegt mein Fehler?
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> Zeigen Sie, dass [mm]\integral_{0}^{\ifty}{\bruch{\sin(x)}{x} dx}[/mm]
> existiert. Benutzen Sie partielle Integration.
Hallo,
irgendwie fehlt noch die obere Grenze.
Wenn bei so Aufgaben dasteht "existiert", lohnt es sich, den Recheneifer zunächst etwas zu bremsen.
Wenn man "bloß" die Existenz zeigen soll, geht es meist nicht darum, brav eine Stammfunktion auszurechnen - man kann fast schon davon ausgehen, daß das nicht möglich ist.
Es geht darum, das Integral nach oben und unten abzuschätzen und so zu zeigen, daß es nicht [mm] \pm\infty [/mm] ist.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:14 Sa 21.11.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Angela!
Der Quellcode verrät, dass die obere Grenze [mm] $\infty$ [/mm] lauten soll.
Gruß
Loddar
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> Zeigen Sie, dass [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{\sin(x)}{x} dx}[/mm]
> existiert. Benutzen Sie partielle Integration.
Hallo,
ich bin mir gerade nicht so ganz sicher, ob mein Tip von vorhin wirklich in diesem Falle soooo gesegnet war . (Allgemein jedoch ist er nützlich)
Ich würde bei Deiner Aufgabe mal ausprobieren, von Nullstelle zu Nullstelle zu integrieren und am Ende zu addieren - leider hab' ich im Moment weder Papier noch Zeit dazu.
gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:08 So 22.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Angela,
> > Zeigen Sie, dass [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{\sin(x)}{x} dx}[/mm]
> > existiert. Benutzen Sie partielle Integration.
>
> ich bin mir gerade nicht so ganz sicher, ob mein Tip von
> vorhin wirklich in diesem Falle soooo gesegnet war .
> (Allgemein jedoch ist er nützlich)
>
> Ich würde bei Deiner Aufgabe mal ausprobieren, von
> Nullstelle zu Nullstelle zu integrieren und am Ende zu
> addieren - leider hab' ich im Moment weder Papier noch Zeit
> dazu.
das funktioniert gut fuer die Existenz: man bekommt eine alternierende Reihe, die nach Leibnitz konvergiert.
LG Felix
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Dann verwirrt mich nur noch der Hiweis, die Aufgabe sei mit partieller Integration zu lösen. Warum das denn?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:05 Mo 23.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Du sollst "nur" zeigen, dass $ [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{\sin(x)}{x} dx} [/mm] $ existiert.
Wähle 0<s<t zunächst fest. Mit partieller Integration erhäst Du:
$ [mm] \integral_{s}^{t}{\bruch{\sin(x)}{x} dx}= [-\bruch{cos(x)}{x}]_s^t- \integral_{s}^{t}{\bruch{cos(x)}{x^2} dx}$
[/mm]
Nun versuche mal die Abschätzung
$ [mm] |\integral_{s}^{t}{\bruch{\sin(x)}{x} dx}| \le [/mm] 2/s$
zu bekommen. Wende nun das Cauchykriterium an !
FRED
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