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Forum "Differentiation" - sin(x)^x mit L'Hopital
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sin(x)^x mit L'Hopital: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:27 Di 16.02.2010
Autor: Memorius

Aufgabe
Bestimmen Sie [mm] \limes_{x\rightarrow 0} sin^{x}(x) [/mm]

Hallo!

Irgendwo in meiner Rechnung habe ich einen Fehler. Nur ich finde ihn nicht:

[mm] \limes_{x\rightarrow 0} sin^{x}(x) [/mm] =  [mm] \limes_{x\rightarrow 0} e^{x*ln(sin(x))} [/mm] = [mm] e^{ \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{ln(sin(x))}{\bruch{1}{x}}} [/mm]

Betrachten wir ab nun an nur  [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{ln(sin(x))}{\bruch{1}{x}} [/mm]

Mit L'Hopital bekommt man: [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{\bruch{cos(x)}{sin(x)}}{- \bruch{1}{x^{2}}} [/mm]

ableiten: [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\bruch{cos^{2}(x) + sin^{2}(x)}{sin²(x)}}{\bruch{2}{x^{3}}} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x^{3}}{2*sin^{2}(x)} [/mm]

wieder ableiten: [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{3x^{2}}{2*(2*sin(x)cos(x))} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{3x^{2}}{2*sin(2x)} [/mm]

ableiten: [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{6x}{4*cos(2x)} [/mm]

ableiten:  [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{6}{8*sin(2x)} [/mm]


Wer kann helfen?
        
Bezug
sin(x)^x mit L'Hopital: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:37 Di 16.02.2010
Autor: schachuzipus

Hallo Memorius,

> Bestimmen Sie [mm]\limes_{x\rightarrow 0} sin^{x}(x)[/mm]
>  Hallo!
>  
> Irgendwo in meiner Rechnung habe ich einen Fehler. Nur ich
> finde ihn nicht:
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} sin^{x}(x)[/mm] =  [mm]\limes_{x\rightarrow 0} e^{x*ln(sin(x))}[/mm]
> = [mm]e^{ \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{ln(sin(x))}{\bruch{1}{x}}}[/mm] [ok]

genau!

>  
> Betrachten wir ab nun an nur  [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{ln(sin(x))}{\bruch{1}{x}}[/mm]
>  
> Mit L'Hopital bekommt man: [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{\bruch{cos(x)}{sin(x)}}{- \bruch{1}{x^{2}}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

[ok]

Oha, bitte erst vereinfachen zu $-\frac{x^2\cos(x)}{\sin(x)$, was gegen $\frac{0}{0}$ strebt.

Hier nochmal ran ...

>  
> ableiten: [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\bruch{cos^{2}(x) + sin^{2}(x)}{sin²(x)}}{\bruch{2}{x^{3}}}[/mm]
> = [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x^{3}}{2*sin^{2}(x)}[/mm]
>  
> wieder ableiten: [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{3x^{2}}{2*(2*sin(x)cos(x))}[/mm]
> = [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{3x^{2}}{2*sin(2x)}[/mm]
>
> ableiten: [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{6x}{4*cos(2x)}[/mm] [ok]

Was kommt den hier heraus für [mm] $x\to [/mm] 0$ ??

Doch [mm] $\frac{0}{4}=0$ [/mm]

Dasselbe hättest du mit einem Schritt nach der erwähnten Vereinfachung erhalten ...

>
> ableiten:  [mm]\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{6}{8*sin(2x)}[/mm] [stop]

Hier waren die Voraussetzungen für die Anwendung von de l'Hôpital nicht erfüllt !

>
>
> Wer kann helfen?


LG

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
sin(x)^x mit L'Hopital: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:49 Di 16.02.2010
Autor: Memorius

Moment, der Grenzwert von [mm] sin^{x}(x) [/mm] für x -> 0 ist aber nicht [mm] e^{0} [/mm] = 1. [keineahnung]
Bezug
                        
Bezug
sin(x)^x mit L'Hopital: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:54 Di 16.02.2010
Autor: wieschoo

Anscheinen doch. Die Rechnung ist komplett richtig.
Also [mm] e^0=1. [/mm]
Bezug
                                
Bezug
sin(x)^x mit L'Hopital: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:06 Di 16.02.2010
Autor: Memorius

Gruml, gruml. Und hatte was völlig anderes in Erinnerung...
Bezug
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