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N'Abend,
ich versuch gerade die Ableitung von sinh(x) zu berechnen.
Dazu wollte ich als erstes zeigen das sie differenzierbar ist (wobei muss ich das berhaupt wenn da steht berechnen Sie die Ableitung, außerdem weiss ich doch das sie differenzierbar ist, muss ich das dann noch beweisen?)
[mm]lim_{x \to 0} \bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm]
[mm]= lim \bruch{sinh(x)-0}{x}[/mm]
[mm]= lim \bruch{\bruch{1}{2}(e^x-e^{-x})-0}{x}=1[/mm]
nach L'Hospital
und nun zur Ableitung, also ich weiss das Ergebnis, das Problem ist nur wie schreib ich das in der richtigen Form auf?
[mm](sinh(x))'=(\bruch{1}{2}e^x-\bruch{1}{2}e^{-x})' = \bruch{1}{2}e^x+\bruch{1}{2}e^{-x}[/mm]
Ich hab das jetzt ausmultipliziert und würde ja jetzt die Summenregel verwenden also würde die gesamt "Formel" dafür wie folgt aussehen:
[mm]\bruch{\Delta y}{\Delta x}= \bruch{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{(x_0 - \Delta x) -x_0} + \bruch{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{(x_0 - \Delta x) -x_0}[/mm]
Aber irgendwie hab ich Probleme damit zu bestimmen was die Höhe ist und was das [mm] x_0 [/mm] ist bei Hyperbelfunktionen, kann mir das villeicht nochmal jemand erklären wie das bei denen genau ist?
Meiner Meinung nach müsste das [mm] x_0 [/mm] = 0 sein und [mm]\Delta x = \bruch{1}{2}e^x[/mm] bzw.: [mm]\bruch{1}{2} e^{-x}[/mm] sein, kommt auch hin, ist das denn richtig?
Grüße,
Mareike
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:54 Mo 28.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mareike!
Wie lautet denn die konkrete Aufgabenstellung? Wenn Duz lediglich die Ableitung von [mm] $\sinh(x)$ [/mm] ermitteln sollst, wende die Definition über die e-Funktionen an und leite ab.
Dann erhältst Du auch Dein genanntes Ergebnis, das auch gleichbedeutend mit [mm] $\cosh(x)$ [/mm] ist.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:32 Mo 28.01.2008 | | Autor: | mareike-f |
Hi,
die Aufgabenstellung lautet:
Berechnen Sie die Ableitung von sinh [mm]\IR \to \IR[/mm]
Mein Problem bei Definition ist, das ich zwar weiß was [mm] x_0 [/mm] und [mm]\Delta x[/mm] beschreiben, ich mir aber nicht ganz sicher bin, was das in der e-Fkt. ist.
Ich dachte das [mm] x_0 [/mm] = 0 und [mm]\Delta x = \bruch{1}{2}e^x[/mm] bzw. [mm]\bruch{1}{2}e^{-x}[/mm] ist bin mir aber nicht sicher, ob das so stimmt.
Zumindestens würde ich dann auf das richtige Ergebnis kommen:
[mm]\bruch{\Delta y}{\Delta x}= \bruch{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{(x_0 - \Delta x) -x_0} + \bruch{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{(x_0 - \Delta x) -x_0}[/mm]
[mm]= \bruch{f(0 + \bruch{1}{2}e^x) - f(0)}{(0 - \bruch{1}{2}e^x) -0} + \bruch{f(0 + \bruch{1}{2}e^{-x}) - f(0)}{(0 - \bruch{1}{2}e^{-x}) -0}[/mm]
und dann würde ich ja auf mein Ergebnis kommen. Aber das kanns doch nicht sein oder?
Grüße,
Mareike
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> ich versuch gerade die Ableitung von sinh(x) zu
> berechnen.
Hallo,
das ganze Gewese mit dem limes, welches Du treibst, brauchst Du nicht.
Daraus, daß Du l'Hospital verwendest, sehe ich, daß Dir die Ableitung der e-Funktion bekannt ist, und eine gewisse lebenserfahrung sagt mir, daß Ihr auch Regeln übers Ableiten v. Summen und die Kettenregel hattet.
Die Moral v. der Geschicht: mach es so, wie Loddar es Dir sagt. Schreib den sinh als Summe v. e-Funktionen und leite dann ab.
(Was Du ausgerechnet hast, ist lediglich die Ableitung an der Stelle Null.)
Gruß v. Angela
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Hi,
aber es reicht doch nicht, wenn ich einfach nur aufschreibe:
[mm][mm] (sinh(x))'=(\bruch{1}{2}e^x-\bruch{1}{2}e^{-x})' [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}e^x-(-1)*\bruch{1}{2}e^{-x}=
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}e^x+\bruch{1}{2}e^{-x}= [/mm] cosh(x)[mm]
?
Grüße,
Mareike
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:25 Di 29.01.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mareike!
Warum soll das nicht reichen? Wenn die entsprechenden Ableitungsregeln für die [mm] $\exp$-Funktion [/mm] bekannt sind, ist für die Ermittlung der Ableitung nicht mehr nötig.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Di 29.01.2008 | | Autor: | mareike-f |
Oh, dankeschön.
Ich hab gedacht das kann ja nicht so einfach sein und wollte das halt irgendwie in eine andere Definition reinbekommen.
Grüße,
Mareike
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