skalarfeld mit laplace=0 < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:38 Di 08.06.2010 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | Sei [mm] \Omega\subset\IR^{n} [/mm] beschränkt und offen und sei das Skalarfeld [mm] \phi:\IR^{n}\to\IR [/mm] stetig auf dem Abschluss [mm] \overline{\Omega} [/mm] von [mm] \Omega [/mm] und zweimal stetig differenzierbar in [mm] \Omega [/mm] mit [mm] \Delta\phi(x)=0 [/mm] für alle [mm] x\in\Omega
[/mm]
z.z.:
a) [mm] \phi [/mm] nimmt sein Minimum und sein Maximum auf dem Rand [mm] \partial\Omega [/mm] von [mm] \Omega [/mm] an
Hint: Konstruieren Sie einen Widerspruch, indem Sie annehmen [mm] \phi [/mm] besäße einen Minimierer bzw. Maximierer in [mm] \Omega
[/mm]
Betrachten Sie dazu für [mm] \varepsilon>0
[/mm]
[mm] \psi(x):=\phi(x)+\varepsilon*||x||^{2}
[/mm]
b) Falls [mm] \phi [/mm] auf [mm] \partial\Omega [/mm] konstant ist, so ist [mm] \phi [/mm] bereits auf ganz [mm] \overline{\Omega} [/mm] konstant.
c) Sei [mm] x_{0}\in \Omega [/mm] mit [mm] grad(\phi)(x_{0})=0.
[/mm]
Zeigen oder widerlegen Sie, dass die Hesse-Matrix von [mm] \phi [/mm] an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] stets indefinit ist.
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Hallihallo!
Ich muss gestehen, dass ich bei dieser Aufgabe so kaum Ahnung habe, wie man darangehen sollte. Ist ja nett, dass es bei a) nen Hinweis gibt. Aber ich weiß nichts damit anzufangen, wie soll ich denn mit Hilfe dieser Funktion einen Widerspruch konstruieren?
Ebenso keine Idee hab ich bei b). Man muss doch bestimmt irgendwie verwenden, dass die Summe der ganzen zweiten partiellen Ableitungen immer 0 ist. Sagt das irgendwas aus über die Krümmung???
Kann man da vielleicht irgendwie mit Kontraposition arbeiten, zeigen, dass [mm] \phi [/mm] auch auf dem Rand nicht konstant ist, wenn es auf dem Abschluss nicht konstant ist? Nur wie?
Und bei c) hab ich keinen blassen Schimmer, ob das überhaupt wahr ist oder nicht. Ich rate einfach mal und sage ja^^
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Hallo,
für a.) überlege dir, was mit der 2. Ableitung in einem inneren Max oder Min los ist und konstruiere damit einen Widerspruch zur Lösung der Laplace-Gleichung [mm] $\Delta \phi [/mm] =0$.
Viele Grüße
Patrick
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 00:16 Mi 09.06.2010 | | Autor: | valoo |
> Hallo,
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> für a.) überlege dir, was mit der 2. Ableitung in einem
> inneren Max oder Min los ist und konstruiere damit einen
> Widerspruch zur Lösung der Laplace-Gleichung [mm]\Delta \phi =0[/mm].
>
> Viele Grüße
> Patrick
Mmmh, dann ist die 2. Ableitung semidefinit, da aber die Spur der zweiten Ableitung gerade Laplace angewendet auf [mm] \phi [/mm] ist, sind also alle Diagonaleinträge 0. Kann eine solche symmetrische Matrix mit Nullen auf der Diagonale überhaupt semidefinit sein (außer natürlich sie ist die Nullmatrix), oder ist sie immer indefinit? Wäre das der Widerspruch? Wie würde man das zeigen? Ist die 2. Ableitung diagonalisierbar? Dann gäbe es, da die Spur eine Konjogationsinvariante ist, negative sowie positive EW, also ist die Matrix indefinit.
Und was ist, wenn es doch die Nullmatrix ist? Kann dieser Fall nicht eintreten? Oder gibt es auch dann einen Widerspruch?
Und b) folgt ja doch ganz leicht aus a), wenn man mal ein bisschen nachdenkt^^
Stimmt dann auch die Behauptung bei c)?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Fr 11.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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