skalarprodukt im komplexen < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:39 Sa 21.05.2005 | | Autor: | slash |
hallo,
dies ist meine aufgabe, die ich für leicht sinnlos halte.
Es sei V ein 2-dim komplexer vektorraum mit der basis { v1, v2 }.
außerdem gelte <v1, v1> = 4 und <v2, v2> = 1.
welche werte kommen für <v1, v2> in frage?
==
da v1 und v2 eine basis bilden, bin ich der meinung, dass sie linear unabhängig sind und daher ihr skalarprodukt = 0 ist.
wozu habe ich dann den rest gegeben? warum wird nach werten gefragt?
oder übersehe ich etwas wichtiges?
danke, slash
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Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 Sa 21.05.2005 | | Autor: | SEcki |
> da v1 und v2 eine basis bilden, bin ich der meinung, dass
> sie linear unabhängig sind und daher ihr skalarprodukt = 0
> ist.
Das ist falsch. Ihr Skalarprodukt ist nur dann 0, wenn sie orthogonal sind. Das müssen Basen i.a. nicht sein.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 Sa 21.05.2005 | | Autor: | slash |
und wie kann ich das anstellen?
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:55 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
Zunächst einmal muss ich Secki berichtigen!
Orthogonal wären die Vektoren, wenn ich <v1,v2> = 0 erhalte. Hier war aber <v1,v1>=4 und <v2,v2>= 1 gegeben, also jeweils immer der gleiche Vektor. Das bedeutet, dass der Betrag der Vektoren versteckt gegeben wurde, nämlich als:
$ [mm] |v_1| [/mm] = [mm] \sqrt{\left< v_1,v_1\right> }= \sqrt{4} [/mm] = 2$ und
$ [mm] |v_2| [/mm] = [mm] \sqrt{\left< v_2,v_2\right> }= \sqrt{1} [/mm] = 1$.
Damit wissen wir schonmal die Länge der Vektoren v1, v2.
Seien nun v1 gegeben als
[mm] $v_1 [/mm] = 2 * [mm] e^{i \phi_1}$ [/mm] und
[mm] $v_2 [/mm] = 1 * [mm] e^{i \phi_2}$
[/mm]
Dann kann als <v1,v2> in Frage kommen:
[mm] \left< v_1, v_2 \right> = \left< 2 * e^{i \phi_1}, 1 * e^{i \phi_2} \right> =... [/mm]
Nun beachte man bitte, dass das komplexe Skalarprodukt die zweite Komponente komplex-konjugiert, was sich hier durch einen negativen Winkel bemerkbar macht...
[mm] .... = 2 * e^{i \phi_1} *1* e^{- i \phi_2} = 2 *e^{i \phi_1 - i \phi_2} = 2 *e^{i (\phi_1 - \phi_2)} [/mm]
So und das Ergebnis kannst du nun interpretieren wie du magst...
Gruß Micha 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:57 Sa 21.05.2005 | | Autor: | SEcki |
> Zunächst einmal muss ich Secki berichtigen!
Eigentlich wiederholst du blos, was ich geschrieben habe, denn ...
> Orthogonal wären die Vektoren, wenn ich <v1,v2> = 0
> erhalte.
... das war ja der Punkt. Der OP dachte, das dort 0 herauskommt. aber das ist im Allgemeinen ja falsch - das gilt nur, wenn die Vektoren orthogonal sind.
> [mm]v_1 = 2 * e^{i \phi_1}[/mm] und
>
> [mm]v_2 = 1 * e^{i \phi_2}[/mm]
Sicher? Da müsste ich wohl dich berichtigen: das sind je 2 komplexe Zahlen - wir sind aber in einem 2-dim. komplexen Raum, das kann nicht stimmen - und damit der Rest auch nicht. Bin jetzt aber zu müde für weiteres nachdenken.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:03 So 22.05.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> > Zunächst einmal muss ich Secki berichtigen!
>
> Eigentlich wiederholst du blos, was ich geschrieben habe,
> denn ...
>
> > Orthogonal wären die Vektoren, wenn ich <v1,v2> = 0
> > erhalte.
>
> ... das war ja der Punkt. Der OP dachte, das dort 0
> herauskommt. aber das ist im Allgemeinen ja falsch - das
> gilt nur, wenn die Vektoren orthogonal sind.
Moment moment... du hast geschrieben dass das Skalarprodukt immer 0 ist, wenn die Vektoren orthogonal sind, was natürlich stimmt. Er bezog sich aber auf das Skalarprodukt <v1,v1>. Und deswegen ist das Argument von ihm in diesem Fall einfach falsch...
>
> > [mm]v_1 = 2 * e^{i \phi_1}[/mm] und
> >
> > [mm]v_2 = 1 * e^{i \phi_2}[/mm]
>
> Sicher? Da müsste ich wohl dich berichtigen: das sind je 2
> komplexe Zahlen - wir sind aber in einem 2-dim. komplexen
> Raum, das kann nicht stimmen - und damit der Rest auch
> nicht. Bin jetzt aber zu müde für weiteres nachdenken.
Ich denke schon... den Betrag habe ich ja schon eingesetzt...
Das Zweidimensionale geht dadurch weg, dass v1,v2 ja schon die entsprechenden Basisvektoren waren. Ein allgemeiner Vektor in diesem Raum wäre
[mm] v = \lambda_1 e^{i \phi_1} + \lambda_2 e^{i \phi_2} [/mm].
Für v1,v2 ist dann jeweils das andere lambda = 0. War es das was dich beunruhigt hat?
Gruß Micha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:43 So 22.05.2005 | | Autor: | SEcki |
> > ... das war ja der Punkt. Der OP dachte, das dort 0
> > herauskommt. aber das ist im Allgemeinen ja falsch - das
> > gilt nur, wenn die Vektoren orthogonal sind.
> Moment moment... du hast geschrieben dass das
> Skalarprodukt immer 0 ist, wenn die Vektoren orthogonal
> sind, was natürlich stimmt.
Und wo ist jetzt mein Fehler?
> Er bezog sich aber auf das
> Skalarprodukt <v1,v1>.
Nein - er bezog sich schon auf das von v1 und v2 - weil er wollte aus lin. unabh. othogonal folgern, was eben falsch ist.
> Und deswegen ist das Argument von
> ihm in diesem Fall einfach falsch...
Er hatte ein anderes, ebenso falsches Argument. aber sei's drum ...
> Ich denke schon... den Betrag habe ich ja schon
> eingesetzt...
Also setehn da gar nicht mehr v1 und v2 sondern jueweils der Betrag von diesen?
> Das Zweidimensionale geht dadurch weg, dass v1,v2 ja schon
> die entsprechenden Basisvektoren waren.
Bitt was?
> Ein allgemeiner
> Vektor in diesem Raum wäre
>
> [mm]v = \lambda_1 e^{i \phi_1} + \lambda_2 e^{i \phi_2} [/mm].
>
> Für v1,v2 ist dann jeweils das andere lambda = 0. War es
> das was dich beunruhigt hat?
Das Standardskalarprodkt, was wir hier betrachten, ist aber offenbar über die Standardbasis gegeben. Und irgendwie stehen oben wieder einfach blos 2 komplexe Zahlen, die wohlgemerkt über [mm]\IC[/mm] linerar abhängig sind ... Ich weiß echt nicht, was du da zeigen willst.
Ich versuche jetzt mal ein einfaches Argument anzugeben, warum deine Behauptung mit dem Skalrprodukt falsch ist: deiner Aussgae nach ist [mm][/mm] immer vom Betrag 2 - das ist doch offensichtlich falsch: man nehme die beiden Standarvektoren, die othogonal sind, und verlängere den einen auf Länge 2. Vorrausetzungen sind erfüllt, ihr Skalarprodukt 0 - Widerspruch zu deiner Lösung.
Wäre das alles mit der CSU nicht viel einfacher? Blos noch ein Argument finden, warum dann ale Zahlen, die kleiner sind, auch angenommen werden können. Das sogar 2 als Skalarprodukt heruaskommen kann, ist zB auch deswegen falsch, weil dann beide nach der CSU linear abhängig(!) wären.
Ich hab mir das gerade angeschaut: genauso geht's, leider keine Zeit mehr vorzurechne, abe rman setze an: man nehme einen Vektor mit Länge 2, zB [mm]2e_1[/mm] und setze dann an [mm]<2e_1,\lambda e_1+\rho e_2>=\ldots[/mm]
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:38 So 22.05.2005 | | Autor: | slash |
ich find's total nett, wie Ihr Euch um meine lösung kümmert.
aber schlauer bin ich deswegen noch lange nicht?
was ist z.b. die CSU?
slash
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Cauchy Schwarzsche Ungleichung