special Substitution < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:03 Mi 18.03.2009 | | Autor: | ggg |
Hallo,
Ich verstehe nicht wie die trigometrische Substitution funktioniert und wie man sie auf einem Beispiel anwendet.
Soweit ich es verstanden habe, wird sie grundsätzlich bei rationalen Funktionen eingesetzt, bei der unterm Bruchstrich eine trigonometrische Funktion enthalten ist. Aber das "Wie" habe ich nicht verstanden. Das wäre echt nett, wenn ihr mir weiter helfen könntet.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:50 Mi 18.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du solltest ein Beispiel nennen! Denn es gibt verschiedene mehr oder weniger komplizierte "trigonometrische" substitutionen. die einen sind leicht zu erklaeren, die mit tanx/2 weniger leicht.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:14 Mi 18.03.2009 | | Autor: | ggg |
Beispielsweise habe ich das Integral
[mm] \integral {\bruch{1}{sin(x)} dx}
[/mm]
Wie würde hierbei die Stammfunktion lauten bzw. wie würde ich daran herangehen. Für mich ist erstmal der Weg wichtiger als das Ziel.
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Hallo ggg,
allg. solltest du die Additionstheoreme kennen und nutzen und hier im Speziellen die Formel für den halben Winkel:
[mm] $\sin(x)=\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{x}{2}\right)=2\cdot{}\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cdot{}\cos\left(\frac{x}{2}\right)$
[/mm]
Weiter kannst du [mm] $\tan(z)$ [/mm] durch Sinus und Cosinus ausdrücken:
[mm] $\tan(z)=\frac{\sin(z)}{\cos(z)}$
[/mm]
Also [mm] $\sin(x)=2\cdot{}\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cdot{}\cos\left(\frac{x}{2}\right)=2\cdot{}\tan\left(\frac{x}{2}\right)\cdot{}\cos\left(\frac{x}{2}\right)\cdot{}\cos\left(\frac{x}{2}\right)$
[/mm]
Damit dann [mm] $\frac{1}{\sin(x)}=\frac{1}{2}\cdot{}\left[\frac{1}{\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}\cdot{}\frac{1}{\tan\left(\frac{x}{2}\right)}\right]$
[/mm]
Zu berechnen ist also das Integral [mm] $\frac{1}{2}\cdot{}\int{\frac{1}{\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}\cdot{}\frac{1}{\tan\left(\frac{x}{2}\right)} \ dx}$
[/mm]
Nun bedenke, dass [mm] $\frac{1}{\cos^2(z)}$ [/mm] genau die Ableitung von [mm] $\tan(z)$ [/mm] ist, also kannst du hier [mm] $u=u(x):=\tan\left(\frac{x}{2}\right)$ [/mm] substituieren und kommst auf ein ganz einfaches Integral...
So ganz allg. gibt es leider kein Patentrezept für derartige Integrale, viele sind nicht explizit lösbar (dh. darstellbar als geschlossener Ausdruck mit "bekannten" Funktionen).
Wichtig sind wie gesagt die Additionstheoreme, der trigonometr. Pythagoras [mm] $\sin^2(z)+\cos^2(z)=1$, [/mm] die obige Formel für den halben Winkel und v.a. die Zusammenhänge der trig. Funktionen untereinander ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:31 Mi 18.03.2009 | | Autor: | ggg |
Würde dann die Stammfunktion von $ [mm] \frac{1}{2}\cdot{}\int{\frac{1}{\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}\cdot{}\frac{1}{\tan\left(\frac{x}{2}\right)} \ dx} [/mm] $ [mm] =tan(x)\*ln\*cos(x) [/mm] sein.
Hmmmm, wie könnte ich jetzt meine Stammfunktion gerade biegen. Ich habe das [mm] \bruch{1}{2} [/mm] nicht berücktsichtigt.
Außerdem habe ich leider keinen geeigneten Formelsammlung. Könntet ihr mir ein Link geben, wo die benötigten Formel für die Trigonometrische Substitution vorkommen.
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Hallo nochmal,
> Würde dann die Stammfunktion von
> [mm]\frac{1}{2}\cdot{}\int{\frac{1}{\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}\cdot{}\frac{1}{\tan\left(\frac{x}{2}\right)} \ dx}[/mm]
> [mm]=tan(x)\*ln\*cos(x)[/mm] sein. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Was soll das denn bedeuten, v.a. das [mm] $\ln$, [/mm] das da so alleine ohne Argument in der Weltgeschichte rumsteht??
Hast du die vorgeschlagene Substitution mal durchgeführt?
Mit [mm] $\blue{u=\tan\left(\frac{x}{2}\right)}$ [/mm] ist [mm] $u'=\frac{du}{dx}=\frac{1}{2}\cdot{}\frac{1}{\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}$, [/mm] also [mm] $\red{dx=2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) \ du}$
[/mm]
Also [mm] $\frac{1}{2}\int{\frac{1}{\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}\cdot{}\frac{1}{\blue{\tan\left(\frac{x}{2}\right)}} \ \red{dx}}=\frac{1}{2}\int{\frac{1}{\cos^2\left(\frac{x}{2}\right)}\cdot{}\frac{1}{\blue{u}} \ \red{2\cos^2\left(\frac{x}{2}\right) \ du}}$
[/mm]
[mm] $=\int{\frac{1}{u} \ du}$
[/mm]
Das löse mal 
Nachher das Resubstituieren nicht vergessen.
Die Richtigkeit der Stammfunktion, die du schlussendlich erhältst, kannst du durch Ableiten verifizieren, es muss dabei ja wieder der Integrand, also [mm] $\frac{1}{\sin(x)}$, [/mm] herauskommen ...
> Hmmmm, wie könnte ich jetzt meine Stammfunktion gerade
> biegen. Ich habe das [mm]\bruch{1}{2}[/mm] nicht berücktsichtigt.
>
> Außerdem habe ich leider keinen geeigneten Formelsammlung.
> Könntet ihr mir ein Link geben, wo die benötigten Formel
> für die Trigonometrische Substitution vorkommen.
Einfach mal googlen, auf Wikipedia steht doch eine ganze Menge zu den trigonometr. Funktionen ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Do 19.03.2009 | | Autor: | ggg |
Danke für deine Hilfe Schachuzipus.
Hat mir echt weiter geholfen und den peinlichen Fehler habe ich wieder gut gemacht.
Die Stammfunktion lautet dann [mm] \integral {\bruch{1}{sin(x)} dx}=ln|tan(\bruch{x}{2})|+C
[/mm]
Ich Habe auch die Stammfunktion von [mm] \integral {\bruch{1}{cos(x)} dx} [/mm] ausgerechnet und dafür kriege ich dann [mm] \integral {\bruch{1}{cos(x)} dx}=ln|tan^{2}(\bruch{x}{2})|+C.
[/mm]
Danach habe ich es beim tanges ausprobiert mit [mm] \integral {\bruch{1}{tan(x)} dx}. [/mm] jedoch weiß ich nicht nach was ich da substituiren soll.
Es gilt ja [mm] tan(x)=\tan\left(\frac{x}{2}+\frac{x}{2}\right)=\bruch{2*tan(x)}{1-tan^2(x) }. [/mm] Ich bin mir nicht so sicher wie man so etwas untern Bruchstrich kriegt und dann nach was substituiert. Kann es sein dann nur nach [mm] tan(x)=\bruch{sin(x)}{cos(x)} [/mm] substituirt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:35 Do 19.03.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo ggg,
> Danke für deine Hilfe Schachuzipus.
> Hat mir echt weiter geholfen und den peinlichen Fehler habe
> ich wieder gut gemacht.
> Die Stammfunktion lautet dann [mm]\integral {\bruch{1}{sin(x)} dx}=ln|tan(\bruch{x}{2})|+C[/mm]
>
> Ich Habe auch die Stammfunktion von [mm]\integral {\bruch{1}{cos(x)} dx}[/mm]
> ausgerechnet und dafür kriege ich dann [mm]\integral {\bruch{1}{cos(x)} dx}=ln|tan^{2}(\bruch{x}{2})|+C.[/mm]
>
> Danach habe ich es beim tanges ausprobiert mit [mm]\integral {\bruch{1}{tan(x)} dx}.[/mm]
> jedoch weiß ich nicht nach was ich da substituiren soll.
> Es gilt ja
> [mm]tan(x)=\tan\left(\frac{x}{2}+\frac{x}{2}\right)=\bruch{2*tan(x)}{1-tan^2(x) }.[/mm]
> Ich bin mir nicht so sicher wie man so etwas untern
> Bruchstrich kriegt und dann nach was substituiert. Kann es
> sein dann nur nach [mm]tan(x)=\bruch{sin(x)}{cos(x)}[/mm]
> substituiert?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ja, denn dann steht die Ableitung des Nenners im Zähler und es gilt ja:
[mm] \int{\bruch{f'(x)}{f(x)}\dx}=ln|f(x)|+C\quad \text{f"ur\ alle}\quad C\in\IR
[/mm]
Daher ist:
[mm] \int{\bruch{1}{\tan(x)}\ dx}=\int{\cot(x)\ dx}
[/mm]
[mm] =\int{\bruch{\cos(x)}{\sin(x)}\dx}=ln|\sin(x)|+C
[/mm]
Lg
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:00 Fr 20.03.2009 | | Autor: | ggg |
Danke für deinen Goldenen Tipp. So hat sich das viel einfacher integrieren lassen. Ich habe mich diesmal bei einer schwierigen Aufgabe herangewagt. Ich will die Stammfunktion von [mm] \integral {\bruch{1}{\wurzel{1-sin(x)}} dx}
[/mm]
ermitteln.Jedoch stellten sich einige Probleme auf. Und ich dachte ich versuche den Integranden zu vereinfachen, wenn mögliche zu eine linearen Funktion: [mm] \integral {\bruch{1}{({1-sin(x))^{-\bruch{1}{2}}}} dx} [/mm] = [mm] \integral{{({1-sin(x))^{-\bruch{1}{2}}}} dx}. [/mm] Naja, das mit der lineare Funktion und gegebenenfalls Lineare Substitution hat nicht geklappt, aber kann man den Integranden in dieser Form leichter substituieren, oder gibt es allgemein für die Integrationsfunktion [mm] \integral {\bruch{1}{\wurzel{1-sin(x)}} dx} [/mm] einen weiteren Trick, durch trigonometrische Substitution, wie man denn Integranden schließlich integrieren kann
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Hallo ggg,
Du irrst, wenn Du Dich an beliebig erfundene Integrationsaufgaben begibst. Das ist ein sicherer Weg in eine tiefe Frustration.
![[]](/images/popup.gif) Wolfram Integrator, das zur Zeit wohl fähigste Integrationsprogramm im Netz, gibt folgende Lösung der Aufgabe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich gestehe, dass ich sogar Mühe habe, die Probe zu machen. Dabei müsste ich doch nur ableiten.
Wie man hier eine geeignete Substitution oder überhaupt eine Vorgehensweise findet, sehe ich nicht. Du vielleicht?
Was bezweckst Du denn mit Deinen selbstgestellten Übungsaufgaben?
Grüße
reverend
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo ggg,
ich tüftele jetzt seit 1 1/2 h an diesem sehr interessanten Integral rum und denke, dass ich einen Weg gefunden habe.
Allerdings stecken da etliche Substitutionen drin, man kann es bestimmt vereinfachen oder mehrere Substitutionen zusammenfassen.
Ich habe mich immer Stück für Stück weitergehangelt
Alles weitere ohne Gewähr:
$\int{\frac{1}{\sqrt{1-\sin(x)}} \ dx}=\int{\frac{\sqrt{1-\sin(x)}}{1-\sin(x)} \ dx}$
Erste Substitution: $u:=\sqrt{1-\sin(x)}$, dann $\frac{du}{dx}=\frac{-\cos(x)}{2\sqrt{1-\sin(x)}}$, also $dx=\frac{-2\sqrt{1-\sin(x)}}{\cos(x)} \ du$
Alles ersetzt ergibt das $-2\int{\frac{1}{\cos(x)} \ du}$
Mit $u=\sqrt{1-\sin(x)}$ ist $u^2=1-\sin(x)\Rightarrow 1-u^2=\sin(x)=\sqrt{1-\cos^2(x)}\Rightarrow \cos(x)=u\sqrt{2-u^2}$
Also $...=-2\int{\frac{1}{u\sqrt{2-u^2}} \ du}=-\sqrt{2}\int{\frac{1}{u\sqrt{1-\left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right)^2}} \ du$
Munter weiter: $z:=\frac{u}{\sqrt{2}}$ führt dann zu $...=-\sqrt{2}\int{\frac{1}{z\sqrt{1-z^2}} \ dz}$
Dann $z:=\tanh(t)$, damit $\frac{dz}{dt}=1-\tanh^2(z)$, also $dz=(1-\tanh^2(z)) \ dt$
Das gibt $...=-\sqrt{2}\int{\frac{1-\tanh^2(t)}{\tanh(t)\sqrt{1-\tanh^2(t)}} \ dt}=-\sqrt{2}\int{\frac{\sqrt{1-\tanh^2(t)}}{\tanh(t)} \ dt}=-\sqrt{2}\int{\frac{1}{\sinh(t)} \ dt}$
Denn $\sinh(t)=\frac{\tanh(t)}{\sqrt{1-\tanh^2(t)}}$
$=-\frac{\sqrt{2}}{2}\int{\frac{1}{e^t-e^{-t}} \ dt}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\int{\frac{e^t}{e^{2t}-1} \ dt}$
Nun die letzt Substitution $\varphi:=e^t$, also $\frac{d\varphi}{dt}=e^t\Rightarrow dt=\frac{d\varphi}{e^t}$
Damit: $...=-\frac{\sqrt{2}}{2}\int{\frac{e^t}{e^t(\varphi^2-1)} \ d\varphi}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\int{\frac{1}{(\varphi+1)(\varphi-1)} \ d\varphi}$
Nun noch eine kleine Partialbruchzerlegung: $\frac{1}{(\varphi+1)(\varphi-1)}=\frac{A}{\varphi+1}+\frac{B}{\varphi-1}$
Das führt zu $A=-\frac{1}{2}, B=\frac{1}{2}$ und damit zum Integral
$-\frac{\sqrt{2}}{8}\int{\left[\frac{1}{\varphi-1}-\frac{1}{\varphi+1}\right] \ d\varphi}$
Das ist nun leicht zu berechnen ...
Viel Spaß beim Nachrechnen und vor allem bei der Resubstitution
Die habe ich nämlich nicht mehr gemacht!
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:09 Fr 20.03.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo schachuzipus,
Lob, Lob!
Das sieht, kurz überflogen, gut aus.
Wie man damit auf Wolframs Ergebnis kommt, überblicke ich zwar noch nicht, aber das kann ich auch frühestens morgen abend nachvollziehen. Oft sind ja die Ergebnisse des Integrators noch stark vereinfachungswürdig.
Was mich allerdings wundert, ist die Tatsache, dass Du die Aufgabe in [mm] \IR [/mm] lösen zu können scheinst. Wolfram legt anderes nahe und irrt selten in dieser Hinsicht.
Trotzdem: viel Aufwand und Engagement, und ein bedenkenswertes Ergebnis.
Liebe Grüße
reverend
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Hallo reverend,
ich habe das Integral mal in DERIVE reingetan, der spuckt folgendes Ergebnis aus
Und zwar [mm] $\int{\frac{1}{\sqrt{1-\sin(x)}} \ dx}=\sqrt{2}\cdot{}\ln\left(\frac{\cos(x)+\sqrt{2}\cdot{}\sqrt{1-\sin(x)}}{1-\sin(x)}\right) [/mm] \ (+c)$
Hmmm ...
to be continued ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:07 Sa 21.03.2009 | | Autor: | ggg |
Wooooow, mächtige Überlegung. Meinen Respekt hast du auch, zweifellos. Jedoch kann ich dir bei einen Schritt nicht folgen, das wäre
> Dann [mm]z:=\tanh(t)[/mm], damit [mm]\frac{dz}{dt}=1-\tanh^2(z)[/mm], also [mm]dz=(1-\tanh^2(z)) \ dt[/mm]
du differenzierst [mm] z:=\tanh(t). [/mm] Laut meiner Formelsammlung soll die Ableiting davon [mm] \bruch{1}{cosh^2(x)} [/mm] sein. Oder ist etwa die Umformung von [mm] \bruch{1}{cosh^2(x)}=1-tanh^2(x)
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Wooooow, mächtige Überlegung. Meinen Respekt hast du auch,
> zweifellos. Jedoch kann ich dir bei einen Schritt nicht
> folgen, das wäre
>
> > Dann [mm]z:=\tanh(t)[/mm], damit [mm]\frac{dz}{dt}=1-\tanh^2(z)[/mm], also
> [mm]dz=(1-\tanh^2(z)) \ dt[/mm]
Da muss natürlich überall im Argument ein t stehen, nicht z, ich hatte mich verschrieben.
Nachher im Integral ist es aber Gott sei Dank wieder richtig eingesetzt!
>
> du differenzierst [mm]z:=\tanh(t).[/mm] Laut meiner Formelsammlung
> soll die Ableiting davon [mm] $\bruch{1}{cosh^2(\red{t})}$ [/mm] sein. Oder
> ist etwa die Umformung von [mm]\bruch{1}{cosh^2(x)}=1-tanh^2(x)[/mm]
Ja, es gilt: [mm] $\cosh^2(z)-\sinh^2(z)=1$, [/mm] also kannst du die 1 im Zähler so schreiben und hast
[mm] $\frac{1}{\cosh^2(t)}=\frac{\cosh^2(t)-\sinh^2(t)}{\cosh^2(t)}=1-\frac{\sinh^2(t)}{\cosh^2(t)}=1-\left(\frac{\sinh(t)}{\cosh(t)}\right)^2=1-\tanh^2(t)$
[/mm]
LG
schachuzipus
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