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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:33 Di 23.11.2010 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | | Sei [mm] $f(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2}$ [/mm] falls [mm] $x^2+y^2 \le [/mm] 1 $ und $f(x,y)=0$ sonst. Berechne das Doppelintegral [mm] $\int_{-1}^1\int_{-1}^{1}f(x,y)dxdy$ [/mm] |
Ich komme nach Umformung auf das zu berechnende Integral [mm] $\int_{-1}^1(\int_{-1}^1 \sqrt {1-x^2-y^2}dx) [/mm] dy $
Ich setze nun $x: = sin (z)$ (im Sinne einer Substitution)
Komme jedoch auf das Integral [mm] $\int \sqrt{cos^2 z -y^2 } [/mm] cos(z) dz $, was ja ersichtlich mit elementaren Mitteln nicht lösbar ist.
Nicht einmal mein Voyage 200 weiß hier weiter und ich bitte euch Experten nun um Rat.
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Hallo clemenum,
> Sei [mm]f(x,y)=\sqrt{1-x^2-y^2}[/mm] falls [mm]x^2+y^2 \le 1[/mm] und
> [mm]f(x,y)=0[/mm] sonst. Berechne das Doppelintegral
> [mm]\int_{-1}^1\int_{-1}^{1}f(x,y)dxdy[/mm]
> Ich komme nach Umformung auf das zu berechnende Integral
> [mm]\int_{-1}^1(\int_{-1}^1 \sqrt {1-x^2-y^2}dx) dy[/mm]
> Ich setze nun [mm]x: = sin (z)[/mm] (im Sinne einer Substitution)
Gute Idee, aber noch zu früh 
Für die Integration bringe das Integral in die Form [mm] $M\cdot{}\sqrt{1-\left(\frac{x}{a}\right)^2}$
[/mm]
Dazu klammere unter der Wurzel [mm] $1-y^2$ [/mm] aus und ziehe es raus ...
Dann kannst du [mm] $\sin(z)=\frac{x}{a}$ [/mm] substituieren ...
> Komme jedoch auf das Integral [mm]\int \sqrt{cos^2 z -y^2 } cos(z) dz [/mm],
> was ja ersichtlich mit elementaren Mitteln nicht lösbar
> ist.
> Nicht einmal mein Voyage 200 weiß hier weiter und ich
> bitte euch Experten nun um Rat.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Di 23.11.2010 | | Autor: | clemenum |
Hallo Schachuzipus!
Danke für deinen Tipp, doch frage ich mich, wie man denn aus [mm] $\sqrt{1-x^2-y^2}$ $y^2-1$ [/mm] herausheben soll. Mir ist natürlich bewusst, dass ich es dann zum Quadrat erheben muss, doch gelingt hier doch kein (multiplikatives) Herausheben. Ich kann doch nicht so etwas sagen wie [mm] $(1-y^2)^2\cdot\sqrt{1-(\frac{x}{a})^2 } [/mm] . Kannst du mir da weiterhelfen?
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Hallo nochmal,
> Hallo Schachuzipus!
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> Danke für deinen Tipp, doch frage ich mich, wie man denn
> aus [mm]\sqrt{1-x^2-y^2}[/mm] [mm]y^2-1[/mm][/mm] herausheben soll. Mir ist
> natürlich bewusst, dass ich es dann zum Quadrat erheben
> muss, doch gelingt hier doch kein (multiplikatives)
> Herausheben. Ich kann doch nicht so etwas sagen wie
> [mm]$(1-y^2)^2\cdot\sqrt{1-(\frac{x}{a})^2 }[/mm] . Kannst du mir da
> weiterhelfen?
[mm]\sqrt{1-x^2-y^2}=\sqrt{(1-y^2)-x^2}=\sqrt{(1-y^2)\cdot{}\left(1-\frac{x^2}{1-y^2}\right)}=\sqrt{1-y^2}\cdot{}\sqrt{1-\left(\frac{x}{\sqrt{1-y^2}}\right)^2}[/mm]
Also [mm]M=\sqrt{1-y^2}[/mm] und [mm]a=\sqrt{1-y^2}[/mm]
Wird nun klarer, was ich meinte?
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:30 Di 23.11.2010 | | Autor: | clemenum |
Eine geniale Umformung, vielen Dank! ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Di 23.11.2010 | | Autor: | clemenum |
Beim Integral [mm] $\int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^2-y^2}dx$ [/mm] kommt mir $arcsin( [mm] \frac{1}{\sqrt{1-y^2}} [/mm] - [mm] \frac{2\sqrt{y^2-1}\cdot |y| } {\sqrt{1-y^2}})$ [/mm] heraus. Dies kann nun nicht einmal ein Computeralgebrasystem nach $y$ weiterintegrieren, um das Doppelintegral fertig zu berechnen. Hat einer von euch eine Idee wie man diese "harte Nuss" angehen könnte?
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Hallo clemenum,
> Beim Integral [mm]\int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^2-y^2}dx[/mm] kommt mir
> [mm]arcsin( \frac{1}{\sqrt{1-y^2}} - \frac{2\sqrt{y^2-1}\cdot |y| } {\sqrt{1-y^2}})[/mm]
> heraus. Dies kann nun nicht einmal ein
> Computeralgebrasystem nach [mm]y[/mm] weiterintegrieren, um das
> Doppelintegral fertig zu berechnen. Hat einer von euch eine
> Idee wie man diese "harte Nuss" angehen könnte?
Zunächst ist es sinnvoll das Doppelintegral aufzuteilen,
da [mm]x^{2}+y^{2} \le 1[/mm] sein muss.
Hieraus ergibt sich: [mm]-\wurzel{1-y^{2}} \le x \le \wurzel{1-y^{2}}[/mm]
Damit läßt sich das Doppelintegral wie folgt aufteilen:
[mm] \integral_{-1}^{1}{\integral_{-1}^{1}{ f\left(x,y\right) \ dx } \ dy}=\integral_{-1}^{1}{\integral_{-1}^{-\wurzel{1-y^{2}}}{ f\left(x,y\right) \ dx } \ dy}+\integral_{-1}^{1}{\integral_{-\wurzel{1-y^{2}}}^{+\wurzel{1-y^{2}}}{ f\left(x,y\right) \ dx } \ dy}+\integral_{-1}^{1}{\integral_{\wurzel{1-y^{2}}}^{1}{ f\left(x,y\right) \ dx } \ dy}[/mm]
Somit reduziert sich des in der Aufgabe genannten Doppelintegrals auf
[mm] \integral_{-1}^{1}{\integral_{-1}^{1}{ f\left(x,y\right) \ dx } \ dy}=\integral_{-1}^{1}{\integral_{-\wurzel{1-y^{2}}}^{+\wurzel{1-y^{2}}}{ f\left(x,y\right) \ dx } \ dy}[/mm]
Das Integral
[mm]\integral_{-\wurzel{1-y^{2}}}^{+\wurzel{1-y^{2}}}{ f\left(x,y\right) \ dx }[/mm]
hat einen endlichen Wert, der von y abhängig ist.
Gruss
MathePower
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Beim Integral [mm] $\int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^2-y^2}dx$ [/mm] kommt mir $arcsin( [mm] \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}) [/mm] - [mm] \frac{2\sqrt{y^2-1}\cdot |y| } {\sqrt{1-y^2}}$ [/mm] heraus. Dies kann nun nicht einmal ein Computeralgebrasystem nach $y$ weiterintegrieren, um das Doppelintegral fertig zu berechnen. Hat einer von euch eine Idee wie man diese "harte Nuss" angehen könnte?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:22 Do 25.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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