spiegelung an der Hyperebene < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 Do 30.06.2005 | | Autor: | mariposa |
Hallo,
Sei [mm] S_{a}:= M_{\cal{K}}^{\cal{K}} (s_{a}) [/mm] = [mm] E_{n} [/mm] - 2 a [mm] a^t., [/mm] also die darstellende Matrix von [mm] s_{a}(x)=x-2a [/mm] bezüglich der kanonischen Basis. [mm] \parallel [/mm] a [mm] \parallel [/mm] = 1.
Ich soll nun zeigen, dass [mm] S_{a} \in [/mm] O(n) aber nicht in SO(n). Dass [mm] S_{a} [/mm] orthogonal ist, habe ich gezeigt, indem ich bewiesen habe, dass [mm] S_{a}^2 [/mm] = E und [mm] S_{a} [/mm] = [mm] S_{a}^t. [/mm] Ich weiß nun nicht, wie ich zeigen kann, dass -1 nicht die Determinante von [mm] S_{a} [/mm] ist.
Vielen Dank
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Hallo!
Genau genommen musst du zeigen, dass [mm] $\det S_a=-1$. [/mm] Denn wäre [mm] $\det S_a=1$, [/mm] wäre ja [mm] $S_a\in [/mm] SO(n)$.
Jedenfalls benutzt du dazu am besten folgende Formel: [mm] $\det S_a=\prod\limits_{k=1}^n\lambda_k$, [/mm] wobei die [mm] $\lambda_k$ [/mm] die Eigenwerte von [mm] $S_a$ [/mm] sind entsprechend ihrer Vielfachheit mit [mm] $\lambda_1\le \dots\le \lambda_n$ [/mm] (du kannst sie so aufreihen, weil [mm] $S_a$ [/mm] ja eine symmetrische Matrix ist und deshalb nur positive Eigenwerte hat). Jetzt zeigst du, dass [mm] $\lambda_1=-1$, $\lambda_k=1$ [/mm] für alle [mm] $k\ge [/mm] 2$. Das machst du, indem du die Eigenvektoren suchst. Kleiner Tipp: Ergänze [mm] $\{a\}$ [/mm] zu einer ONB...
Kommst du jetzt mit der Aufgabe zurecht?
Gruß, banachella
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