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stabilität: Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:20 Mo 17.06.2019
Autor: Ataaga

Aufgabe
In einer Erweiterung des Räubers-Beute-Modells wird berücksichtigt, dass die Geburtenrate aufgrund von Stress sinkt, wenn die Population y1 groß wird:

y'1  =  ( 1-c*y1 ) * y1  -  y1 * y2

y'2  =                  -y2  +  y1 * y2

Dabei ist der Stressfaktor 0<c<12.

a) Bestimmen Sie die drei Gleichgewichtspunkte y∈ℝ2 dieses Systems.

b) Linearisieren Sie das System an den Gleichgewichtspunkten.

c) Welche Gleichgewichtspunkte sind asymptotisch  stabil oder instabil?

Hallo,
kann mir bitte jemand erst bei a helfen die zu lösen!

Liebe Grüße

        
Bezug
stabilität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:10 Mo 17.06.2019
Autor: hohohaha1234

wenn du bloss an einer schnellen lösung interessiert bist, dann google doch einfach den Aufgabentext  , das geht schneller als hier die Aufgabe reinzuposten und zu hoffen dass jemand es dir vorlöst

Bezug
                
Bezug
stabilität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:34 Mo 17.06.2019
Autor: fred97


> wenn du bloss an einer schnellen lösung interessiert bist,
> dann google doch einfach den Aufgabentext  , das geht
> schneller als hier die Aufgabe reinzuposten und zu hoffen
> dass jemand es dir vorlöst  

Könntest  du  diese dummen Ratschläge lassen?


Bezug
                        
Bezug
stabilität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:37 Mo 17.06.2019
Autor: hohohaha1234

Was soll diese blöde Anmache?

Bezug
        
Bezug
stabilität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 06:43 Di 18.06.2019
Autor: fred97


> In einer Erweiterung des Räubers-Beute-Modells wird
> berücksichtigt, dass die Geburtenrate aufgrund von Stress
> sinkt, wenn die Population y1 groß wird:
>  
> y'1  =  ( 1-c*y1 ) * y1  -  y1 * y2
>
> y'2  =                  -y2  +  y1 * y2
>  
> Dabei ist der Stressfaktor 0<c<12.
>  
> a) Bestimmen Sie die drei Gleichgewichtspunkte y∈ℝ2
> dieses Systems.
>  
> b) Linearisieren Sie das System an den
> Gleichgewichtspunkten.
>  
> c) Welche Gleichgewichtspunkte sind asymptotisch  stabil
> oder instabil?
>  Hallo,
>  kann mir bitte jemand erst bei a helfen die zu lösen!

Sei [mm] $y=(y_1,y_2)$ [/mm] und

[mm] $f(y)=f(y_1,y_2)=((1-cy_1)y_1-y_1y_2, -y_2+y_1y_2).$ [/mm]

$y [mm] \in \IR^2$ [/mm] ist ein Gleichgewichtspunkt des Systems $ [mm] \gdw [/mm] f(y)=(0,0)$.

Das solltest Du nun hinbekommen !


>  
> Liebe Grüße


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Bezug
stabilität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:44 Di 18.06.2019
Autor: Ataaga

Hallo,
-y2  +  y1 * y2=0

=y2(y1-1)= y1=1

jetzt setzte ich für y1 oben in DGL eins ein und erhalte:
(1-c)-y2=0

y2=(1-c) falls [mm] c\not=1 [/mm]

(0, 0),  ( 1-c, 1-c)

ist es rictig bis jetzt?

Gruß


Bezug
                        
Bezug
stabilität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:40 Di 18.06.2019
Autor: fred97


> Hallo,
>  -y2  +  y1 * y2=0
>  
> =y2(y1-1)= y1=1

Das ist  völlig chaotisch  aufgeschrieben.  Aus [mm] y_2=y_1y_2 [/mm] folgt [mm] y_1=1 [/mm] oder [mm] y_2=0. [/mm]


>
> jetzt setzte ich für y1 oben in DGL eins ein

Wieso in die DGL ?


> und erhalte:
>  (1-c)-y2=0
>  
> y2=(1-c) falls [mm]c\not=1[/mm]
>  
> (0, 0),  ( 1-c, 1-c)
>  
> ist es rictig bis jetzt?

Nein.


>  
> Gruß
>  


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stabilität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:54 Di 18.06.2019
Autor: Ataaga

anscheinend habe ich dann alles falsch verstanden.....

Bezug
                                        
Bezug
stabilität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:57 Di 18.06.2019
Autor: Chris84


> anscheinend habe ich dann alles falsch verstanden.....

Naja, wie FRED schon geschrieben hat, solltest du alles etwas sauberer aufschreiben.

Er hat dir auch schon verraten, dass aus der zweiten Gleichung, [mm] $-y_2+y_1 y_2=0$ $y_1=1$ [/mm] oder [mm] $y_2=0$ [/mm] folgt. Dies kannst du nun in die erste Gleichung einsetzen und bekommst jeweils das andere [mm] $y_2$ [/mm] oder [mm] $y_1$. [/mm]

Klar soweit?


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Bezug
stabilität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:00 Di 18.06.2019
Autor: fred97


> anscheinend habe ich dann alles falsch verstanden.....

Ist Dir  klar,  was man  unter  einem Gleichgewichtspunkt versteht?

Wenn nein, so mach Dich  schlau.

Wenn  ja, so bestimme die Nullstellen der Funktion  f, die ich oben  definiert habe.  Wo ist  das Problem  ?


Bezug
                                                
Bezug
stabilität: Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:04 Di 18.06.2019
Autor: Ataaga

ich habe mal vorgerechnet....!
bei y1 komme ich leider nicht weiter..

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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stabilität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:54 Di 18.06.2019
Autor: fred97


> ich habe mal vorgerechnet....!
>  bei y1 komme ich leider nicht weiter..

Im Falle [mm] y_2=0 [/mm] bekommst Du

[mm] (1-cy_1)y_1=0, [/mm]

also [mm] y_1=0 [/mm] oder [mm] y_1=1/c [/mm]




Bezug
                                                                
Bezug
stabilität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:01 Di 18.06.2019
Autor: Chris84

Als Ergaenzung: Die Loesung fuer [mm] $y_2$ [/mm] fuer [mm] $y_1=1$ [/mm] sieht ok aus, aber warum schliesst du $c=1$ aus (oder habe ich da irgendwas uebersehen)?

Dein Ansatz, um [mm] $y_1$ [/mm] zu bestimmen, sieht auch ok aus Um [mm] $y_2$ [/mm] zu berechnen, kannst du den Satz vom Nullprodukt (kennst du den?) benutzen, oder die resultierende quadratische Gleichung mit der pq-Formel loesen :)

Bezug
                                                                
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stabilität: Rückmeldung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:14 Di 18.06.2019
Autor: Ataaga

sind das jetzt meine Gleichgewichtspunkte oder muss ich da noch was anderes rechnen?

Bezug
                                                                        
Bezug
stabilität: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:17 Di 18.06.2019
Autor: Chris84


> sind das jetzt meine Gleichgewichtspunkte oder muss ich da
> noch was anderes rechnen?

Ja, schon, aber sei praeziser. Du hast also drei Paare [mm] $(y_1,y_2)$ [/mm] von Gleichgewichtspunkten :)

Poste sie doch einfach mal, damit wir wissen, dass du das richtige meinst (bzw. es verstanden hast).

Bezug
                                                                                
Bezug
stabilität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:01 Mi 19.06.2019
Autor: Ataaga

meine Paare sind:
ich hatte erst diese Nullstellen: y1=1 und y2= 0 also es folgt (1l0)

dann hatte ich y2=(1-c) fals c ungleich 1   also es folgt (0l1-c)

und in der letzten Zeile habe ich : y1=0 oder y1=1/c also es folgt (1/cl0)

Bezug
                                                                                        
Bezug
stabilität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:06 Mi 19.06.2019
Autor: Ataaga

also nochmal:

( 1 I 0 ), ( 0 I 1-c ), ( 1/c I 0 )

Bezug
                                                                                                
Bezug
stabilität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:14 Mi 19.06.2019
Autor: Chris84


> also nochmal:
>  
> ( 1 I 0 ), ( 0 I 1-c ), ( 1/c I 0 )

Nein... deine Loesungen sind Paare [mm] (y_1,y_2), [/mm] die zusammen gehoeren. Welches [mm] $y_1$ [/mm] gehoert denn zum Beispiel zu [mm] $y_2=0$? [/mm]

Bezug
                                                                                                        
Bezug
stabilität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:47 Mi 19.06.2019
Autor: fred97


> > also nochmal:
>  >  
> > ( 1 I 0 ), ( 0 I 1-c ), ( 1/c I 0 )
>
> Nein... deine Loesungen sind Paare [mm](y_1,y_2),[/mm] die zusammen
> gehoeren. Welches [mm]y_1[/mm] gehoert denn zum Beispiel zu [mm]y_2=0[/mm]?

Hallo  Chris,

ich denke  Ataaga meint  die Punkte  (1,0)  ,  (0,1-c)  und   (1/c,0)

Bezug
                                                                                                                
Bezug
stabilität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:46 Mi 19.06.2019
Autor: Chris84


> > > also nochmal:
>  >  >  
> > > ( 1 I 0 ), ( 0 I 1-c ), ( 1/c I 0 )
> >
> > Nein... deine Loesungen sind Paare [mm](y_1,y_2),[/mm] die zusammen
> > gehoeren. Welches [mm]y_1[/mm] gehoert denn zum Beispiel zu [mm]y_2=0[/mm]?
>
> Hallo  Chris,
>  
> ich denke  Ataaga meint  die Punkte  (1,0)  ,  (0,1-c)  und
>   (1/c,0)

Hej Fred
Soweit schon klar, aber einer der Punkte ist beispielsweise (0,0). Das heisst, dass da definitiv etwas nicht verstanden wurde....

Gruss,
Chris

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
stabilität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:11 Mo 24.06.2019
Autor: Ataaga

Q1= (0,0)
Q2=(1/3,0)
Q3=(1,1-c)

LG

Bezug
                                                                                                                                
Bezug
stabilität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:20 Mo 24.06.2019
Autor: Ataaga

Q1 = (0,0)
Q2 = (1/c,0)
Q3 = (1,1-c)

Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
stabilität: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:33 Di 25.06.2019
Autor: Chris84


> Q1 = (0,0)
>  Q2 = (1/c,0)
>  Q3 = (1,1-c)

Jetzt stimmt's ;)

Bezug
                                                                                                                                                
Bezug
stabilität: Lösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:47 Mi 26.06.2019
Autor: Ataaga

Beste Grüßeee

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