stammfkt ermitteln < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:10 So 14.11.2004 | | Autor: | Semi85 |
Hallo nochmal.
Weiß zwar normalerweise wie man eine Stammfkt ermittelt, aber hier habe ich irgendwie ein Brett vorm Kopf.
F: x [mm] \mapsto \integral_{0}^{x} [/mm] {f(t) dt}
f(t)= [mm] \bruch{e^{|t|}}{e^{t}+1}
[/mm]
Ich soll auch noch begründen, ohne das Integral auszuführen, dass F differenzierbar ist, F genau eine Nullstelle besitzt, dass der Graph von F keine horizontalen Tangenten aufweist und im Ursprung einen Wendepunkt hat.
Wie kann man das denn machen, ohne das Integral auszuführen?? Hab zu der Differenziertheit geschrieben, dass es differenzierbar ist, weil f(t) auf [mm] \IR [/mm] als gebrochen-rationale Funktion differenzierbar ist... Ist das richtig? Bei den anderen komme ich einfach nicht weiter und auch bei der Stammfkt nicht.
Vielen Dank schon mal, dass ihr mir helfen wollt!
Und ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Semi
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Satz Ist der Integrand ein Bruch, dessen Zähler die Ableitung des Nenners ist, dann ist der natürliche Logarithmus des Nenners eine Stammfunktion.
[mm] \integral {\bruch {v'(x)} {v(x)}dx} [/mm] = ln |v(x)| + c
mögliche Stammfunktion wäre (bitte unbedingt überprüfen !!!)
F(t) = [mm] ln|e^t [/mm] + 1| + C
Ich hoffe einen kleinen Lösungstipp gegeben zu haben und wünsche noch viel Erfolg beim Lösen.
Grüßele
Lieschen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:25 So 14.11.2004 | | Autor: | Sigrid |
> Hallo nochmal.
> Weiß zwar normalerweise wie man eine Stammfkt ermittelt,
> aber hier habe ich irgendwie ein Brett vorm Kopf.
>
> F: x [mm]\mapsto \integral_{0}^{x}[/mm] {f(t) dt}
>
> f(t)= [mm]\bruch{e^{|t|}}{e^{t}+1}
[/mm]
>
> Ich soll auch noch begründen, ohne das Integral
> auszuführen, dass F differenzierbar ist, F genau eine
> Nullstelle besitzt, dass der Graph von F keine horizontalen
> Tangenten aufweist und im Ursprung einen Wendepunkt hat.
>
> Wie kann man das denn machen, ohne das Integral
> auszuführen?? Hab zu der Differenziertheit geschrieben,
> dass es differenzierbar ist, weil f(t) auf [mm]\IR[/mm] als
> gebrochen-rationale Funktion differenzierbar ist...
> Ist das richtig?
Leider nein. f ist keine rationale Funktion, da h(x) [mm] e^x [/mm] keine rationale Funktion ist, außerdem sollst du die Differenzierbarkeit von F, nicht die von f begründen. Die Differenzierbarkeit von F bekommst du über den Hauptsatz. Es gilt F'(x)=f(x).
> Bei den anderen komme ich einfach nicht weiter
Die übrigen Frage kannst du alle mit diesem Ansatz F'(x)=f(x) begründen. z. B. bekommst du aus
f(x)>0, dass F streng monoton steigend ist, also höchstens eine Nullstelle besitzt. Außerdem gilt
F(0)=0. Also ist 0 die einzige Nullstelle.
Versuch jetzt mal die anderen Teile.
Gruß Sigrid
>und
> auch bei der Stammfkt nicht.
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> Vielen Dank schon mal, dass ihr mir helfen wollt!
>
> Und ich habe diese Frage in keinem anderen Forum
> gestellt.
>
> Semi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 So 14.11.2004 | | Autor: | Semi85 |
Danke, das hat mir für das Allgemeinverständnis schon sehr geholfen. Nur komme ich trotzdem nicht weiter. Wie zeige ich denn, dass F keine horizontalen Tangenten hat und in 0 einen Wendepunkt, ohne das Integral zu berechnen??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:38 Mo 15.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Semi85,
> Danke, das hat mir für das Allgemeinverständnis schon sehr
> geholfen. Nur komme ich trotzdem nicht weiter. Wie zeige
> ich denn, dass F keine horizontalen Tangenten hat und in 0
> einen Wendepunkt, ohne das Integral zu berechnen??
ich weiß nicht, ob sich deine Frage nun schon beantwortet hat, deswegen zu Sicherheit:
Damit F eine horizontale Tangente hat, müßte die Ableitung von F, also F', eine Nullstelle haben.
Nun gilt --wie bereits mehrfach in dieser Diskussion erwähnt-- nach dem  Hauptsatz der Integral- und Diferentialrechungrechnung aber F'=f.
Also müßte f selbst eine Nullstelle haben, was aber leicht zu widerlegen ist.
Für den Wendepunkt kannst du ganz genauso argumentieren, führe uns das doch mal vor  (oder frag' nach)
Viele Grüße,
Marc
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Hallo Semi,
> F: x [mm]\mapsto \integral_{0}^{x}[/mm] {f(t) dt}
>
> [mm]f(t)= \bruch{e^{|t|}}{e^{t}+1}[/mm]
>
Eine Stammfunktion ist für x>0: $F(x) = [mm] \ln [/mm] ( [mm] e^t+1)$, [/mm] wie du durch Differenzieren nachweisen kannst.
> Ich soll auch noch begründen, ohne das Integral
> auszuführen, dass F differenzierbar ist, F genau eine
> Nullstelle besitzt, dass der Graph von F keine horizontalen
> Tangenten aufweist und im Ursprung einen Wendepunkt hat.
Wie Storch schon geschrieben hat, gilt der Hauptsatz der Diff-Int-Rechnung, also F'(x)=f(x). Lies mal in unserer MatheBank.
> Wie kann man das denn machen, ohne das Integral
> auszuführen?? Hab zu der Differenziertheit geschrieben,
> dass es differenzierbar ist, weil f(t) auf [mm]\IR[/mm] als
> gebrochen-rationale Funktion differenzierbar ist...
Wegen der e-Funktion ist es keine gebrochen-rationale Funktion!
> Ist das richtig?
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