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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:38 Mi 17.11.2004 | | Autor: | ribu |
moin ertsmal...
ich habe hier probleme bei der bildung der stammfunktion von folgenden funktionen:
[mm] f_{1}(x)=\bruch{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}
[/mm]
[mm] f_{2}(x)=ln(\bruch{2}{5}x-\bruch{1}{5})
[/mm]
[mm] f_{3}(x)=\bruch{e^{x}}{2+e^{x}}
[/mm]
ich habe noch keine ansätze da ich von anfang nich weis wie ich die stammfunktionen dieser drei funktionen herausbekomme...
danke im vorraus...
mfg ribu
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Hi!
Also, die Aufgaben sind eigentlich ganz einfach:
Komme zuerst zu [mm] f_{1}(x) [/mm] und [mm] f_{3}(x), [/mm] da diese Stammfunktionen auf gleiche Weise gebildet werden:
Es gibt einen Sonderfall der Substitution:
[mm] \integral_{a}^{b} {\bruch{f^{'}(x)}{f(x)} dx}=[ln |f(x)|]_{a}^{b}
[/mm]
Dies trifft genau auf den 1. und letzen Fall zu:
Oben auf dem Bruch, steht jeweils die Ableitung vom Nenner
[mm] \Rightarrow F_{1}(x)= [/mm] ln [mm] |e^{x}+e^{-x}| [/mm] und [mm] F_{3}(x)= [/mm] ln [mm] |2+e^{x}|
[/mm]
Nun noch zu [mm] f_{2}(x):
[/mm]
Wir wissen, dass ln x aufgeleitet [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ist.
Hier gilt dann noch die "Kettenregel": man muss also noch den Kehrwert der inneren Ableitung davorschreiben
[mm] \Rightarrow F_{2}(x)=\bruch{5}{2} \bruch{1}{(\bruch{2}{5}x-\bruch{1}{5})}.
[/mm]
So, ich hoffe Du verstehst alles und kannst es auch nachvollziehen!
VlG
Mario
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Do 18.11.2004 | | Autor: | ribu |
danke für deine schnelle antwort...
also ich weis das ln(x) abgeleitet [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ist, aber das es aufgeleitet auch das is, is mir neu.... is denn denn wirklich richtig so?
mfg rico
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Hallo!
Stimmt genau!
Ableiten und Aufleiten führen in den meisten Fällen zu den gleichen Funktionen!
Nur die Konstantn sind nach dem Ableiten natürlich verschwunden und können durch Aufleiten nicht rekonstruiert werden!
Liebe Grüße
Ulrike
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Hi nochmal!
Sorry, aber Du hast recht!
Die 2. Aufleitung ist echt falsch!
Hier die Verbesserung:
Falls f(x)=ln x ist die Stammfunktion nat. F(x)=x*ln (x) -x.
(Sorry, hatte die Ableitung mit der Aufleitung verwechselt)!
Und jetzt handelt es sich schon wieder um einen Sonderfall der Substitution (lineare).
Es gilt nämlich:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(px+q) dx}=[\bruch{1}{p}F(z)]_{pa+q}^{pb+q}=[\bruch{1}{p}F(px+q)]_{a}^{b}
[/mm]
(mit [mm] p\not=0, [/mm] z=px+q, z'=p, F: Stammfunktion von f)
[mm] \Rightarrow F_{2}(x)=\bruch{5}{2}[(\bruch{2}{5}x-\bruch{1}{5})*ln(\bruch{2}{5}x-\bruch{1}{5})-(\bruch{2}{5}x-\bruch{1}{5})].
[/mm]
So, ich hoffe Du verstehst alles und "verzeihst" mir meinen Fehler! 
VlG
Mario
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