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stark stetige Halbgruppen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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stark stetige Halbgruppen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:26 Sa 12.05.2018
Autor: questionpeter

Aufgabe
Sei T eine stark stetige Halbgruppe auf einem Banachraum X mit Generator (A,D(A)). Zeige, dass für [mm] x,y\in [/mm] X die folgenden Aussagen äquivalent sind.

(i) [mm] x\in [/mm] D(A)
(ii) für jedes [mm] t\geq0 [/mm] gilt

[mm] \integral_0^{t}{T(s)yds}=T(t)x-x [/mm]

Hallo zusammen,

mein Lösungsansatz:

[mm] (i)\Rightarrow(ii) [/mm] Sei [mm] x\in [/mm] D(A) und Ax=y. Dann ist

[mm] \integral_{0}^t{T(s)Axds}=T(t)x-x \overset{Ax=y}{\gdw} [/mm]
[mm] \integral_{0}^t{T(s)yds}=T(t)x-x [/mm]

[mm] (i)\Rightarrow [/mm] (ii)

Sei [mm] (x_n)_{n\in\IN} \subseteq [/mm] D(A) mit der Eigenschaft [mm] x_n\rightarrow [/mm] x und [mm] Ax_n\rightarrow [/mm] y in X. Dann ist

[mm] T(t)x_n-x_n=\integral_{0}^t{T(s)Ax_nds} [/mm]

Da [mm] T(t)\in [/mm] B(X), konvergiert die linke Seite für [mm] n\rightarrow \inftiy [/mm] gegen T(t)x-x in X. Da [mm] \underset{\sigma\in[0,t]}{sup} ||T(\sigma)Ax_n-T(\sigma)y|| \leq Me^{|\omega|t}||Ax_n-y|| [/mm]

konvergiert die Folge der stetigen FUnktionen [mm] T()Ax_n [/mm] gleichmässig auf [0,t] gegen die Funktion T()y und somit

[mm] \integral_{0}^t{T(s)x_nds}=\integral_{0}^t{T(s)yds} [/mm]

Es folgt, dass

[mm] \integral_{0}^t{T(s)yds}=T(t)x-x [/mm]


[mm] (ii)\Rightarrow [/mm] (i)

Es sei
[mm] \integral_{0}^t{T(s)yds}=T(t)x-x [/mm]

Durch Division durch [mm] t\geq [/mm] 0 ergibt

[mm] \bruch{T(t)-Id}{t}x=\bruch{1}{t}\integral_{0}^t{T(s)yds}\rightarrow [/mm] T(0)y=0

[mm] \Rightarrow x\in [/mm] D(A) und Ax=y

Stimmt das? Danke im voraus!

        
Bezug
stark stetige Halbgruppen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:38 Mo 14.05.2018
Autor: fred97


> Sei T eine stark stetige Halbgruppe auf einem Banachraum X
> mit Generator (A,D(A)). Zeige, dass für [mm]x,y\in[/mm] X die
> folgenden Aussagen äquivalent sind.
>  
> (i) [mm]x\in[/mm] D(A)
>  (ii) für jedes [mm]t\geq0[/mm] gilt
>  
> [mm]\integral_0^{t}{T(s)yds}=T(t)x-x[/mm]

Hmm ..., wie hängen denn x und y zusammen ???



>  Hallo zusammen,
>  
> mein Lösungsansatz:
>  
> [mm](i)\Rightarrow(ii)[/mm] Sei [mm]x\in[/mm] D(A) und Ax=y. Dann ist
>  
> [mm]\integral_{0}^t{T(s)Axds}=T(t)x-x \overset{Ax=y}{\gdw}[/mm]
>  
> [mm]\integral_{0}^t{T(s)yds}=T(t)x-x[/mm]
>  
> [mm](i)\Rightarrow[/mm] (ii)
>  
> Sei [mm](x_n)_{n\in\IN} \subseteq[/mm] D(A) mit der Eigenschaft
> [mm]x_n\rightarrow[/mm] x und [mm]Ax_n\rightarrow[/mm] y in X. Dann ist
>  
> [mm]T(t)x_n-x_n=\integral_{0}^t{T(s)Ax_nds}[/mm]
>  
> Da [mm]T(t)\in[/mm] B(X), konvergiert die linke Seite für
> [mm]n\rightarrow \inftiy[/mm] gegen T(t)x-x in X. Da
> [mm]\underset{\sigma\in[0,t]}{sup} ||T(\sigma)Ax_n-T(\sigma)y|| \leq Me^{|\omega|t}||Ax_n-y||[/mm]
>  
> konvergiert die Folge der stetigen FUnktionen [mm]T()Ax_n[/mm]
> gleichmässig auf [0,t] gegen die Funktion T()y und somit
>
> [mm]\integral_{0}^t{T(s)x_nds}=\integral_{0}^t{T(s)yds}[/mm]
>  
> Es folgt, dass
>  
> [mm]\integral_{0}^t{T(s)yds}=T(t)x-x[/mm]
>  
>
> [mm](ii)\Rightarrow[/mm] (i)
>  
> Es sei
>  [mm]\integral_{0}^t{T(s)yds}=T(t)x-x[/mm]
>  
> Durch Division durch [mm]t\geq[/mm] 0 ergibt
>
> [mm]\bruch{T(t)-Id}{t}x=\bruch{1}{t}\integral_{0}^t{T(s)yds}\rightarrow[/mm]
> T(0)y=0
>  
> [mm]\Rightarrow x\in[/mm] D(A) und Ax=y
>  
> Stimmt das? Danke im voraus!


Bezug
        
Bezug
stark stetige Halbgruppen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:20 Di 15.05.2018
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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