stationäre Punkte und Extrema < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Status: |
(Frage) beantwortet | Datum: | 15:05 Do 17.01.2013 | Autor: | Coup |
Aufgabe | gegeben sei die Funktion
$f(x,y) = [mm] 3x^2 [/mm] + [mm] 4y^2 [/mm] + 6xy -6x $
Gesucht sind die stationären Punkte sowie die lokalen Extrema |
Hallo,
Ich habe erst einmal mit den partiellen Ableitungen begonnen
fx = $6x +6 y -6$
fy=$ 8y + 6x$
$6x = -8y | / 6$
$x = - [mm] \bruch{8}{6}$
[/mm]
Eingesetzt in (I) bekomme ich für y
$- [mm] \bruch{48}{6}y [/mm] + 6y = 6$
$y = -3 $
x = [mm] -\bruch{8}{6} [/mm] * -3 = 4
Somit liegt mein stationärer Punkt bei ( 4,-3)
Doch für meine Extremwerte brauche ich doch nun die 2. Ableitung von
f''(x) = 6x + 6y -6 = 6
f''(y) = 6x + 8y = 8
oder nicht ? jedenfalls stecke ich jetzt fest da ich in der 2. Abl keine Variablen mehr habe
lg
Micha
|
|
|
|
Status: |
(Antwort) fertig | Datum: | 15:13 Do 17.01.2013 | Autor: | fred97 |
> gegeben sei die Funktion
> [mm]f(x,y) = 3x^2 + 4y^2 + 6xy -6x[/mm]
>
> Gesucht sind die stationären Punkte sowie die lokalen
> Extrema
> Hallo,
> Ich habe erst einmal mit den partiellen Ableitungen
> begonnen
>
> fx = [mm]6x +6 y -6[/mm]
> fy=[mm] 8y + 6x[/mm]
>
> [mm]6x = -8y | / 6[/mm]
> [mm]x = - \bruch{8}{6}[/mm]
>
> Eingesetzt in (I) bekomme ich für y
> [mm]- \bruch{48}{6}y + 6y = 6[/mm]
>
> [mm]y = -3[/mm]
> x = [mm]-\bruch{8}{6}[/mm] * -3 = 4
> Somit liegt mein stationärer Punkt bei ( 4,-3)
Das stimmt.
>
> Doch für meine Extremwerte brauche ich doch nun die 2.
> Ableitung von
> f''(x) = 6x + 6y -6 = 6
Du meinst sicher
[mm] f_{xx}=6
[/mm]
> f''(y) = 6x + 8y = 8
Du meinst sicher
[mm] f_{yy}=8
[/mm]
>
> oder nicht ? jedenfalls stecke ich jetzt fest da ich in der
> 2. Abl keine Variablen mehr habe
Na und ?
Berechne noch Du meinst sicher
[mm] f_{xy}
[/mm]
und dann die Hessematrix.
FRED
>
>
> lg
> Micha
>
>
>
|
|
|
|
|
Status: |
(Frage) beantwortet | Datum: | 21:14 Sa 19.01.2013 | Autor: | Coup |
Eine doofe Frage an dieser Stelle.
Wie berechne ich noch fxy ?
fx,fxx
fy,fyy
ist soweit wieder klar. Die Hessematrix habe ich sicherlich auch noch im Hinterkopf
lg
und danke :)
|
|
|
|
|
Status: |
(Antwort) fertig | Datum: | 21:37 Sa 19.01.2013 | Autor: | chrisno |
erst nach x und dann nach y ableiten
|
|
|
|
|
Status: |
(Frage) beantwortet | Datum: | 01:08 So 20.01.2013 | Autor: | Coup |
Danke dir !
Demnach habe ich
$fxx=6$
$fyy=8$
$fxy=8$
Übersetzt in die Hessische ergibt dies doch
[mm] \vmat{ 6 & 6 \\ 6 & 8 }
[/mm]
=
[mm] \vmat{ \lambda-6 & -6 \\ -6 & \lambda-8 }
[/mm]
=
[mm] (\lambda-6)(\lambda-8)+36 [/mm]
Hier kann ich doch schon erkennen das es sich um einen Tiefpunkt handeln muss für (4,-3).
lg
|
|
|
|
|
> Danke dir !
> Demnach habe ich
> [mm]fxx=6[/mm]
> [mm]fyy=8[/mm]
> [mm]fxy=8[/mm]
>
> Übersetzt in die Hessische ergibt dies doch
>
> [mm]\vmat{ 6 & 6 \\
6 & 8 }[/mm]
> =
> [mm]\vmat{ \lambda-6 & -6 \\
-6 & \lambda-8 }[/mm]
> =
> [mm](\lambda-6)(\lambda-8)+36[/mm]
>
> Hier kann ich doch schon erkennen das es sich um einen
> Tiefpunkt handeln muss für (4,-3).
Hallo,
wie Du das siehst, wird aus dem,was Du schreibst, nicht klar.
Aber es stimmt, daß es ein Tiefpunkt ist.
LG Angela
>
>
> lg
>
|
|
|
|
|
Status: |
(Frage) beantwortet | Datum: | 12:24 So 20.01.2013 | Autor: | Coup |
Kann ich das denn schon anhande der Lambdas im Charakteristischen Polynom erkennen oder muss es noch ausmultipliziert werden ? Ich dachte nun, da meine Lambdas nicht kleiner 0 sind, das es ein TP sein muss
|
|
|
|
|
Hallo,
es stimmt Dein charakteristisches Polynom nicht! (Vielleicht nur ein Tippfehler.)
> Kann ich das denn schon anhande der Lambdas im
> Charakteristischen Polynom erkennen oder muss es noch
> ausmultipliziert werden ?
Das richtige charakteristische Polynom lautet [mm] \chi(\lambda)=(x-6)(x-8)\red{-}36.
[/mm]
Wenn Du diesem die Eigenwerte sofort ansiehst,brauchst Du nichts auszumultiplizieren usw. Ich kann das nicht.
Ich mußte die Eigenwerte erst berechnen.
> Ich dachte nun, da meine Lambdas
> nicht kleiner 0 sind, das es ein TP sein muss
Ja, die Eigenwerte sind beide größer als 0 (größer als 0, nicht: nicht kleiner als 0),
nach den Eigenwertkriterium für die Definitheit symmetrischer Matrizen wissen wir, daß die Matrix positiv definit ist, und hieraus,
daß ein Tiefpunkt vorliegt.
LG Angela
|
|
|
|