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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - stationäre Punkte und Extrema
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stationäre Punkte und Extrema: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:05 Do 17.01.2013
Autor: Coup

Aufgabe
gegeben sei die Funktion
$f(x,y) = [mm] 3x^2 [/mm] + [mm] 4y^2 [/mm] + 6xy -6x $

Gesucht sind die stationären Punkte sowie die lokalen Extrema

Hallo,
Ich habe erst einmal mit den partiellen Ableitungen begonnen

fx = $6x +6 y -6$
fy=$ 8y + 6x$

$6x = -8y   | / 6$
$x  = - [mm] \bruch{8}{6}$ [/mm]

Eingesetzt in (I) bekomme ich für y
$- [mm] \bruch{48}{6}y [/mm] + 6y = 6$

$y = -3 $
  x = [mm] -\bruch{8}{6} [/mm] * -3 = 4
Somit liegt mein stationärer Punkt bei ( 4,-3)

Doch für meine Extremwerte brauche ich doch nun die 2. Ableitung von
f''(x) = 6x + 6y -6  = 6
f''(y) = 6x + 8y      = 8

oder nicht ? jedenfalls stecke ich jetzt fest da ich in der 2. Abl keine Variablen mehr habe


lg
Micha




        
Bezug
stationäre Punkte und Extrema: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:13 Do 17.01.2013
Autor: fred97


> gegeben sei die Funktion
>  [mm]f(x,y) = 3x^2 + 4y^2 + 6xy -6x[/mm]
>  
> Gesucht sind die stationären Punkte sowie die lokalen
> Extrema
>  Hallo,
>  Ich habe erst einmal mit den partiellen Ableitungen
> begonnen
>  
> fx = [mm]6x +6 y -6[/mm]
>  fy=[mm] 8y + 6x[/mm]
>  
> [mm]6x = -8y | / 6[/mm]
>  [mm]x = - \bruch{8}{6}[/mm]
>  
> Eingesetzt in (I) bekomme ich für y
>  [mm]- \bruch{48}{6}y + 6y = 6[/mm]
>  
> [mm]y = -3[/mm]
>    x = [mm]-\bruch{8}{6}[/mm] * -3 = 4
>  Somit liegt mein stationärer Punkt bei ( 4,-3)

Das stimmt.


>  
> Doch für meine Extremwerte brauche ich doch nun die 2.
> Ableitung von
>  f''(x) = 6x + 6y -6  = 6

Du meinst sicher

   [mm] f_{xx}=6 [/mm]


>  f''(y) = 6x + 8y      = 8


Du meinst sicher

   [mm] f_{yy}=8 [/mm]

>  
> oder nicht ? jedenfalls stecke ich jetzt fest da ich in der
> 2. Abl keine Variablen mehr habe

Na und ?

Berechne noch Du meinst sicher

   [mm] f_{xy} [/mm]

und dann die Hessematrix.

FRED

>  
>
> lg
>  Micha
>  
>
>  


Bezug
                
Bezug
stationäre Punkte und Extrema: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:14 Sa 19.01.2013
Autor: Coup

Eine doofe Frage an dieser Stelle.
Wie berechne ich noch fxy ?
fx,fxx
fy,fyy

ist soweit wieder klar. Die Hessematrix habe ich sicherlich auch noch im Hinterkopf

lg
und danke :)

Bezug
                        
Bezug
stationäre Punkte und Extrema: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:37 Sa 19.01.2013
Autor: chrisno

erst nach x und dann nach y ableiten

Bezug
                                
Bezug
stationäre Punkte und Extrema: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:08 So 20.01.2013
Autor: Coup

Danke dir !
Demnach habe ich
$fxx=6$
$fyy=8$
$fxy=8$

Übersetzt in die Hessische ergibt dies doch

[mm] \vmat{ 6 & 6 \\ 6 & 8 } [/mm]
=
[mm] \vmat{ \lambda-6 & -6 \\ -6 & \lambda-8 } [/mm]
=
[mm] (\lambda-6)(\lambda-8)+36 [/mm]

Hier kann ich doch schon erkennen das es sich um einen Tiefpunkt handeln muss für (4,-3).


lg


Bezug
                                        
Bezug
stationäre Punkte und Extrema: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:50 So 20.01.2013
Autor: angela.h.b.


> Danke dir !
>  Demnach habe ich
> [mm]fxx=6[/mm]
>  [mm]fyy=8[/mm]
>  [mm]fxy=8[/mm]
>  
> Übersetzt in die Hessische ergibt dies doch
>  
> [mm]\vmat{ 6 & 6 \\ 6 & 8 }[/mm]
>  =
>  [mm]\vmat{ \lambda-6 & -6 \\ -6 & \lambda-8 }[/mm]
>  =
>  [mm](\lambda-6)(\lambda-8)+36[/mm]
>
> Hier kann ich doch schon erkennen das es sich um einen
> Tiefpunkt handeln muss für (4,-3).

Hallo,

wie Du das siehst, wird aus dem,was Du schreibst, nicht klar.
Aber es stimmt, daß es ein Tiefpunkt ist.

LG Angela

>  
>
> lg
>  


Bezug
                                                
Bezug
stationäre Punkte und Extrema: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:24 So 20.01.2013
Autor: Coup

Kann ich das denn schon anhande der Lambdas im Charakteristischen Polynom erkennen oder muss es noch ausmultipliziert werden ? Ich dachte nun, da meine Lambdas nicht kleiner 0 sind, das es ein TP sein muss

Bezug
                                                        
Bezug
stationäre Punkte und Extrema: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:45 So 20.01.2013
Autor: angela.h.b.

Hallo,

es stimmt Dein charakteristisches Polynom nicht! (Vielleicht nur ein Tippfehler.)

> Kann ich das denn schon anhande der Lambdas im
> Charakteristischen Polynom erkennen oder muss es noch
> ausmultipliziert werden ?

Das richtige charakteristische Polynom lautet [mm] \chi(\lambda)=(x-6)(x-8)\red{-}36. [/mm]
Wenn Du diesem die Eigenwerte sofort ansiehst,brauchst Du nichts auszumultiplizieren usw. Ich kann das nicht.
Ich mußte die Eigenwerte erst berechnen.


> Ich dachte nun, da meine Lambdas
> nicht kleiner 0 sind, das es ein TP sein muss

Ja, die Eigenwerte sind beide größer als 0 (größer als 0, nicht: nicht kleiner als 0),
nach den Eigenwertkriterium für die Definitheit symmetrischer Matrizen wissen wir, daß die Matrix positiv definit ist, und hieraus,
daß ein Tiefpunkt vorliegt.

LG Angela


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