stationäre stellen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:15 Mi 04.08.2004 | | Autor: | Melanie |
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Hallo liebe Leute,
ich möchte gerne die stationären stellen von funktionen mit mehreren (2) variablen berechnen, ich weiß, dass ich partiellen Ableitungen berechnen muss und diese dann gleich null setzen. Aber die partiellen Ableitungen enthalten ja immer noch beide variablen, also wie soll ich die dann auflösen...?
bitte um Eure hilfe...!
Danke
Melanie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:55 Mi 04.08.2004 | | Autor: | andreas |
hi Melanie
angenommen du hast eine funktion [m] f: \mathbb{R}^2 \supset D \longrightarrow \mathbb{R} [/m], also eine funktion von einer teilmenge des [m] \mathbb{R}^2 [/m] nach [m] \mathbb{R} [/m], dann musst du zuerst - wie du schon richtig geschrieben hast - die beiden partiellen ableitungen bestimmen und null-setzen. dadurch erhältst du ein gleichungssystem mit 2 gleichungen und 2 unbekannten, dass du dann möglichst lösen solltest (was natürlich nicht immer explizit möglich ist).
also mal ein beispiel:
[mm]f: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R} [/mm]
[mm] f(x_1, x_2) = x_1^2x_2 - 2x_2 + x_1 [/mm]
dann erhälst du als partielle ableitungen - sofern ich mich nicht verrechnet habe:
[mm] \displaystyle{\dfrac{\partial f}{\partial x_1} = 2x_1x_2 + 1 }[/mm]
[mm] \displaystyle{ \dfrac{\partial f}{\partial x_2} = x_1^2 - 2} [/mm]
damit das gleichundssystem
[mm] \left\{ \begin{array}{lll} 2x_1x_2 + 1 = 0 & & (1) \\ x_1^2 - 2 = 0 & & (2) \end{array} \right. [/mm]
aus (2) folgt sofort [m] x_1 = \pm \sqrt{2} [/m] und somit mit (1) [m] x_2 = \mp \frac{1}{2 \sqrt{2}} [/m], also erhälst du somit die 2 stationären punkte [m] (\sqrt{2}, - \frac{1}{2 \sqrt{2}}) [/m] und [m] ( - \sqrt{2}, \frac{1}{2 \sqrt{2}}) [/m] - alles natürlich vorbehaltlich rechenfehler! ob diese stationären punkte dann tatsächlich extrema sind ist eine andere frage!
am besten postest du mal ein beispiel, was für eine aufgabe dich interessiert, da es sich bei dem, was ich hier gerechnet habe es sich um einen recht einfachen fall handelt. wie du das entstehende gleichungssystem löst kommt auch immer auf den fall an der konkret vorliegt.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:22 Mi 04.08.2004 | | Autor: | Melanie |
Hallo Andreas,
meine funktion sieht folgendermaßen aus:
f(x) = [mm] x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}-3x-21y
[/mm]
es ergeben sich dann folgende partielle ableitungen:
[mm] {\partial f/ \partial x} [/mm] = [mm] 3x^{2}-6xy+3y^{2}-3[/mm]
und
[mm] {\partial f/ \partial y} [/mm] = [mm] -3x^{2}+6xy+3y^{2}-21 [/mm]
Ich habe verstanden, was du geschrieben hast, bei einfacheren funktionen, in denen die variablen nur noch mit einfachem exponenten vorliegen geht das gut, hier aber nicht :)
Ich würde mich freuen, wenn du oder jemand anderes mir hier konkrete hilfe geben könnte!
Danke schonmal!
Gruß.
Melanie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:35 Mi 04.08.2004 | | Autor: | Melanie |
hmm, das sind ja binomische formeln, wenn mich nicht alles täuscht :)
aber weiterhelfen tut mir das nicht wirklich, oder doch?
Melanie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:05 Mi 04.08.2004 | | Autor: | taenzer |
Doch, das hilft schon:
[mm] $3x^2-6xy+3y^2-3=0$
[/mm]
[mm] $3(x^2-2xy+y^2)-3=0$
[/mm]
[mm] $3(x-y)^2-3=0$
[/mm]
[mm] $(x-y)^2=1$
[/mm]
[mm] $x-y=\pm [/mm] 1$
[mm] $x=y\pm [/mm] 1$
Das musst Du in die zweite Gleichung einsetzen und Du erhälst eine quadratische Gleichung. Nein. Du erhälst zwei quadratische Gleichungen. Die eine, wenn Du $x=y+1$ setzt und die zweite, wenn Du $x=y-1$ setzt. Dann müsstest Du für vier Lösungen erhalten.....(rechne).....
Meine Lösungen sind
[mm]\vektor{+3\\+2},
\:\vektor{+1\\+2},
\:\vektor{-1\\-2}\mbox{ und }
\vektor{-3\\-2}[/mm]
Allerdings ist mir der Ausdruck stationäre Stellen unklar...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:26 Mi 04.08.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo Melanie!
> [mm] ${\partial f/ \partial x} [/mm] = [mm] 3x^{2}-6xy+3y^{2}-3$
[/mm]
> und
> [mm] ${\partial f/ \partial y} [/mm] = [mm] -3x^{2}+6xy+3y^{2}-21$
[/mm]
Also ja, da steckt zumindest im ersten ne binomische Formel drin, Du bekommst beim Auflösen dann sowas wie
[mm] ${\partial f/ \partial x} [/mm] = 3 * ((x - [mm] y)^2 [/mm] - 1)$, also weisst Du schonmal, dass $|x - y| = 1$ sein muss, damit Du Nullstellen findest.
Schaut man sich jetzt
[mm] ${\partial f/ \partial y} [/mm] = [mm] -3x^{2}+6xy+3y^{2}-21$ [/mm] an, wird es etwas schwieriger...
[mm] $-3x^{2}+6xy+3y^{2}-21 [/mm] = 3 * [mm] (-x^2+2xy+y^2-7) [/mm] = 3 * ((x + [mm] y)^2 [/mm] - [mm] 2x^2 [/mm] -7)$
Mit der Bedingung aus dem ersten Teil kann man nun 2 Fälle unterscheiden:
/e
Kleiner Rechenfehler meinerseits, es muss natürlich heissen:
1.) $x > y [mm] \Rightarrow [/mm] x = y + 1$:
$(2y + [mm] 1)^2 [/mm] - [mm] 2*(y+1)^2 [/mm] - 7 = [mm] 4y^2 [/mm] + 4y + 1 - [mm] 2y^2 [/mm] - 4y - 2 - 7 = [mm] 2y^2 [/mm] - 8 = 0$
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $y^2 [/mm] - 4 = 0$
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $y_{1,2} [/mm] = +/- 2$
Diese Ergebnisse musst Du noch in $x = y +1$ einsetzen und hast dann ein paar Punkte.
Entsprechend gilt
2.) $x < y [mm] \Rightarrow [/mm] x = y - 1$
$(2y - [mm] 1)^2 [/mm] - [mm] 2*(y-1)^2 [/mm] - 7 = [mm] 4y^2 [/mm] - 4y + 1 - [mm] 2y^2 [/mm] + 4y - 2 - 7 = [mm] 2y^2 [/mm] - 8 = 0$
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $y^2 [/mm] - 4 = 0$
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $y_{3,4} [/mm] = +/- 2$
welches Du wiederum in $x = y - 1$ einsetzen musst.
Ich hoffe, das hilft irgendwie weiter ^^;
greetz
AT-Colt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:34 Mi 04.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Melanie!
> f(x) = [mm]x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}-3x-21y
[/mm]
>
> es ergeben sich dann folgende partielle ableitungen:
>
> [mm]{\partial f/ \partial x}[/mm] = [mm][mm]3x^{2}-6xy+3y^{2}-3[/mm]
und
[mm]{\partial f/ \partial y}[/mm] = [mm][mm]-3x^{2}+6xy+3y^{2}-21 [/mm]
Diesmal geht es auch/wieder ein bisschen einfacher:
[mm] 3x^{2}-6xy+3y^{2}-3=0
[/mm]
[mm] -3x^{2}+6xy+3y^{2}-21=0
[/mm]
[mm] 3x^{2}-6xy+3y^{2}-3=0
[/mm]
[mm] 3x^{2}-6xy=3y^{2}-21
[/mm]
Einsetzen: Linke Seite der zweiten Gleichung in die erste einsetzen:
[mm] 3y^{2}-21+3y^{2}-3=0
[/mm]
[mm] 3x^{2}-6xy=3y^{2}-21
[/mm]
Die erste Gleichung ist nun nur noch von y abhängig:
[mm] 6y^{2}=24
[/mm]
[mm] 3x^{2}-6xy=3y^{2}-21
[/mm]
[mm] y^{2}=\pm [/mm] 2
[mm] 3x^{2}-6xy=3y^{2}-21
[/mm]
Nun setzt man einmal y=2 in die zweite Gleichung ein und löst nach x auf:
[mm] $3x^{2}-12x=3*4-21$
[/mm]
[mm] $\gdw\ 3x^{2}-12x=3*4-21$
[/mm]
[mm] $\gdw\ x^{2}-4x=4-7$
[/mm]
[mm] $\gdw\ x^{2}-4x+3=0$
[/mm]
[mm] $\gdw\ x_{1,2}=2\pm\wurzel{4-3}=2\pm1$
[/mm]
[mm] $\gdw\ x_1=1\ \vee\ x_2=3$
[/mm]
und nun y=-2 in die zweite Gleichung und nach x auflösen:
[mm] $3x^{2}+12x=3*4-21$
[/mm]
[mm] $\gdw\ 3x^{2}-12x=3*4-21$
[/mm]
[mm] $\gdw\ x^{2}+4x=4-7$
[/mm]
[mm] $\gdw\ x^{2}+4x+3=0$
[/mm]
[mm] $\gdw\ x_{1,2}=-2\pm\wurzel{4-3}=-2\pm1$
[/mm]
[mm] $\gdw\ x_1=-3\ \vee\ x_2=-1$
[/mm]
Wie bereits bekannt, haben wir so vier Lösungspaare.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:31 Mi 04.08.2004 | | Autor: | Melanie |
Das ist ja klasse, dass ihr mir so schnell antwortet! Super, ich hab alles verstanden und werd das gleich mal nachrechnen!
Liebe Grüße,
Melanie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Mi 04.08.2004 | | Autor: | Melanie |
Klasse, ich bin jetzt in der Lage, die Funktion auf Sattelpunkte, Extrempunkte und Maxima/Minima zu untersuchen.
allerdings verstehe ich nicht, wie man auf die Punkte kommt, wo die Extrema liegen... da werden doch nicht einfach die x- und y-Werte der Punkte eingesetzt... oder?
also ich gehe folgendermaßen vor:
zweite Ableitungen bilden, zweimal nach x, zweimal nach y und eine gemischte, die sind ja immer gleich.
f'xx = 6x-6y
f'yy = 6x+6y
f'xy = -6x+6y
und die stationären stellen waren dann ja:
P1 = (3/2)
P2 = (1/2)
P3 = (-1/-2)
P4 = (-3/-2)
Extrema liegen für jeden Punkt da, wo fxxfyy > [mm] (fxy)^2
[/mm]
und zwar ein
rel. Maximum, wenn fxx < 0
rel. Minimum, wenn fxx > 0
P besitzt Sattelpunkt, falls fxxfyy < [mm] (fxy)^2
[/mm]
(was ist, wenn fxxfyy = [mm] (fxy)^2, [/mm] oder gibts das nicht?)
Aber mein Problem ist nun, die genauen Punkte, die dann die Extremstellen sind.
Z. B.
P1: fxxfyy = 6*30 > [mm] (-6)^2 [/mm] = [mm] (fxy)^2 [/mm] das ist also ein Minimum in P1
alles schön und gut, aber das Minimum in P1 mit f(3/2) = -34
ich weiss nicht, wie ich auf die -34 kommen soll...
im nächsten Punkt liegt dann ein Sattelpunkt (was ich auch so ermittelt habe) allerdings in f(1/2) = -30. Auch hier hab ich keine Ahnung, wie man auf -30 kommt.
Ich würd mich sehr freuen, wenn sich nochmal jemand finden würde, um mir das zu erklären :))
Dankeschön schonmal!
Melanie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 Mi 04.08.2004 | | Autor: | AT-Colt |
> Klasse, ich bin jetzt in der Lage, die Funktion auf
> Sattelpunkte, Extrempunkte und Maxima/Minima zu
> untersuchen.
>
> allerdings verstehe ich nicht, wie man auf die Punkte
> kommt, wo die Extrema liegen... da werden doch nicht
> einfach die x- und y-Werte der Punkte eingesetzt... oder?
Die Frage verstehe ich jetzt nicht ^^;
Ich versuche mal, es am eindimensionalen Fall klar zu machen.
Wie wurden dort Extremstellen bestimmt?
Erstmal hat man die Ableitung der Funktion gebildet, wo diese 0 war, hatte man einen Kandidaten für Extremstellen der vorliegenden Funktion.
Dann hat man die zweite Ableitung gebildet, war diese größer 0, so lag ein Minimum vor, war sie kleiner 0, lag ein Maximum vor, war sie gleich 0, konnte man zunächst keine Aussage treffen.
Das lässt sich so ziemlich genau auf den mehrdimensionalen Fall übertragen, nur, dass Du stellenweise mit Matrizen rechnen musst.
Deine erste Ableitung ist [mm] $(\bruch{\partial f}{\partial x},\bruch{\partial f}{\partial y})^{tr}$, [/mm] Deine zweite Ableitung ist eine Matrix:
[mm] $\pmat{ \bruch{\partial^2 f}{\partial x^2} & \bruch{\partial^2 f}{\partial x\partial y} \\ \bruch{\partial^2 f}{\partial y\partial x} & \bruch{\partial^2 f}{\partial y^2}}$.
[/mm]
Diese Matrix kennst Du vielleicht noch nicht, aber sie auszuwerten entspricht ziemlich genau dem, was Du weiter unten machst.
Wenn Du also Nullstellen der ersten Ableitung bestimmt hast und wie auch immer verifiziert hast, dass as Minima oder Maxima sind, hat die Funktion genau an diesen Stellen ihre Minima und Maxima.
> also ich gehe folgendermaßen vor:
>
> zweite Ableitungen bilden, zweimal nach x, zweimal nach y
> und eine gemischte, die sind ja immer gleich.
Deine Ableitungen entsprechen in ihrer Reihenfolge
[mm] $\bruch{\partial^2 f}{\partial x^2}$, $\bruch{\partial^2 f}{\partial y^2}$ [/mm] und [mm] $\bruch{\partial^2 f}{\partial x\partial y}$.
[/mm]
> f'xx = 6x-6y
>
> f'yy = 6x+6y
>
> f'xy = -6x+6y
>
> und die stationären stellen waren dann ja:
>
> P1 = (3/2)
> P2 = (1/2)
> P3 = (-1/-2)
> P4 = (-3/-2)
>
> Extrema liegen für jeden Punkt da, wo fxxfyy > [mm](fxy)^2
[/mm]
>
> und zwar ein
>
> rel. Maximum, wenn fxx < 0
> rel. Minimum, wenn fxx > 0
>
> P besitzt Sattelpunkt, falls fxxfyy < [mm](fxy)^2
[/mm]
Hier kannst Du ein kleiner/gleich einfügen, damit beantwortet sich auch Deine nächste Frage.
> (was ist, wenn fxxfyy = [mm](fxy)^2,[/mm] oder gibts das nicht?)
>
> Aber mein Problem ist nun, die genauen Punkte, die dann die
> Extremstellen sind.
Du setzt einfach die Nullstellen der ersten Ableitung, die nach Deiner Untersuchung Extrema sind, in die Ursprungsfunktion ein, dann erhälst Du gerade das, was Du suchst.
>
> Z. B.
>
> P1: fxxfyy = 6*30 > [mm](-6)^2[/mm] = [mm](fxy)^2[/mm] das ist also ein
> Minimum in P1
>
> alles schön und gut, aber das Minimum in P1 mit f(3/2) =
> -34
>
> ich weiss nicht, wie ich auf die -34 kommen soll...
Hm... Also, Du hast [mm] $f(\vektor{3\\2}$ [/mm] und die Funktionsvorschrift gegeben, es ist
$f(x,y) = [mm] x^3 [/mm] - [mm] 3x^{2}y [/mm] + [mm] 3xy^2 [/mm] + [mm] y^3 [/mm] - 3x - 21y$, dann setzt Du ein:
$f(3,2) = [mm] 3^3 [/mm] - [mm] 3*3^{2}*2 [/mm] + [mm] 3*3*2^2 [/mm] + [mm] 2^3 [/mm] - 3*3 -21*2 = -34$
Genauso machst Du dann jeweils weiter...
> Dankeschön schonmal!
Hoffe, geholfen zu haben ^^
Interessant, dass ihr sowas schon in der Schule macht, ich hatte das noch nicht...
> Melanie
greetz
AT-Colt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:35 Mi 04.08.2004 | | Autor: | Melanie |
Vielen Dank, das hat mir wirklich sehr weitergeholfen!!!
Jetzt ist ja alles klar, ich doof :))
Wie kommst du darauf, das ich das in der Schule lern?
Auch wenns peinlich ist, das mach ich ganz freiwillig und in meiner Freizeit, hab noch nicht mal mathelk oder so... :))
Tschüsschen,
Melanie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:37 Mi 04.08.2004 | | Autor: | Melanie |
... aber vielleicht muss ich die frage dann woanders stellen meinst du? wo passt die denn hin?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:41 Mi 04.08.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Also Bestimmung von Extremstellen mehrdimensionaler Funktionen hatte ich erst kürzlich im zweiten Semester Analysis an der Uni ^^;
Also machst Du das neben der Schule, oder bist Du gar nicht mehr an der Schule, eingetragen hast Du, Du wärst im 12er LK :)
greetz
AT-Colt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:00 Mi 04.08.2004 | | Autor: | Melanie |
zwölfte klasse ja, lk nein, das hab ich angegeben, weil ich dachte, dass meine fragen sowieso das normale sprengen werden, kenn mich mit lk stoff nicht aus, aber dachte, das passt da schon :)
ja, mach ich neben der schule :), wenn andere leute zum sport gehen oder so ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Mi 04.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Melanie!
> Klasse, ich bin jetzt in der Lage, die Funktion auf
> Sattelpunkte, Extrempunkte und Maxima/Minima zu
> untersuchen.
>
> allerdings verstehe ich nicht, wie man auf die Punkte
> kommt, wo die Extrema liegen... da werden doch nicht
> einfach die x- und y-Werte der Punkte eingesetzt... oder?
Doch, so ähnlich.
Die x und y Werte sind ja sozusagen die "Stellen", an denen die Extrema liegen (es heißt ja auch "stationäre Stellen").
Setzt man diese Werte in die ursprüngliche Funktion ein, so erhältst du den Wert des Extremums:
$f(x,y) = [mm] x^{3}-3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}-3x-21y$
[/mm]
Beispiel für P(3|2):
$f(3,2)=27-3*9*2+3*3*4+8-3*3-21*2=27-54+36+8-9-42=-34$
> also ich gehe folgendermaßen vor:
>
> zweite Ableitungen bilden, zweimal nach x, zweimal nach y
> und eine gemischte, die sind ja immer gleich.
>
> f'xx = 6x-6y
>
> f'yy = 6x+6y
>
> f'xy = -6x+6y
>
> und die stationären stellen waren dann ja:
>
> P1 = (3/2)
> P2 = (1/2)
> P3 = (-1/-2)
> P4 = (-3/-2)
>
> Extrema liegen für jeden Punkt da, wo fxxfyy > [mm](fxy)^2
[/mm]
>
> und zwar ein
>
> rel. Maximum, wenn fxx < 0
> rel. Minimum, wenn fxx > 0
>
> P besitzt Sattelpunkt, falls fxxfyy < [mm](fxy)^2
[/mm]
>
> (was ist, wenn fxxfyy = [mm](fxy)^2,[/mm] oder gibts das nicht?)
Dann versagt das Kriterium und man muß es zu Fuß überprüfen (ganz so wie im eindimensionalen Fall, wo die hinreichende Bedinung für Extremstellen bei $f''(x)=0$ auch unbrauchbar wird.)
> Aber mein Problem ist nun, die genauen Punkte, die dann die
> Extremstellen sind.
>
> Z. B.
>
> P1: fxxfyy = 6*30 > [mm](-6)^2[/mm] = [mm](fxy)^2[/mm] das ist also ein
> Minimum in P1
>
> alles schön und gut, aber das Minimum in P1 mit f(3/2) =
> -34
>
> ich weiss nicht, wie ich auf die -34 kommen soll...
s.o. 
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:09 Mi 04.08.2004 | | Autor: | Melanie |
Danke für deine Hilfe!
Gruß,
Melanie
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