stetige Funktion Eigenschaft < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:35 So 01.01.2012 | | Autor: | yangwar1 |
| Aufgabe | Sei f : [0; 1] [mm] \to \IR [/mm] stetig mit f(0) = f(1) = 0 und f(x) > 0 für alle x [mm] \in [/mm] (0; 1). Zeigen
Sie: Für alle a [mm] \in [/mm] (0; 1) existiert ein x [mm] \in [/mm] (0; 1- a) mit f(x) = f(x + a). |
Folgende Überlegungen habe ich schon angestellt:
Die Funktion ist stetig. Da sie stetig ist auf dem kompakten Intervall, nimmt sie ihr Maximum an. Da f(x)>0, ist das Maximum größer als Null.
Nun habe ich im Heuser noch einen Satz gefunden, der besagt, dass eine stetige Funktion mit dem Intervall [a;b] jeden Wert zwischen f(a) und f(b) annimmt.
In diesem Fall würde das bedeuten, dass die Funktion jeden Wert zwischen f(0) und f(1) annehmen würde, was aber nur die 0 ist.
Die Funktion ist beschränkt.
Auf was muss ich denn eigentlich herauskommen? Eigentlich erscheint es mir schon recht logisch, da der Graph der Funktion auch wieder vom Maximum zu f(1) "herunterwandert" und es somit eine Stelle gibt, an der die beiden Funktionswerte gleich sind.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:50 So 01.01.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
betrachte die Funktion
g(x)=f(x)-f(x+a) für [mm] x\in[0,1-a] [/mm] mit [mm] a\in(0,1)
[/mm]
Berechne g(0) und g(1-a) und wende den Zwischenwertsatz an.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 So 01.01.2012 | | Autor: | yangwar1 |
Abgesehen davon, dass ich nicht verstehe wie man darauf kommt geschweige denn wohin es führt:
Für g(0) erhält man f(0)-f(a)=-f(a). Das bedeutet, da a [mm] \in [/mm] (0,1) ist und f(x)>0 gilt, dass der Funktionswert von g(0)>0 ist.
Für g(1-a)=f(1-a)-f(1-a+a)=f(1-a)-f(1)=f(1-a)+0=f(1-a). Da a [mm] \in [/mm] (0,1), bleibt das Urbild von f zwischen 0 und 1.
Das bedeutet also, dass die Funktion nach ZWS eine Nullstelle hat.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:31 So 01.01.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Abgesehen davon, dass ich nicht verstehe wie man darauf
> kommt geschweige denn wohin es führt:
>
> Für g(0) erhält man f(0)-f(a)=-f(a). Das bedeutet, da a
> [mm]\in[/mm] (0,1) ist und f(x)>0 gilt, dass der Funktionswert von
> g(0)>0 ist.
Hier ist g(0)<0
> Für g(1-a)=f(1-a)-f(1-a+a)=f(1-a)-f(1)=f(1-a)+0=f(1-a). Da
> a [mm]\in[/mm] (0,1), bleibt das Urbild von f zwischen 0 und 1.
Also ist g(1-a)>0
> Das bedeutet also, dass die Funktion nach ZWS eine
> Nullstelle hat.
Genau, also gibt es einen Wert [mm] \xi\in[0,1-a] [/mm] mit [mm] g(\xi)=0
[/mm]
D.h. [mm] f(\xi)=f(\xi+a)
[/mm]
|
|
|
|
