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Forum "Uni-Stochastik" - stetige Funktion von RVs
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stetige Funktion von RVs: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:36 Sa 12.10.2019
Autor: Jellal

Guten Abend,


ich habe Probleme, zu sehen, dass eine stetige Funktion von  Zufallsvariablen wieder eine Zufallsvariable ist.

Definition:
Gegeben sei ein Wkeitsraum [mm] (\Omega,F,P). [/mm] Eine (reellwertige) Zufallsvariable ist eine messbare Funktion X: [mm] (\Omega,F) [/mm] -> [mm] (\IR, [/mm] B).
B ist hier die [mm] Borel-\sigma-Algebra. [/mm]

Was ich benutzen darf:
1) Eine messbare Funktion von messbaren Funktionen ist wieder messbar.
2) Eine stetige Funktion von [mm] (\IR^d, [/mm] B) nach [mm] (\IR, [/mm] B) ist messbar.


Mein Ansatz:
Zuerst muss eine RV ja von einem messbaren Raum nach [mm] (\IR, [/mm] B) gehen.

Angenommen, ich betrachte eine Funktion, die d Inputargumente annimmt (also d RVs).
Die RVs bilden nach Definition in den [mm] (\IR, [/mm] B) ab.
Also ist der Definitionsraum meiner Funktion ein messbarer Raum, [mm] (\IR^d, B^d). [/mm] [muss man das hoch d über das B setzen??]

Meine Funktion bildet das nun nach [mm] (\IR, [/mm] B) ab.
Was passiert nun aber, wenn die urpsrünglichen RVs diskrete  Werte haben? Kann man dann sagen, dass meine Funktion in einen Raum mit der B-Algebra abbildet, bzw. macht das überhaupt Sinn?

Angenommen, die RVs bilden jeweils in reelle Intervalle ab, sind also nicht diskret.

Dann habe ich eine stetige Funktion von [mm] (\IR^d, [/mm] B) nach [mm] (\IR, [/mm] B) und die ist messbar nach 2) An welcher Stelle benötige ich jetzt, dass messbare Funktionen von messbaren Funktionen messbar sind? Das wird im Skript so impliziert...


Etwas verwirrte Grüße

Jellal

        
Bezug
stetige Funktion von RVs: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:17 So 13.10.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Mein Ansatz:
>  Zuerst muss eine RV ja von einem messbaren Raum nach [mm](\IR, B)[/mm] gehen.

Ok, nennen wir sie aber mal ZV ;-)

> Angenommen, ich betrachte eine Funktion, die d Inputargumente annimmt (also d RVs).

Ok.

>  Die RVs bilden nach Definition in den [mm](\IR, B)[/mm] ab.

>  Also ist der Definitionsraum meiner Funktion ein messbarer Raum, [mm](\IR^d, B^d).[/mm] [muss man das hoch d über das B setzen??]

Ja, und Ja.

Mal aufgeschrieben: Du hast also [mm] $X_1,\ldots,X_d$ [/mm] ZV und willst nun eine Funktion [mm] $f(X_1,\ldots,X_d)$ [/mm] betrachten.

Die Frage ist: Ist [mm] $f(X_1,\ldots,X_d)$ [/mm] meßbar?
Da [mm] $X_i \to \IR$ [/mm] für jedes i, ist der Definitionsbereich von f also [mm] $\IR^d$. [/mm]
Da wählt man sich als messbaren Raum natürlicherweise [mm] $(\IR^d, B^d)$. [/mm]

> Meine Funktion bildet das nun nach [mm](\IR,[/mm] B) ab.

[ok]

>  Was passiert nun aber, wenn die urpsrünglichen RVs diskrete  Werte haben?

Das ändert doch nichts an obigen Aussagen und Annahmen.
Auch eine diskrete ZV ist insbesondere reellwertig!
Oben sagen wir nichts darüber aus, ob die ZV stetig sein sollen, oder nicht. Das ist auch Wurscht. Einzig die Reellwertigkeit ist vorausgesetzt.

> Kann man dann sagen, dass meine Funktion in einen Raum mit der B-Algebra abbildet, bzw. macht das überhaupt Sinn?

Die Funktion selbst bildet erstmal "nur" in den Raum der rellen Zahlen ab.
Die zugehörige Sigma-Algebra wählst du dir selbst.

> Angenommen, die RVs bilden jeweils in reelle Intervalle ab, sind also nicht diskret.
>  
> Dann habe ich eine stetige Funktion von [mm](\IR^d,[/mm] B) nach
> [mm](\IR,[/mm] B) und die ist messbar nach 2) An welcher Stelle
> benötige ich jetzt, dass messbare Funktionen von messbaren  
> Funktionen messbar sind? Das wird im Skript so
> impliziert...

Wie begründest du denn, dass [mm] $f(X_1,\ldots,X_d)$ [/mm] meßbar ist?
Mit obigem Satz, du weißt:
1.) [mm] X_i [/mm] meßbar
2.) f meßbar

Mit dem Satz folgt dann: [mm] $f(X_1,\ldots,X_n)$ [/mm] meßbar.

Viel schöner wäre es aber, wenn du das selbst beweisen würdest… das ist nämlich gar nicht so schwer, wenn man das über die Definition der Meßbarkeit direkt zeigt… und: Dein Skript ist auch ein bisschen schlampig, denn man sollte sich zumindest auch überlegen, warum für [mm] $X_1,\ldots,X_d$ [/mm] ZV auch der Zufallsvektor [mm] $X=(X_1,\ldots,X_d)$ [/mm] eine Zufallsvariable ist.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
stetige Funktion von RVs: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:41 So 13.10.2019
Autor: Jellal

Hallo Gono,

vielen Dank für deine Antwort!


> Hiho,
>  
> > Mein Ansatz:
>  >  Zuerst muss eine RV ja von einem messbaren Raum nach
> [mm](\IR, B)[/mm] gehen.
>  Ok, nennen wir sie aber mal ZV ;-)
>  
> > Angenommen, ich betrachte eine Funktion, die d
> Inputargumente annimmt (also d RVs).
>  Ok.
>  
> >  Die RVs bilden nach Definition in den [mm](\IR, B)[/mm] ab.

>  
> >  Also ist der Definitionsraum meiner Funktion ein messbarer

> Raum, [mm](\IR^d, B^d).[/mm] [muss man das hoch d über das B
> setzen??]
>  Ja, und Ja.
>  
> Mal aufgeschrieben: Du hast also [mm]X_1,\ldots,X_d[/mm] ZV und
> willst nun eine Funktion [mm]f(X_1,\ldots,X_d)[/mm] betrachten.
>  
> Die Frage ist: Ist [mm]f(X_1,\ldots,X_d)[/mm] meßbar?
>  Da [mm]X_i \to \IR[/mm] für jedes i, ist der Definitionsbereich
> von f also [mm]\IR^d[/mm].
>  Da wählt man sich als messbaren Raum natürlicherweise
> [mm](\IR^d, B^d)[/mm].
>  
> > Meine Funktion bildet das nun nach [mm](\IR,[/mm] B) ab.
>  [ok]
>  
> >  Was passiert nun aber, wenn die urpsrünglichen RVs

> diskrete  Werte haben?
> Das ändert doch nichts an obigen Aussagen und Annahmen.
> Auch eine diskrete ZV ist insbesondere reellwertig!
>  Oben sagen wir nichts darüber aus, ob die ZV stetig sein
> sollen, oder nicht. Das ist auch Wurscht. Einzig die
> Reellwertigkeit ist vorausgesetzt.

Stimmt, das macht Sinn!

> > Kann man dann sagen, dass meine Funktion in einen Raum mit
> der B-Algebra abbildet, bzw. macht das überhaupt Sinn?
>  Die Funktion selbst bildet erstmal "nur" in den Raum der
> rellen Zahlen ab.
>  Die zugehörige Sigma-Algebra wählst du dir selbst.

Alles klar!

> > Angenommen, die RVs bilden jeweils in reelle Intervalle ab,
> sind also nicht diskret.
>  >  
> > Dann habe ich eine stetige Funktion von [mm](\IR^d,[/mm] B) nach
> > [mm](\IR,[/mm] B) und die ist messbar nach 2) An welcher Stelle
> > benötige ich jetzt, dass messbare Funktionen von messbaren
>  
> > Funktionen messbar sind? Das wird im Skript so
> > impliziert...
>  
> Wie begründest du denn, dass [mm]f(X_1,\ldots,X_d)[/mm] meßbar
> ist?
>  Mit obigem Satz, du weißt:
>  1.) [mm]X_i[/mm] meßbar
>  2.) f meßbar
>  
> Mit dem Satz folgt dann: [mm]f(X_1,\ldots,X_n)[/mm] meßbar.

Das ist mir nicht ganz klar. Wozu brauche ich Teil 1)?
Meine Funktion bildet von [mm] (\IR^d, [/mm] B) nach [mm] (\IR,B) [/mm] ab. Damit ist sie messbar nach 2). Natürlich benutzte ich vorher die Aussage, dass die [mm] X_{i} [/mm] per ZV-Definition nach [mm] (\IR,B) [/mm] abbilden. Aber dass eine "messbare Funktion von messbaren Funktionen wieder messbar" ist, das brauche ich explizit doch nicht wirklich, oder?
Könnte eine Ungenauigkeit im Skript sein?
Da kommt 2) nämlich aus einem vorherigen Beispiel.
Und dann stand irgendwann: "Mit 2) und auch mit der Tatsache, dass eine messbare Funktion von messbaren Funktionen wieder messbar ist, folgt dann, dass eine stetige Funktion von ZVs wieder eine ZV ist".


> Viel schöner wäre es aber, wenn du das selbst beweisen
> würdest… das ist nämlich gar nicht so schwer, wenn man
> das über die Definition der Meßbarkeit direkt zeigt…
> und: Dein Skript ist auch ein bisschen schlampig, denn man
> sollte sich zumindest auch überlegen, warum für
> [mm]X_1,\ldots,X_d[/mm] ZV auch der Zufallsvektor [mm]X=(X_1,\ldots,X_d)[/mm]
> eine Zufallsvariable ist.
>  

Per unserer Definition oben bildet aber die ZV immer in den [mm] (\IR, [/mm] B) ab. D.h. zumindest im Rahmen dieser Definition ist der Vektor [mm] (X_{i}) [/mm] keine ZV. Da ist die Definition wohl etwas zu kurz gegriffen? [edit: Ok, in der Def. ging es ja nur um "reellwertige" ZVs, eine allgemeinere Def. hatten wir noch nicht.]




vG.

Jellal

Bezug
                        
Bezug
stetige Funktion von RVs: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:40 So 13.10.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  >  Mit obigem Satz, du weißt:
>  >  1.) [mm]X_i[/mm] meßbar
>  >  2.) f meßbar
>  >  
> > Mit dem Satz folgt dann: [mm]f(X_1,\ldots,X_n)[/mm] meßbar.
>  
> Das ist mir nicht ganz klar. Wozu brauche ich Teil 1)?

Das zeige ich dir gleich :-)

>  Meine Funktion bildet von [mm](\IR^d,[/mm] B) nach [mm](\IR,B)[/mm] ab.
> Damit ist sie messbar nach 2).

Korrekt.

> Natürlich benutzte ich
> vorher die Aussage, dass die [mm]X_{i}[/mm] per ZV-Definition nach
> [mm](\IR,B)[/mm] abbilden. Aber dass eine "messbare Funktion von
> messbaren Funktionen wieder messbar" ist, das brauche ich
> explizit doch nicht wirklich, oder?

Aufpassen!
Du willst nicht zeigen, dass $f$ meßbar ist, sondern dass $g := [mm] f(X_1,\ldots,X_d)$ [/mm] meßbar ist!
Dafür ist die Meßbarkeit der [mm] X_i [/mm] zwingend notwendig!

Überlegen wir uns dafür ein wirklich triviales Beispiel:
Sei $f(x) = x$ die Identität. Diese ist meßbar.
Nehmen wir nun eine nicht-meßbare Abbildung M und betrachten $f(M)$.
Ist $f(M)$ meßbar?  Nein, denn $f(M) = M$.

Merke: Ohne die Meßbarkeitseigenschaft der [mm] $X_i$ [/mm] können wir keine Aussage über die Meßbarkeit von [mm] $f(X_1,\ldots,X_d)$ [/mm] machen.

> Per unserer Definition oben bildet aber die ZV immer in den
> [mm](\IR,[/mm] B) ab. D.h. zumindest im Rahmen dieser Definition ist
> der Vektor [mm](X_{i})[/mm] keine ZV. Da ist die Definition wohl
> etwas zu kurz gegriffen? [edit: Ok, in der Def. ging es ja
> nur um "reellwertige" ZVs, eine allgemeinere Def. hatten
> wir noch nicht.]

Ok.

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
stetige Funktion von RVs: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:28 So 13.10.2019
Autor: Jellal


> > Natürlich benutzte ich
> > vorher die Aussage, dass die [mm]X_{i}[/mm] per ZV-Definition nach
> > [mm](\IR,B)[/mm] abbilden. Aber dass eine "messbare Funktion von
> > messbaren Funktionen wieder messbar" ist, das brauche ich
> > explizit doch nicht wirklich, oder?
>  Aufpassen!
>  Du willst nicht zeigen, dass [mm]f[/mm] meßbar ist, sondern dass [mm]g := f(X_1,\ldots,X_d)[/mm]
> meßbar ist!
>  Dafür ist die Meßbarkeit der [mm]X_i[/mm] zwingend notwendig!
>  
> Überlegen wir uns dafür ein wirklich triviales Beispiel:
>  Sei [mm]f(x) = x[/mm] die Identität. Diese ist meßbar.
>  Nehmen wir nun eine nicht-meßbare Abbildung M und
> betrachten [mm]f(M)[/mm].
>  Ist [mm]f(M)[/mm] meßbar?  Nein, denn [mm]f(M) = M[/mm].
>  
> Merke: Ohne die Meßbarkeitseigenschaft der [mm]X_i[/mm] können wir
> keine Aussage über die Meßbarkeit von [mm]f(X_1,\ldots,X_d)[/mm]
> machen.

Ahh, ich glaube, ich habe ausser Acht gelassen, dass die Messbarkeit nicht nur eine Eigenschaft der Funktionsvorschrift ist, sondern auch der Definitions- und Bildmenge.
Wenn f: A->B messbar ist (bzgl. der [mm] \sigma [/mm] Algebren auf A und B) und g: B->C messbar ist (bzgl. der [mm] \sigma [/mm] Algebren auf B und C), dann will ich zeigen, dass g(f): A->C messbar ist bzgl. der [mm] \sigma [/mm] Algebra auf C und A.

Mit Satz zwei:
2) Eine stetige Funktion von [mm] (\IR^d,B^d) [/mm] nach [mm] (\IR, [/mm] B) ist messbar.
zeige ich aber nur die Messbarkeit von g bzgl. C und B.

Damit g(f) messbar ist bzgl. C und A brauche ich noch das Wissen, dass f: A->B messbar ist und eben Satz eins:
1) Eine messbare Funktion von messbaren Funktionen ist wieder messbar.
Und das letzte "messbar" in diesem Satz meint dann bzgl. C und A (waehrend das erste "messbar" bzgl. B und C meint und aus Satz 2 kommt, und das zweite "messbar" bzgl. A und B meint und daher kommt, dass die [mm] X_{i}, [/mm] in meinem Bsp. f, eben ZVs sind).

So richtig?


Bezug
                                        
Bezug
stetige Funktion von RVs: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:25 Mo 14.10.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

  

> Ahh, ich glaube, ich habe ausser Acht gelassen, dass die
> Messbarkeit nicht nur eine Eigenschaft der
> Funktionsvorschrift ist, sondern auch der Definitions- und
> Bildmenge.

Genauer: Der [mm] $\sigma$-Algebren [/mm] darauf.

> Wenn f: A->B messbar ist (bzgl. der [mm]\sigma[/mm] Algebren auf A
> und B) und g: B->C messbar ist (bzgl. der [mm]\sigma[/mm] Algebren
> auf B und C), dann will ich zeigen, dass g(f): A->C messbar
> ist bzgl. der [mm]\sigma[/mm] Algebra auf C und A.

[ok]


> Mit Satz zwei:
>  2) Eine stetige Funktion von [mm](\IR^d,B^d)[/mm] nach [mm](\IR,[/mm] B) ist
> messbar.
>  zeige ich aber nur die Messbarkeit von g bzgl. C und B.
>  
> Damit g(f) messbar ist bzgl. C und A brauche ich noch das
> Wissen, dass f: A->B messbar ist und eben Satz eins:
>  1) Eine messbare Funktion von messbaren Funktionen ist
> wieder messbar.

[ok]

>  Und das letzte "messbar" in diesem Satz meint dann bzgl. C
> und A (waehrend das erste "messbar" bzgl. B und C meint und
> aus Satz 2 kommt, und das zweite "messbar" bzgl. A und B
> meint und daher kommt, dass die [mm]X_{i},[/mm] in meinem Bsp. f,
> eben ZVs sind).
>  
> So richtig?

[ok]

Gruß,
Gono

Bezug
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