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| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] eine stetige Funktion, für die f(x+y) = f(x) + f(y) für alle x,y [mm] \in \IR [/mm] gelte. Zeige, dass dann eine Konstante c [mm] \in \IR [/mm] exsistiert, so dass f(x)=cx für alle x [mm] \in \IR [/mm] gilt.
Hinweis: Überlege zunächst, wie f(x) für x [mm] \in \IN [/mm] und x [mm] \in \IQ [/mm] aussieht |
Meine Idee ist folgende:
1. ich zeige, dass f(nx) = n*f(x) für alle n [mm] \in \IN [/mm] und x [mm] \in \IR [/mm] gilt.
2. dann zeige ich das f(rx)=r*f(x) für alle r [mm] \in \IQ [/mm] und x [mm] \in \IR [/mm] gilt.
3. dann gilt f(r)=r*(f1) also f(r)=r*c
4. da [mm] \IQ [/mm] dicht in [mm] \IR [/mm] liegt und die funktion stetig ist, kann man dann folgern, dass dies auch für r [mm] \in \IR [/mm] gilt.
erstmal: ist die idee so richtig?? sollte aber glaube ich der fall sein.....
dann zu meinem problem: schritt 1 habe ich durch vollständige induktion bewiesen. leider weiß ich nicht, wie ich schritt 2 beweisen soll. hab es erst auch mit induktion versucht, bin da aber nicht weitergekommen. kann mir jemand helfen???
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