stetige kum. Verteilungsfkt. < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:38 Sa 21.11.2009 | | Autor: | Irmchen |
Guten Morgen alle zusammen!
Als erstes vorab: Diese Frage bezieht sich auf einen Sachverhalt in meiner Diplomarbeit.
Ich habe einen Zufallsvektor X in [mm] \mathbb R^4 [/mm] mit einer Verteilung P (eindim. Ranverteilungen von P haben stetige Verteilungsfunktionen ).
Ebenfalls habe ich eine Funktion [mm] f: \mathbb R^4 \to \mathbb R [/mm] , definiert durch [mm] f(x) = x_i [/mm] ( [mm] x_i [/mm] sei fest ) und die [mm] x_1 \le ... \le x_4 [/mm] geordnet.
Mich interesiert nun die VF von f(X) und ich möchte sehen, dass diese stetig ist....
Die VF ist doch dann allgemein gesehen [mm] F_{f(X)} (x) = P ( f(X) \le x ) [/mm].
Nun habe ich den Ansatz hier , dass man [mm] P \{ f(X) = x \} [/mm] betrachtet...Ist das , weil uns das folgende Ereignis
[mm] P \{ f(X) = x \} = P ( X_1 = x \cup ... \cup X_4 = x \} [/mm]
interessiert?
Wenn das so ist, dann müsste doch als nächstes folgen ,dass
[mm] P \{ f(X) = x \} = P \{ X_1 = x \cup ... \cup X_4 = x \} \le \summe_{=1}^4 P ( X_i = x ) [/mm]
Richtig?
Jetzt steht laut Literatur, dass das alles Null ergibt und die Begründung sind diese Randverteilungen mit den stetigen Verteilungsfunktionen..
Denn da wir aus den Voraussetzungen bereits wissen, dass die eindim. Ranverteilungen von P haben stetige Verteilungsfunktionen und das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeiten Null sind, ergibt sich somit für die Summe ebenfalls Null.
Wenn dies klar ist, dann ist doch gezeigt, dass die kumulative Verteilungsfunktion stetig ist, weil das, wie bereits erwähnt doch der Eigenschaft entspricht, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Ereignis eintritt Null ist.
Sehe ich das allen so einigermaßern richtig? ?
Vielen Dank im Voraus!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:32 Sa 21.11.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin irmchen,
wenn ich dich recht verstehehe geht es dir um die Verteilung des $i_$-t groessten Wert eines Zufallsvektors [mm] $(X_1,X_2,X_3,X_4)$. [/mm] Das ist anscheinend haarig. ![[]](/images/popup.gif) Hier wird der Fall abgehandelt, dass die Variablen *unabhaengig* sind, was du in deiner Aufgabe aber nicht erwaehnst ...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Sa 21.11.2009 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Vielen Dank als erstes! Ich werde mir den Literaturtipp durchlesen!
Also, von Unabhängigkeit steht LEIDER nichts :-(.. Ich würde fast ausschließen, dass es um unabhängige ZV handelt, denn würde dann nicht anstelle von [mm] \le [/mm] ein [mm] = [/mm] stehen???
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:57 So 22.11.2009 | | Autor: | luis52 |
Also die Verteilung des Maximums [mm] $Y_4$ [/mm] kriegt man schnell heraus (habe mal die Notation geaendert):
[mm] $P(Y_4\le x)=P(X_1\le x,X_2\le x,X_3\le x,X_3\le [/mm] x)=F(x,x,x,x)$
Ferner ist [mm] $Y_1=\min\{X_1,X_2,X_3,X_4\}=-\max\{-X_1,-X_2,-X_3,-X_4\}$. [/mm] Vielleicht hilft das etwas ...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 So 22.11.2009 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend!
Ich verstehe gerade nicht den Zusammenhang mit der Randverteilung...
Die Definition, die ich gerade bereit habe ist:
Für n Zufallsvariablen [mm] X_1, ... , X_n [/mm] mit gemeinsamer Verteilungsfunktion [mm] F(x_1, ..., x_n ) [/mm] nennt man für jedes [mm] k \in \{ 1, ... , n \} [/mm] die Funktion [mm] F_k(x) = F ( c_1, ... , c_n ) [/mm] mit [mm] c_k = x [/mm] und [mm] c_{l \ne k } = \infty [/mm] eine ( eindimensionale ) Randverteilung von [mm] f ( x_1, ..., x_n ) [/mm].
So, die ZV, die mich interessieren sind bei mir die f(X) , wobei [mm] f(x) = x_i [/mm] mit [mm] x_1, ... , x_4 [/mm] der Größe nach geordnet.
Das bedeutet, dass z.B. wenn [mm] f(x) = x_4 [/mm] mich die Verteilung der größstn Wertes interessiert.
So, hier ist jetzt [mm] f(x) := Y [/mm]
> Also die Verteilung des Maximums [mm]Y_4[/mm] kriegt man schnell
> heraus (habe mal die Notation geaendert):
>
> [mm]P(Y_4\le x)=P(X_1\le x,X_2\le x,X_3\le x,X_3\le x)=F(x,x,x,x)[/mm]
Ist hier nicht ein [mm] X_3 [/mm] zu viel ?
Warum steht in [mm] F(x,x,x,x )[/mm] überall das x und wo ist das die Randverteilung? Muss nicht nach der Definition 3 Einträge [mm] \infty [/mm] sein?
Ich interessire mich ja für [mm] P \{ f(X) = x \} [/mm] und nicht für [mm] \le [/mm]. Was mach ich da andres???
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:49 So 22.11.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
>So, die ZV, die mich interessieren sind bei mir die f(X) , wobei $ f(x) = [mm] x_i [/mm] $ mit $ [mm] x_1, [/mm] ... , [mm] x_4 [/mm] $ der Größe nach geordnet.
Entschuldige, wenn ich etwas begriffsstutzig bin. Anscheinend betrachtest du 4 Funktionen: [mm] $f_i(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_i$. [/mm] Aber was ist mit mit $ [mm] x_1, [/mm] ... , [mm] x_4 [/mm] $ der Größe nach geordnet. gemeint? Was bitte ist beipielsweise [mm] $f_3(4,7,1,2)$? [/mm] Ist das 1 oder ist es 4?
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:59 So 22.11.2009 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Also, hier ist die Zeilen aus dem Originalskript... ich sollte mir das für den [mm] \mathbb R^4 [/mm] anschauen ( also s = 4 ) da das wohl einfacher wäre....
"....
Let X be a random vector on [mm] \mathbb R^s [/mm] with distribution P. Define [mm] f: \mathbb R^s \to \mathbb R [/mm] by the rule [mm] f(x) = x_{(i)} [/mm] for some fixed [mm] 1 \le i \le s [/mm], where
[mm] x_{(1)} \le ... \le x_{(s)} [/mm].
Suppose that (i) the one-dimesional marginal distributions of P have continuous c.d.f.s and (ii) supp(X) is connected.
Then , f(X) has a continuous and strictly increasing c.d.f. ..... "
Vielleicht habe ich ja einen kompletten Denkfehler...
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:13 So 22.11.2009 | | Autor: | luis52 |
> Guten Abend!
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> Ich verstehe gerade nicht den Zusammenhang mit der
> Randverteilung...
Mit der Randverteilung hat deine Frage erst einmal nichts zu tun.
>
> Die Definition, die ich gerade bereit habe ist:
>
> Für n Zufallsvariablen [mm]X_1, ... , X_n[/mm] mit gemeinsamer
> Verteilungsfunktion [mm]F(x_1, ..., x_n )[/mm] nennt man für jedes
> [mm]k \in \{ 1, ... , n \}[/mm] die Funktion [mm]F_k(x) = F ( c_1, ... , c_n )[/mm]
> mit [mm]c_k = x[/mm] und [mm]c_{l \ne k } = \infty [/mm] eine (
> eindimensionale ) Randverteilung von [mm]f ( x_1, ..., x_n ) [/mm].
>
> So, die ZV, die mich interessieren sind bei mir die f(X) ,
> wobei [mm]f(x) = x_i[/mm] mit [mm]x_1, ... , x_4[/mm] der Größe nach
> geordnet.
> Das bedeutet, dass z.B. wenn [mm]f(x) = x_4[/mm] mich die
> Verteilung der größstn Wertes interessiert.
Also nach deiner neuen Information muss hier wohl stehen [mm]f(x) = x_{(4)}[/mm], also der viertgroesste Wert von [mm]x_1, ... , x_4[/mm]
>
> So, hier ist jetzt [mm]f(x) := Y[/mm]
>
> > Also die Verteilung des Maximums [mm]Y_4[/mm] kriegt man schnell
> > heraus (habe mal die Notation geaendert):
> >
> > [mm]P(Y_4\le x)=P(X_1\le x,X_2\le x,X_3\le x,X_3\le x)=F(x,x,x,x)[/mm]
>
> Ist hier nicht ein [mm]X_3[/mm] zu viel ?
> Warum steht in [mm]F(x,x,x,x )[/mm] überall das x und wo ist das
> [red]die Randverteilung?
[mm] $X_{(4)}$ [/mm] ist eine Funktion von [mm]X_1, ... , X_4[/mm], naemlich [mm] $X_{(4)}=\max\{X_1, ... , X_4\}$. [/mm] Die Randverteiliungsverteilungsfunktion kannst von [mm] $X_4$ [/mm] bilden. Sie ist gegeben durch [mm] $F(\infty,\infty,\infty,x)$. [/mm] Hiervon zu unterscheiden ist die von [mm] $X_{(4)}$, [/mm] und die ist oben angegeben.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 So 22.11.2009 | | Autor: | Irmchen |
Hallo nochmal!
Es tut mir wirklich leid, dass ich sooo schwer vom Begriff bin...!
Wenn ich nochmal zusammenfassen dürfte:
X ist ein Zufallsvektor der Dimension s mit einer unbekannten Verteilung P.
[mm] f: \mathbb R^s \to \mathbb R [/mm] ist durch [mm] f(x) = x_{(k)} [/mm] für ein festes [mm] 1 \le k \le s [/mm] gegeben , wobei
[mm] x_{(1)} \le ... \le x_{(s)} [/mm] gilt.
Also bezeichnet [mm] f(x) = x_{(k)} [/mm] den k-ten größten Wert von
[mm] x_{(1)} \le ... \le x_{(s)} [/mm] .
Desweiteren weiß ich, dass die 1- dim. Randverteilungen von P stetige (kum.) Verteilungsfunktionen haben ( also z.B. ist diese von
[mm] X_{(4)} = \max\{X_1, ..., X_4 \} [/mm] gegeben durch [mm] F( \infty, \infty, \infty, x ) [/mm]. )
Richtig verstanden bis jetzt ?
Nun interessiert mich das f(X) und genau genommen, dessen Verteilungsfunktion.
Was ist jetzt ganau das f(X) ? Das habe ich leider noch nicht wirkliich begriffen...
Ist das die Menge der [mm] X_({k)] = x [/mm] für alle[mm] 1 \le k \le s [/mm] ?
In den Beweis für die Stetigkeit betrachtet man den Ausdruck
[mm] P \{ f(X) = x \} \le \summe´P \{ X_i = x \} [/mm].
Und ich habe Schwierigkeiten nachzuvollziehen, was genau
[mm] P \{ f(X) = x \} [/mm] darstellt...
Es tut mir echt leid wegen diesen blöden Fragen meinerseits nochmal!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 So 22.11.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
sieh dir bitte mal das hier an.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:10 Mo 23.11.2009 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Ich werde mir das heute Abend anschauen.... Bin heute leider arbeiten.
Viele Grüße
Irmchen
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:33 Do 26.11.2009 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend !
Hier habe ich viel "Unsinn" geschrieben und Chaos verursacht... Deswegen am Besten die Frage ignorieren.... Ich weiß leider nciht, wie ich diese löschen kann...
Als erstes tut es mir leid, dass es so lange nun gedauert hat bis ich geantwortet habe...ich war leider etwas krank....
Ich habe mir den Tip angeschaut, und mir den Sachverhalt unter dem Aspekt der gemeinsamen Verteilung angeschaut und versucht nachzuvollziehen...
Also, wenn ich die gemeinsame Verteilungsfunktion der s diskreten Zufallsvariablen [mm] X_1, ... , X_s [/mm] betrachte, dann ist doch
[mm] F_{f(X)} (x) = P ( f(X) \le x ) = P ( \{ X_{(1)} \le x, ... , X_{(s)} \le x ) [/mm]
Dann weiß man desweiteren, dass dies gleich der Summer der Randwahrscheinlichkeiten ist, also
[mm] F_{f(X)} (x) = P ( f(X) \le x ) = P ( \{ X_{(1)} \le x, ... , X_{(s)} \le x ) = \summe_{i=1}^s P ( \{ X(i) = x \} )[/mm]
Bin ich jetzt auf dem richtigen Weg, oder bin ich schon wieder total verkehrt ? Tut mir sehr leid für diese doofen Fragen, aber dies fällt mir irgendwie unheimlich schwer zu verstehen...
Vielen Dank schon mal!
Viele Grüße
Irmchen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:42 Fr 27.11.2009 | | Autor: | luis52 |
Hallo Irmchen,
das wird mir jetzt zu anstrengend. Eingangs war von
stetig verteilten ZVen die Rede, jetzt von diskreten.
Bitte bringe fuer dich erst einmal etwas Ordnung
hinein.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:14 Fr 27.11.2009 | | Autor: | Irmchen |
Hallo Luis!
Entschuldige bitte für das komplette Chaos!!! Ich versuche heute Abend Ordnung in die Sache zu bringen... Ich bin einfach nur ziemlich durcheinander gerade und schreibe irgendwie viel Mist! Sorry nochmal!
Ich werde heute Abend ein Schritt nach dem anderen posten, um somit konkret herauszufinden, wo ich jetzt genau den riesen Knoten im Kopf habe....
Viele Grüße
Irmchen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:46 Fr 27.11.2009 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend!
Als erstes noch einmal "Entschuldigung" für das Chaos!
Ich habe mir die vergangenen Stunden Gedanken gemacht und versuche nun mal Ordung in das von mir verursachte Chaos zu bringen.
Ich wäre sehr dankbar, wenn ich erfahren könnte, ob das so bis jetzt stimmt...
Gegeben ist ein Zufallsvektor X auf [mm] \mathbb R^s [/mm], also
[mm] X = ( X_1, ... , X_s ) [/mm] , bestehend aus s Zufallsvariablen [mm] X_i [/mm] für [mm] i = 1, ... ,s [/mm].
Desweiteren sei [mm] f: \mathbb R^s \to \mathbb R [/mm] definiert durch
[mm] f \begin{pmatrix} x_1 \\ . \\ . \\ x_s \end{pmatrix} = x_{(k)} [/mm].
Meine Chaos bzgl. stetiger / diskreter ZV würde ich folgendermaßen in Ordnung bringen:
Da die [mm] X_i [/mm] reellen Zahlen annehmen können, und somit mehr als nur endlich oder abzählbar unendlich viele, sind diese nicht diskret, sondern stetig.
f(X) ist ebenfalls stetig und zwar, weil diese eine stetige Verteilungsfunktion besitzt.
Nun sollte ich mir den Tipp anschauen mit der gemeinsamen Verteilung.
Wenn ich nun so einen Zufallsvektor X habe, dann sieht allgemein die gemeinsame (kumulative) Verteilungsfunktion der Zufallsvektors X folgendermaßen aus:
[mm] F_{X_1, ... , X_s } ( x_1, ... , x_s ) = P ( X_1 \le x_1 , ... , X_s \le x_s ) [/mm] für reelle [mm] x_s [/mm]
Hier speziell interessiert mich aber die Zufallsvariable f(X) ... genau genommen die (kumulative) Verteilungsfunktion von f(X).
f(X) kann s verschiedene Realisierungen annehmen, sprich
[mm] f(x) = x_{(k)} [/mm] für [mm] k = 1, .... , s [/mm] mit [mm] x_{(1)} \le ... \le x_{(s)} [/mm]
Also:
[mm] F_{f(X)} (x) = P ( f(X) \le x ) [/mm].
Nun kommt der Punkt, wo ich wieder unsicher werde...
Was ist nun [mm] P ( f(X) \le x ) [/mm].?
Es kommt ja drauf an, welche Realisierung das [mm] f(X) [/mm] in einzelnen annimmt, oder?
Ich hoffe, dass ich jetzt einigermaßen soweit Ordnung habe und nicht so viel Unsinn geschieben habe...
Vielen Dank schon mal für die große Mühe und Geduld!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:36 Sa 28.11.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin Irmchen,
geh mal in eure Uni-Bibliothek und konsultiere David
bzw. Arnold, B.C., Balakrishanan, N. and Nagaraja, H.N. (1992): A First Course in Order Statistics, John Wiley.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:54 Sa 28.11.2009 | | Autor: | Irmchen |
Hallo Luis!
Ich werde versuchen mir heute noch das Buch zu besorgen...
Ich dachte schon, dass meine Frage bzgl. [mm] P( f(X) \le x ) [/mm] mit georneten Zufallsvariablen zu tun hat...
Leider haben wir nicht sooooo viel damit zu tun gehabt, nur mal kurz in Zusammenhang mit der nichtparametrischen Testtheorie :-(.
Aber ich versuche mein Bestes! Melde mich spätestens Morgen wieder.
Danke nochmal!
Viele Grüße
Irmchen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 So 29.11.2009 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend!
Ich habe mir das Besuch aus der UB besorgt und bin, denke ich schon in dem ersten Kapitel fündig geworden ....
Auf der Seite 12 habe ich folgendes entdeckt:
( 2.2.13) " .... [mm] F_{i:n} (x) = P ( X_{i:n} \le x ) [/mm]
[mm] = P ( at \ least \ i \ of \ X_1, X_2, ... \ X_n \ are \ at \ most \ x ) [/mm]
[mm] = \summe_{r=i}^n P ( \ exactly \ r \ of \ X_1, X_2, ... , X_n \ are \ at \ most \ x ) [/mm]
.... "
Wemm ich jetzt einfach annehme, dass mein letzter Beitrag zu dieser Frage einigermaßen richtig war, dann müsste ich (2.2.13) aus dem Buch auf meine Frage anwenden können...
Und zwar:
[mm] F_{f(X)} (x) = F_{i:s} (x) = P ( X_{i:s} \le x ) = P ( \ mindestens \ i \ von \ den \ X_1, .... , X_s \ sind \ hoechstens \ x ) [/mm]
[mm] = \summe_{r=i}^s P ( genau \ r \ von \ den \ X_1, ... , X_s \ sind \ hoechstens \ x ) [/mm]
[mm] \le \summe_{r=1}^s P ( genau \ s \ von \ den \ X_1, .... , X_s \ sind \ hoechstens \ x ) [/mm]
Bei der letzten Zeile, der Ungleichung, bin ich mir nicht 100%ig sicher....
Ist das so einigermaßen o.k?
Viele Grüße
Irmchen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 So 29.11.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
das verstehe ich nun gar nicht:
[mm] $\summe_{r=i}^s [/mm] P ( [mm] \text{genau $r$ von den
$X_1,\ldots, X_s$ sind hoechstens $x$})$
[/mm]
[mm] $=\summe_{r=i}^{s-1} [/mm] P [mm] (\text{genau $r_$ von den
$X_1,\ldots, X_s$ sind hoechstens $x$})+ P(\text{genau $s_$ von den $X_1,\ldots, X_s$ sind hoechstens $x$})$
[/mm]
[mm] $\ge P(\text{genau $s_$ von den
$X_1,\ldots, X_s$ sind hoechstens $x$})$
[/mm]
Aber warum willst du denn jetzt noch abschaetzen? Du hast doch die
Verteilungsfunktion der $i_$-ten Ordnungsstatistik gefunden.
>
> Ist das so einigermaßen o.k?
>
Einigermassen gibt's in der Mathematik nicht.
vg Luis
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:29 So 29.11.2009 | | Autor: | Irmchen |
Hallo ,
ich weiß, das ich diese gefunden habe...Danke nochmal ganz herzlich für den Literaturtipp!
Warum ich versuche abzuschätzen, ist weil ich zeigen muss, dass
[mm] P ( f(X) = x ) \le \summe_{i = 1 }^s P ( X_i = x ) [/mm].
Deswegen habe ich das gemacht....
Jetzt stellt sich bei mir nur die Frage, ob das richitg ist.. und ich habe bei der Verteilungsfunktion natürlicherweise [mm] P ( f(X) \le x ) [/mm] betrachtet, und nicht [mm] P ( f(X) = x ) [/mm]... Kann ich das einfach so lassen?
Viele Grüße
Irmchen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Mo 07.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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