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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:11 Mo 08.11.2010 | | Autor: | su92 |
| Aufgabe | 3 Eine Glühlampe, deren Lebensdauer exponentialverteilt ist,
brennt mit 90%iger Wahrscheinlichkeit mindestens 200 Stunden
(Sicherheitsgarantie des Herstellers).
a) Berechne die mittlere Brenndauer der Glühlampe.
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Glühlampe auch
noch nach 500 Stunden brennt.
c) Wie lange kann die Glühlampe in 95% der Fälle genutzt werden? |
Hallo,
ich konnte die Aufgabe nicht lösen...!
Ich könnte eine (erläuternde) Ansatz ;)) brauchen..
Bedanke mich im voraus :))
freundliche Güße SU92
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:59 Mo 08.11.2010 | | Autor: | Sigma |
Hallo su92,
als Ansatz empfehle ich:
X-Zufallsvariable: beschreibt Brenndauer der Glühlampe
$X [mm] \sim Exp(\lambda)$
[/mm]
$P(X [mm] \ge 200)=1-P(X<200)=1-F_X(\lambda)=0.9$
[/mm]
Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung einsetzen und [mm] $\lambda$ [/mm] bestimmen.
mfg sigma
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 Mo 08.11.2010 | | Autor: | su92 |
> Hallo sigma,
> als Ansatz empfehle ich:
>
> X-Zufallsvariable: beschreibt Brenndauer der Glühlampe
>
> [mm]X \sim Exp(\lambda)[/mm]
>
> [mm]P(X \ge 200)=1-P(X<200)=1-F_X(\lambda)=0.9[/mm]
>
Wie bestimmt mann denn [mm] \lambda [/mm] ?? Ich hab das nicht so verstanden:
> Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung einsetzen und
> [mm]\lambda[/mm] bestimmen.
Wie bestimmt mann denn [mm] \lambda [/mm] ?? Ich hab das nicht so verstanden:
> mfg sigma
Grüße Su92
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:53 Mo 08.11.2010 | | Autor: | Sigma |
> > Hallo sigma,
>
> > als Ansatz empfehle ich:
> >
> > X-Zufallsvariable: beschreibt Brenndauer der Glühlampe
> >
> > [mm]X \sim Exp(\lambda)[/mm]
> >
> > [mm]P(X \ge 200)=1-P(X<200)=1-F_X(\lambda)=0.9[/mm]
> >
> Wie bestimmt mann denn [mm]\lambda[/mm] ?? Ich hab das nicht so
> verstanden:
OK Sorry kleiner Fehler,
es muss natürlich [mm] F_X(200) [/mm] anstatt [mm] $F_X(\lambda) [/mm] $heißen.
Du hast hier eine Gleichung, wobei du für [mm] $F_X(200)$ [/mm] die Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung einsetzen musst. Dann must du die Gleichung nach [mm] \lambda [/mm] auflösen. Mit Kenntnis von [mm] \lambda [/mm] kannst du dann Aufgabe a-c lösen
[mm] $1-F_X(200)=0.9$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:13 Mo 08.11.2010 | | Autor: | su92 |
> es muss natürlich [mm]F_X(200)[/mm] anstatt [mm]F_X(\lambda) [/mm]heißen.
>
> Du hast hier eine Gleichung, wobei du für [mm]F_X(200)[/mm] die
> Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung einsetzen
> musst.
Wie sieht denn die Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung aus: Vielleicht so: (??)
0.9 = [mm] \integral_{200}^{\infty}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{200}^{\infty} \lambda \* [/mm] e ^ [mm] -\lambda [/mm] x
> Dann must du die Gleichung nach [mm]\lambda[/mm] auflösen.
habs mal ausprobiert: x = 200
0.9 = [mm] \integral_{200}^{\infty} \lambda \* [/mm] e ^ [mm] -\lambda [/mm] x | ln | : 200
ABER: dass kann garnicht sein :-/
> Mit Kenntnis von [mm]\lambda[/mm] kannst du dann Aufgabe a-c lösen
>
> [mm]1-F_X(200)=0.9[/mm]
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:36 Mo 08.11.2010 | | Autor: | Sigma |
> Wie sieht denn die Verteilungsfunktion der
> Exponentialverteilung aus: Vielleicht so: (??)
>
> 0.9 = [mm]\integral_{200}^{\infty}{f(x) dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{200}^{\infty} \lambda \*[/mm] e ^ [mm]-\lambda[/mm] x
Genau, die Gleichung mit dem Integral über die Dichtefunktion lautet
$0.9 = [mm] 1-\integral_{-\infty}^{200}{f(x) dx}=1-\integral_{-\infty}^{200}{\lambda e^{-\lambda x} dx}=\integral_{200}^{\infty} \lambda [/mm] e [mm] ^{-\lambda x}dx$
[/mm]
Einfacher ist es, wenn du dir direkt die Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung bei Wikipedia suchst. Dann brauchst du das Integral nicht zu berechnen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:31 Di 09.11.2010 | | Autor: | su92 |
> > Wie sieht denn die Verteilungsfunktion der
> > Exponentialverteilung aus: Vielleicht so: (??)
> >
> > 0.9 = [mm]\integral_{200}^{\infty}{f(x) dx}[/mm] =
> > [mm]\integral_{200}^{\infty} \lambda \*[/mm] e ^ [mm]-\lambda[/mm] x
>
>
> Genau, die Gleichung mit dem Integral über die
> Dichtefunktion lautet
>
> [mm]0.9 = 1-\integral_{-\infty}^{200}{f(x) dx}=1-\integral_{-\infty}^{200}{\lambda e^{-\lambda x} dx}=\integral_{200}^{\infty} \lambda e ^{-\lambda x}dx[/mm]
>
> Einfacher ist es, wenn du dir direkt die
> Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung bei Wikipedia
> suchst. Dann brauchst du das Integral nicht zu berechnen.
Verteilungsfunktion
Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung
ich hab mir das jetzt im Wikipedia angeguckt:
Die (kumulative) Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung
also muss dass nach meinen Werten so heißen:
F(x)= [mm]\integral_{-\infty}^{200}{f_{\lambda} dt}[/mm] = [mm] { 1 - e ^{-\lambda * x} [/mm]
Jetzt versuche ich [mm] \lambda [/mm] auszurechnen:
[mm] 0.9 = 1 - e ^{-\lambda * x [/mm] | - 1 | * (-1) | ln | : x
ich glaube nicht dass ich richtig nach [mm] \lambda [/mm] aufgelöst habe !
-.- Ich weißß nicht wie " [mm] \lambda [/mm] " ausrechnen soll !!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:44 Di 09.11.2010 | | Autor: | Sigma |
> ich hab mir das jetzt im Wikipedia angeguckt:
> Die (kumulative) Verteilungsfunktion der
> Exponentialverteilung
>
> also muss dass nach meinen Werten so heißen:
>
> F(x)= [mm]\integral_{-\infty}^{200}{f_{\lambda} dt}[/mm] = [mm]{ 1 - e ^{-\lambda * x}[/mm]
>
>
>
> Jetzt versuche ich [mm]\lambda[/mm] auszurechnen:
> [mm]0.9 = 1 - e ^{-\lambda * x [/mm] | - 1 | * (-1) | ln | : x
>
> ich glaube nicht dass ich richtig nach [mm]\lambda[/mm] aufgelöst
> habe !
> -.- Ich weißß nicht wie " [mm]\lambda[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
" ausrechnen soll !!!
$F(x)=\integral_{-\infty}^{x}{f_{\lambda} dt} = { 1 - e ^{-\lambda * x}$
$0.9=1-F_X(200)$
$0.9=1-( 1 - e ^{-\lambda * 200})$
$0.9= e ^{-\lambda * 200}$| Log
$Log(0.9)=-\lambda * 200*Log(e)$
$-0.1053605=-\lambda * 200*1$ |/(-200)
$0.000526803=\lambda$
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