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hallo,
kann mir einer bei folgender aufgabe helfen
ich blick die net.
| Aufgabe | Es sei [mm] $\delta [/mm] : [0,1] [mm] \to \{0,1\}$ [/mm] die Dirichlet-Funktion.
Bestimmen Sie alle stetigen Funktionen $f: [0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] für die $g: [0,1] [mm] \to \IR$, [/mm] $g(x)= (x- (1-x) [mm] \delta [/mm] (x)) f(x)$ stetig ist. |
die definition einer dirichlet funktion kenn ich, aber dann hört´s auch schon auf.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:32 Do 14.12.2006 | | Autor: | Marc |
Hallo roadrunnerms,
> Es sei [mm]\partial : [0,1] \to \{0,1\}[/mm] die
> Dirichlet-Funktion.
> Bestimmen Sie alle stetigen Funktionen [mm]f: [0,1] \to \IR[/mm]
> für die [mm]g: [0,1] \to \IR[/mm], [mm]g(x)= (x- (1-x) \partial (x)) f(x)[/mm]
> stetig ist.
[mm] $\delta(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x\in\IQ \\ 0, & \mbox{für } x\in\IR\setminus\IQ \end{cases}$
[/mm]
Damit haben wir für g die Darstellung
[mm] $g(x)=\begin{cases} (2x-1)*f(x), & \mbox{für } x\in\IQ \\ x*f(x), & \mbox{für } x\in\IR\setminus\IQ \end{cases}$
[/mm]
Fall 1: [mm] $x_0\in[0,1]\cap\IQ$
[/mm]
Damit g in [mm] $x_0$ [/mm] stetig ist, müsste (unter anderem) gelten:
[mm] $\lim_{{x\to x_0\atop x\in\IR\setminus\IQ}} g(x)=g(x_0)$ [/mm] (dies ist ein "Teillimes" von [mm] $\lim_{x\to x_0} [/mm] g(x)$, der ja bei Stetigkeit von $g$ den Wert [mm] $g(x_0)$ [/mm] hat)
[mm] $\gdw\ \lim_{{x\to x_0\atop x\in\IR\setminus\IQ}} x*f(x)=(2x_0-1)*f(x_0)$
[/mm]
f soll auch stetig sein, also haben wir
[mm] $\gdw\ x_0*f(x_0)=(2x_0-1)*f(x_0)$
[/mm]
[mm] $\gdw\ 0=(x_0-1)*f(x_0)$
[/mm]
[mm] $\gdw\ x_0=1\ \vee\ f(x_0)=0$
[/mm]
Fall 2: [mm] $x_0\in[0,1]\cap\IR\setminus\IQ$
[/mm]
Damit g in [mm] $x_0$ [/mm] stetig ist, müsste (unter anderem) gelten:
[mm] $\lim_{{x\to x_0\atop x\in\IQ}} g(x)=g(x_0)$
[/mm]
[mm] $\gdw\ \lim_{{x\to x_0\atop x\in\IR\setminus\IQ}} (2x-1)*f(x)=x_0*f(x_0)$
[/mm]
f soll auch stetig sein, also haben wir
[mm] $\gdw\ (2x_0-1)*f(x_0)=x_0*f(x_0)$
[/mm]
[mm] $\gdw\ 0=(x_0-1)*f(x_0)$
[/mm]
[mm] $\gdw\ x_0=1\ \vee\ f(x_0)=0$
[/mm]
Zusammenfassend muss [mm] $f(x_0)=0$ [/mm] auf dem halboffenen Intervall $(0,1]$ gelten.
In [mm] $x_0=1$ [/mm] muss aber auch [mm] $f(x_0)=0$ [/mm] gelten, da dies aus der Stetigkeit von f und [mm] $f(1)=\lim_{x\to 1} [/mm] f(x)=0$ folgt.
Die einzige stetige Funktion f ist also die Nullfunktion.
Viele Grüße,
Marc
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