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| Aufgabe | Sei [mm] x_{0} \in \IR [/mm] und f: [mm] \IR \to \IR [/mm] def. durch f(x):= [mm] \bruch{x^{2}}{1+x^{2}}.
[/mm]
Zeigen sie die Stetigkeit von f in [mm] x_{0} [/mm] mit einem [mm] \varepsilon-\delta-Beweis. [/mm] |
guten aben
ich habe zwar einen ansatz, bin mir aber nicht sicher ob ich das so richtig verstanden habe, oder total in die falsche richtung gehe. vielleicht könnte mir jemand helfen.
mein ansatz:
[mm] d(f(x),f(x_{0})) [/mm] = [mm] |\bruch{x^{2}}{1+x^{2}} [/mm] - [mm] x_{0}| [/mm] = [mm] |\bruch{x}{1+x^{2}} [/mm] - [mm] x_{0}| [/mm] * [mm] |\bruch{x}{1+x^{2}} [/mm] + [mm] x_{0}| \le |\bruch{x}{1+x^{2}} [/mm] - [mm] x_{0}| [/mm] * [mm] (\bruch{|x|}{|1+x^{2}|} [/mm] + [mm] |x_{0}|)
[/mm]
der nächste schritt wäre abschätzen, glaube ich. bin mir aber nicht sicher.
gruß
schneeweisschen
ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt.
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> Sei [mm]x_{0} \in \IR[/mm] und f: [mm]\IR \to \IR[/mm] def. durch f(x):=
> [mm]\bruch{x^{2}}{1+x^{2}}.[/mm]
> Zeigen sie die Stetigkeit von f in [mm]x_{0}[/mm] mit einem
> [mm]\varepsilon-\delta-Beweis.[/mm]
>
> [mm]d(f(x),f(x_{0}))[/mm] = [mm]|\bruch{x^{2}}{1+x^{2}}[/mm] - [mm]x_{0}|[/mm]
Hallo,
daß ist so nicht richtig, Du mußt ja [mm] d(f(x),f(x_{0}))=|f(x)-f(x_0)| [/mm] abschätzen bei vorgegebenen [mm] \varepsilon [/mm] und dazu passendem [mm] \delta.
[/mm]
Gruß v. Angela
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hallo
> daß ist so nicht richtig, Du mußt ja
> [mm]d(f(x),f(x_{0}))=|f(x)-f(x_0)|[/mm] abschätzen bei vorgegebenen
> [mm]\varepsilon[/mm] und dazu passendem [mm]\delta.[/mm]
dann bin ich ziemlich ratlos. die beispielaufgabe in der übung war sehr simpel. und irgendwie krieg ichs nicht hin sie auf diese zu übertragen. aber wenn ich [mm] d(f(x),f(x_{0})) [/mm] = [mm] |f(x)-f(x_0)| [/mm] abschätzen muss, wäre doch meine nächster schritt:
[mm] d(f(x),f(x_{0})) [/mm] = [mm] |f(x)-f(x_0)| [/mm] = [mm] |\bruch{x^{2}}{1+x^{2}}-x_{0}| [/mm] oder nicht?
gruß
schneeweisschen
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Kühlen Kopf bewahren!
[mm] f(x)=\bruch{x^{2}}{1+x^{2}}
[/mm]
[mm] f(y)=\bruch{y^{2}}{1+y^{2}}
[/mm]
[mm] f(x_0)= [/mm] ...
Gruß v. Angela
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hallo
ich habs schon fast geahnt dass [mm] |\bruch{x^{2}}{1+x^{2 }}-x_{0}| [/mm] falsch ist.
dann müsste es ja [mm] |\bruch{x^{2}}{1+x^{2 }} [/mm] - [mm] \bruch{x_{0}^{2}}{1+x_{0}^{2}}| [/mm] sein.
in der übung war f(x):= [mm] x^{3} [/mm] und dort waren die schritte so:
[mm] |x^{3} [/mm] - [mm] x_{0}^{3}| [/mm] = |x - [mm] x_{0}| [/mm] * [mm] |x^{2} [/mm] + [mm] xx_{0} [/mm] + [mm] x_{0}^{2}|
[/mm]
wäre bei dieser aufgabe der nächste schritt so:
[mm] |\bruch{x^{2}}{1+x^{2 }} [/mm] - [mm] \bruch{x_{0}^{2}}{1+x_{0}^{2}}| [/mm] = [mm] |\bruch{x}{1+x^{2 }} [/mm] - [mm] \bruch{x_{0}}{1+x_{0}^{2}}| [/mm] * | ??? |
mich irritiert der nenner hier.
danke
gruß
schneeweisschen
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> hallo
>
> ich habs schon fast geahnt dass [mm]|\bruch{x^{2}}{1+x^{2 }}-x_{0}|[/mm]
> falsch ist.
> dann müsste es ja [mm]|\bruch{x^{2}}{1+x^{2 }}[/mm] -
> [mm]\bruch{x_{0}^{2}}{1+x_{0}^{2}}|[/mm] sein.
>
> in der übung war f(x):= [mm]x^{3}[/mm] und dort waren die schritte
> so:
> [mm]|x^{3}[/mm] - [mm]x_{0}^{3}|[/mm] = |x - [mm]x_{0}|[/mm] * [mm]|x^{2}[/mm] + [mm]xx_{0}[/mm] +
> [mm]x_{0}^{2}|[/mm]
>
> wäre bei dieser aufgabe der nächste schritt so:
> [mm]|\bruch{x^{2}}{1+x^{2 }}[/mm] - [mm]\bruch{x_{0}^{2}}{1+x_{0}^{2}}|[/mm]
> = [mm]|\bruch{x}{1+x^{2 }}[/mm] - [mm]\bruch{x_{0}}{1+x_{0}^{2}}|[/mm] * |
> ??? |
>
Gerechnet habe ich noch nichts...
Ich würd's auf den Hauptnenner bringen, und versuchen, dann im Zähler irgendwie [mm] |x-x_0| [/mm] herauszuziehen, denn Du willst ja Dein zum [mm] \varepsilon [/mm] passendes [mm] \delta [/mm] ins Spiel bringen.
Gruß v. Angela
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hallo
hab den letzten rat befolgt, und bin auf dies gekommen. als nächstens muss man abschätzen, und das klappt bei mir leider garnich.
[mm] d(f(x),f(x_{0})) [/mm] = [mm] |\bruch{x^{2}}{1+x^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{x_{0}^{2}}{1+x_{0}^{2}}| [/mm]
= [mm] |\bruch{x^{2}(1+x_{0}^{2})}{(1+x^{2})(1+x_{0}^{2})} [/mm] - [mm] \bruch{x_{0}^{2}(1+x^{2})}{(1+x^{2})(1+x_{0}^{2})}| [/mm]
= [mm] |\bruch{x^{2}+(xx_{0})^{2}}{(1+x^{2})(1+x_{0}^{2})} [/mm] - [mm] \bruch{x_{0}^{2}+(xx_{0})^{2}}{(1+x^{2})(1+x_{0}^{2})}| [/mm]
= [mm] |\bruch{x^{2}-x_{0}^{2}}{(1+x^{2})(1+x_{0}^{2})}| [/mm]
= [mm] |x-x_{0}| [/mm] * [mm] |\bruch{x+x_{0}}{(1+x^{2})(1+x_{0}^{2})}| [/mm]
[mm] \le |x-x_{0}| [/mm] * [mm] (\bruch{|x|}{|1+x^{2}| |1+x_{0}^{2}|} [/mm] + [mm] \bruch{|x_{0}|}{|1+x^{2}| |1+x_{0}^{2}|})
[/mm]
[mm] \le |x-x_{0}| [/mm] * Abschätzung???
gruß
schneeweisschen
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> [mm]\le |x-x_{0}|[/mm] * [mm](\bruch{|x|}{|1+x^{2}| |1+x_{0}^{2}|}[/mm] +
> [mm]\bruch{|x_{0}|}{|1+x^{2}| |1+x_{0}^{2}|})[/mm]
Hallo,
[mm] ...<|x-x_{0}|*(|x|+|x_0|)
[/mm]
Gruß v. Angela
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