stetigkeit < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:28 Do 13.03.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo,
ich habe da eine frage zur stetigkeit,man hat die funktion f(x):=x*sin(1/x); [mm] f:]0,1]\to\IR [/mm] gegeben und man soll prüfen ob sie gleichm. stetig ist.kann man jetzt nicht einfach sagen,das [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} [/mm] f(x) definiert ist und f somit stetig ist aber wie soll man jetzt gleichm.stetigkeit beweisen,die funktion ist ja nicht auf einem abgeschlossenen intervall definiert.wie zeige ich also gleichmäßige stetigkeit?danke für hilfe
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:02 Do 13.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hallo,
> ich habe da eine frage zur stetigkeit,man hat die funktion
> f(x):=x*sin(1/x); [mm]f:]0,1]\to\IR[/mm] gegeben und man soll
> prüfen ob sie gleichm. stetig ist.kann man jetzt nicht
> einfach sagen,das [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}[/mm] f(x) definiert
> ist und f somit stetig ist
ja, das heißt, dass man die Funktion mit der Definition $f(0):=0$ stetig fortsetzen kann.
> aber wie soll man jetzt
> gleichm.stetigkeit beweisen,die funktion ist ja nicht auf
> einem abgeschlossenen intervall definiert.wie zeige ich
> also gleichmäßige stetigkeit?danke für hilfe
> gruß
Also, ich würde es mit Deiner Idee so machen:
Wir betrachten obiges $f$ und die Funktion $g: [0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] definiert durch $g(0)=0$ und $g(x):=f(x)$, falls $x [mm] \in [/mm] (0,1]$.
Begründen solltest Du kurz, dass [mm] $\lim_{x \to 0 \mbox{ und } x > 0}f(x)=0$, [/mm] denn damit folgt, dass $g$ stetig auf dem Kompaktum $[0,1]$ ist. Damit ist $g$ dann gleichmäßig stetig.
Insbesondere ist damit dann [mm] $g_{|(0,1]}$, [/mm] also die Einschränkung von $g$ auf $(0,1]$, glm. stetig. Per Definitionem gilt aber [mm] $f=g_{|(0,1]}$, [/mm] also ist somit gezeigt, dass $f$ glm. stetig ist.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Do 13.03.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo,
danke für deine hilfe also habe ich das so richtig verstanden?,du sagst im prinzip dass g(x) stetig auf [0,1] ist und deshalb auch gleichmäßig stetig auf ]0,1] sein muss,da das intervall "kleiner" ist?!gäbe es noch eine andere möglichkeit um das zu zeigen?
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:30 Do 13.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
sicherlich gibt es auch noch eine andere Möglichkeit, die glm. Stetigkeit zu beweisen. Zum einen per Definitionem muss es klappen, nur fällt mir da keine passende Abschätzung ein 
Vielleicht fällt Dir ja selbst eine ein? Leider ist $g$, wenn ich das gerade richtig sehe, nicht (rechtsseitig) differenzierbar an der Stelle $0$, sonst hätte ich da vll. eher eine Idee... Aber momentan stehe ich da selbst ein wenig auf dem Schlauch, wie man das per Definitionem nachweisen könnte...
Dann habe ich zudem vor kurzem noch eine Charakterisierung der glm. Stetigkeit mittels eines Folgenkriteriums formuliert, das findest Du hier:
https://matheraum.de/read?i=379884
Aber auch da bräuchtest Du eine geeignete Abschätzung für Deine Funktion oben, indem Sinne "bringt" es Dir hier nicht wirklich viel, wenn Du nur versuchst, dieses Kriterium anzuwenden...
Vielleicht noch zu der anderen Frage:
Ja, $g$ war auf $[0,1]$ glm. stetig, und damit auch auf $(0,1]$.
Generell:
Wenn eine Funktion $h$ glm. stetig auf einer Menge $M$ ist, dann ist sie das auch auf jeder Teilmenge $N [mm] \subset [/mm] M$:
(Der Einfachheit halber nehme ich an, dass $M [mm] \subset \IR$ [/mm] und $h$ reellwertig, es läßt sich aber auch allgemeiner formulieren, nur die Argumente gehen vollkommen analog.)
Sei $h$ glm. stetig auf $M$. Ist dann [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$, so gibt es ein [mm] $\delta [/mm] > 0$, dass für alle $x,y [mm] \in [/mm] M$ mit [mm] $|x-y|<\delta$ [/mm] schon folgt, dass [mm] $|h(x)-h(y)|<\varepsilon$.
[/mm]
Nun gilt aber:
Für alle $x,y [mm] \in [/mm] N$ mit [mm] $|x-y|<\delta$ [/mm] gilt wegen $N [mm] \subset [/mm] M$ dann auch, dass $x,y [mm] \in [/mm] M$ sind mit [mm] $|x-y|<\delta$, [/mm] und damit gilt dann auch [mm] $|h(x)-h(y)|<\varepsilon$.
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:21 Fr 14.03.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo marcel,
danke nochmal für deine hilfe.wenn man zb.die funktion gegeben hat,die wie folgt definiert [mm] ist,f:[0,1]\to\IR [/mm] für f(0):=0,f(x)=sin(x)*log(x) für [mm] x\in]0,1], [/mm] -prüfe gleichmäßig stetig?ich würde die ganz kurz lösen,indem ich sage dass die fuktion auf allen werten des definitionsbereichs definiert ist und damit stetig auf [0,1] ist und somit gleichm. stetig auf [0,1] aber ich glaube so einfach ist das nicht oder?da ist mehr verlangt,vlt nen beweis oder sowas?
gruß
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>wenn man zb.die funktion
> gegeben hat,die wie folgt definiert [mm]ist,f:[0,1]\to\IR[/mm] für
> f(0):=0,f(x)=sin(x)*log(x) für [mm]x\in]0,1],[/mm] -prüfe
> gleichmäßig stetig?ich würde die ganz kurz lösen,indem ich
> sage dass die fuktion auf allen werten des
> definitionsbereichs definiert ist und damit stetig auf
> [0,1] ist
Hallo,
der Schluß v. "überall definiert" zu "stetig" ist aber ein bißchen flott, oder?
Aber im Prinzip kannst Du es so machen, wie Du sagst: Du zeigst, daß Deine Funktion f stetig ist auf [0,1],
folglich ist sie glm. stetig auf [0,1] (stetige Funktionen auf kompakten Intervallen),
und damit ist auch ihre Einschränkung auf ]0,1] stetig.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:48 Fr 14.03.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo,
danke für die antwort,wie zeige ich denn,dass die funktion auf [0,1] stetig ist?einfach jeweils die grenzen des intervalls einsetzten und da diese definiert sind,ist sie stetig?das reicht an erklärung für stetigkeit?mein problem ist,wie schreibe ich es hin,sodass es den korrektoren als erklärung reicht.
gruß
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> wie zeige ich denn,dass die funktion
> auf [0,1] stetig ist?einfach jeweils die grenzen des
> intervalls einsetzten und da diese definiert sind,ist sie
> stetig?das reicht an erklärung für stetigkeit?
Hallo,
nein, das reicht überhaupt nicht!
Es ist doch icht jede Funktion, die irgendwo definiert ist, stetig.
Die Stetigkeit Deiner Funktion steht ja lediglich im Punkt 0 in Frage, im Intervall (0,1] ist sie ja als produkt stetiger Funktionen stetig.
Die Stetigkeit an der Stelle 0 kannst Du angehen, indem Du irgendwie den Grenzwert von f(x)=sin(x)*log(x) für [mm] x\to [/mm] 0 ermittelst.
Gruß v. Angela
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