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hallo ich möchte zeigen, das
[mm] f(n)=\begin{cases} x*cos \frac{1}{x}, x\not = 0 \\ 0 \mbox{ x=0} \end{cases}
[/mm]
nach dem [mm] \varepsilon \delta [/mm] -Kriterium stetig ist. wir hatten in der vorlesung, dass das produkt stetiger funktionen wieder stetig ist.
nun möchte ich zeigen das cos [mm] \frac{1}{x} [/mm] stetig ist.
beim meinem beweis bleibe ich da stecken:
[mm] |f(x)-f(x_0)|=|cos \frac{1}{x}-cos \frac{1}{x_0}|
[/mm]
gibt es hier irgendeine anschätzung???
liebe grüße
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Hallo Sachsen-Junge,
> hallo ich möchte zeigen, das
> [mm] $f(\red{x})=\begin{cases} x\cdot{}cos\left(\frac{1}{x}\right) \ \text{für} \ x\neq 0 \\ 0 \ \text{für} \ x=0 \end{cases}$
[/mm]
>
> nach dem [mm]\varepsilon \delta[/mm] -Kriterium stetig ist. wir
> hatten in der vorlesung, dass das produkt stetiger
> funktionen wieder stetig ist.
Dann nutze das!
>
> nun möchte ich zeigen das cos [mm]\frac{1}{x}[/mm] stetig ist.
Das ist die Hölle 
Hattet ihr nicht einen Satz, dass die Verkettung stetiger Funktionen weider stetig ist?
Dann ist nämlich [mm] $\frac{1}{x}$ [/mm] auf [mm] $\IR\setminus\{0\}$ [/mm] stetig, der Kosinus sowieso, also auch [mm] $\cos\left(\frac{1}{x}\right)$ [/mm] auf [mm] $\IR\setminus\{0\}$ [/mm] stetig.
Damit reduziert sich die ganze Aufgabe darauf, zu schauen, ob das Biest an der Nahtstelle $x=0$ stetig ist.
(Das wäre so das übliche Vorgehen bei derart Aufgaben)
Dazu kannst du dir entweder den rechtsseitigen und linksseitigen Limes von $f(x)$ für [mm] $x\downarrow\uparrow [/mm] 0$ angucken
Oder alternativ statt [mm] $\lim\limits_{x\downarrow\uparrow 0}x\cdot{}\cos\left(\frac{1}{x}\right)$ [/mm] den [mm] $\lim\limits_{x\to\pm\infty}\frac{\cos(x)}{x}$ [/mm] angucken ...
> beim meinem beweis bleibe ich da stecken:
>
> [mm]|f(x)-f(x_0)|=|cos \frac{1}{x}-cos \frac{1}{x_0}|[/mm]
>
> gibt es hier irgendeine anschätzung???
K.A., ist aber m.E. auch viel zu große Mühe (siehe Bem. oben)
Ich lasse es aber mal auf teilweise beantwortet ...
>
> liebe grüße
>
>
Ebenso
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mi 27.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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