stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:18 Sa 25.09.2010 | | Autor: | perl |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Funktion f: [mm] IR^{2}-->IR [/mm] [mit x:=(x,y)]
f(x,y):=
für [mm] x\not=0: \bruch{2xy}{x^{2}+y^{2}}
[/mm]
für x=0: 0
(überall) part. diffb. ist, und bestimmen Sie die part. Abl. . Sind diese stetig? |
Es gilt f ist für alle (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0) part. nach x und y diffb. da Komposition diffbarer Fkt. .
[mm] \bruch{d}{dx} [/mm] f(x,y)= [mm] \bruch{2y^{3}-2yx^{2}}{(x^{2}y^{2})^{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{d}{dy} [/mm] f(x,y)= [mm] \bruch{2x^{3}-2xy^{2}}{(x^{2}y^{2})^{2}}
[/mm]
Genauere Überprüfung im Nullpunkt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\0} \bruch{f(n,0)- f(0,0)}{n}=0
[/mm]
für (0,n) analog
--> [mm] \bruch{df}{dx} [/mm] (0,0)= [mm] \bruch{df}{dy} [/mm] (0,0) also ist f in (0,0) partitiell diffb..
so weit so gut, ich denke das dürfte stimmen... aber nun kommen meine Fragen:
gilt nicht "differentierbarkeit impliziert stetigkeit"??? als ergebnis wird im folgenden gezeigt dass im nullpunkt keine stetigkeit vorliegt.
In meiner Lösung wird mit der Nullfolge [mm] (1/n,1/n^{2}) [/mm] argumentiert, wie komm ich überhaupt auf die idee??
[mm] \limes_{n\rightarrow\ \infty} \bruch{d}{dx} f(1/n,1/n^{2})=-2
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\ \infty} \bruch{d}{dy} f(1/n^{2}, [/mm] 1/n)=-2
(warum läuft hier der limes gegen [mm] \infty???)
[/mm]
--> nicht stetig in f(0,0)
ich verstehe den teil mit der stetigkeit hier überhaupt nicht!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
eine Funktion kann in einem Punkt partiell nach allen Variablen diff'bar sein, ohne dass sie dort stetig ist. Sie ist dann in dem betreffenden Punkt aber natürlich nicht differenzierbar schlechthin. Also nicht total Differenzierbar im betreffenden Punkt.
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> In meiner Lösung wird mit der Nullfolge [mm](1/n,1/n^{2})[/mm]
> argumentiert, wie komm ich überhaupt auf die idee??
Siehe Definition von Stetigkeit.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\ \infty} \bruch{d}{dx} f(1/n,1/n^{2})=-2[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\ \infty} \bruch{d}{dy} f(1/n^{2},[/mm]
> 1/n)=-2
>
> (warum läuft hier der limes gegen [mm]\infty???)[/mm]
Weil $ [mm] \frac{1}{n} [/mm] $ nur für $ n [mm] \to \infty$ [/mm] eine Nullfolge ist.
> --> nicht stetig in f(0,0)
>
>
> ich verstehe den teil mit der stetigkeit hier überhaupt
> nicht!
>
Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Sa 25.09.2010 | | Autor: | perl |
> Hallo,
>
> eine Funktion kann in einem Punkt partiell nach allen
> Variablen diff'bar sein, ohne dass sie dort stetig ist. Sie
> ist dann in dem betreffenden Punkt aber natürlich nicht
> differenzierbar schlechthin. Also nicht total
> Differenzierbar im betreffenden Punkt.
>
>
> >
> > In meiner Lösung wird mit der Nullfolge [mm](1/n,1/n^{2})[/mm]
> > argumentiert, wie komm ich überhaupt auf die idee??
>
> Siehe Definition von Stetigkeit.
Tut mir leid aber ich finde nix wo stetigkeit mit Hilfe von Nullfolgen definiert ist. Kann mir wer die Definition oder einen Link posten?
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\ \infty} \bruch{d}{dx} f(1/n,1/n^{2})=-2[/mm]
>
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\ \infty} \bruch{d}{dy} f(1/n^{2},[/mm]
> > 1/n)=-2
> >
> > (warum läuft hier der limes gegen [mm]\infty???)[/mm]
>
>
> Weil [mm]\frac{1}{n}[/mm] nur für [mm]n \to \infty[/mm] eine Nullfolge ist.
>
> > --> nicht stetig in f(0,0)
> >
> >
> > ich verstehe den teil mit der stetigkeit hier überhaupt
> > nicht!
> >
>
> Grüße
> ChopSuey
>
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Hi,
Def.: Sei $ f: D [mm] \to \IR [/mm] $ eine Funktion und $ a [mm] \in [/mm] D $. Die Funktion f heißt stetig im Punkt a, falls
$ [mm] \lim_{x \to a} [/mm] f(x) = f(a) $
aus Otto Forster "Analysis I"
Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 Sa 25.09.2010 | | Autor: | perl |
> Hi,
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> Def.: Sei [mm]f: D \to \IR[/mm] eine Funktion und [mm]a \in D [/mm]. Die
> Funktion f heißt stetig im Punkt a, falls
>
> [mm]\lim_{x \to a} f(x) = f(a)[/mm]
ja ok die definition kenn ich natürlich. bitte hab jetzt bischen geduld^^
wir wollen ja zeifen dass die partielle ableitung nach x nicht stetig ist im punkt (0,0). wie kommt man auf die idee x:=1/n und [mm] y:=1/n^{2} [/mm] zu setzten?!?
[mm]\lim_{x \to a} f(x) = f(a)[/mm]
heißt doch, dass der limes, wenn man ihn für die funktion f(x) gegen den wert a laufen lässt, das gleich ergibt als wenn man den wert a direkt in f einsetzt-->f(a)
wieso lässt man den limes also hier geg. [mm] \infty [/mm] laufen?
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Hi,
> > Hi,
> >
> > Def.: Sei [mm]f: D \to \IR[/mm] eine Funktion und [mm]a \in D [/mm]. Die
> > Funktion f heißt stetig im Punkt a, falls
> >
> > [mm]\lim_{x \to a} f(x) = f(a)[/mm]
>
> ja ok die definition kenn ich natürlich. bitte hab jetzt
> bischen geduld^^
die bringt hier jeder mit 
>
> wir wollen ja zeifen dass die partielle ableitung nach x
> nicht stetig ist im punkt (0,0). wie kommt man auf die idee
> x:=1/n und [mm]y:=1/n^{2}[/mm] zu setzten?!?
Ist eine reelle Funktion $ f $ in einem Punkt $ a $ ihres Definitionsbereichs $ D $ stetig, so konvergiert für jede Folge $ [mm] x_n$ [/mm] aus $ D $ mit $ [mm] x_n \to [/mm] a $ immer auch $ [mm] f(x_n) \to [/mm] f(a) $.
Also $ [mm] \lim_{x \to a}f(x) [/mm] = f(a) $
In Deinem Fall muss also, damit deine partiellen Ableitungen im Punkt Null stetig sind, jede Nullfolge, gegen $ [mm] \frac{\partial f(0,0)}{x_i} [/mm] = 0$ konvergieren.
Mit $ [mm] \frac{1}{n} [/mm] $ und $ [mm] \frac{1}{n^2} [/mm] $ existieren aber bereits zwei sehr einfache Nullfolgen, für die
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\ \infty} \bruch{d}{dx} f(1/n,1/n^{2})=-2 [/mm] $
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\ \infty} \bruch{d}{dy} f(1/n^{2}, [/mm] 1/n)=-2 $
Also sind die part. Ableitungen im Nullpunkt nicht stetig.
Grüße
ChopSuey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 Sa 25.09.2010 | | Autor: | perl |
> > > Def.: Sei [mm]f: D \to \IR[/mm] eine Funktion und [mm]a \in D [/mm]. Die
> > > Funktion f heißt stetig im Punkt a, falls
> > >
> > > [mm]\lim_{x \to a} f(x) = f(a)[/mm]
> >
> > ja ok die definition kenn ich natürlich. bitte hab jetzt
> > bischen geduld^^
>
> die bringt hier jeder mit
>
> >
> > wir wollen ja zeifen dass die partielle ableitung nach x
> > nicht stetig ist im punkt (0,0). wie kommt man auf die idee
> > x:=1/n und [mm]y:=1/n^{2}[/mm] zu setzten?!?
>
> Ist eine reelle Funktion [mm]f[/mm] in einem Punkt [mm]a[/mm] ihres
> Definitionsbereichs [mm]D[/mm] stetig, so konvergiert für jede
> Folge [mm]x_n[/mm] aus [mm]D[/mm] mit [mm]x_n \to a[/mm] immer auch [mm]f(x_n) \to f(a) [/mm].
ok, is es richtig wenn ich es so auffasse:
da unsere partielle abl. im punkt a (hier (0,0) ) nach x gegen 0 geht, kann ich jede beliebige folge in f einsetzen die gegen a konvergiert, wobei der grenzwert dabei der gleiche bleibt.
die nullfolge konvergiert gegen 0, so wie auch unser grenzwert der part. abl. .
da jedoch nicht der selbe grenzwert rauskommt wenn ich die nullfolge in f einsetzte ist die funktion nicht stetig.
???
und 1/n, [mm] 1/n^{2} [/mm] nehm ich deshalb her, weil ich von ihnen weiß, dass sie gegen 0 konvergiert.
(also war das jetzt quasi wegen der vermutung einfach ausprobiert, ob f(1/n, [mm] 1/n^{2}) [/mm] auch gegen 0 geht?)
wenn ich nicht auf die idee mit den nullfolgen kommen würde, könnte ich die aufgabe dann auch anders lösen?
DANKE DANKE DANKE :)
> Also [mm]\lim_{x \to a}f(x) = f(a)[/mm]
>
> In Deinem Fall muss also, damit deine partiellen
> Ableitungen im Punkt Null stetig sind, jede Nullfolge,
> gegen [mm]\frac{\partial f(0,0)}{x_i} = 0[/mm] konvergieren.
>
> Mit [mm]\frac{1}{n}[/mm] und [mm]\frac{1}{n^2}[/mm] existieren aber bereits
> zwei sehr einfache Nullfolgen, für die
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\ \infty} \bruch{d}{dx} f(1/n,1/n^{2})=-2[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\ \infty} \bruch{d}{dy} f(1/n^{2}, 1/n)=-2[/mm]
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> Also sind die part. Ableitungen im Nullpunkt nicht stetig.
>
>
>
> Grüße
> ChopSuey
>
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:48 Sa 25.09.2010 | | Autor: | abakus |
> > > > Def.: Sei [mm]f: D \to \IR[/mm] eine Funktion und [mm]a \in D [/mm]. Die
> > > > Funktion f heißt stetig im Punkt a, falls
> > > >
> > > > [mm]\lim_{x \to a} f(x) = f(a)[/mm]
> > >
> > > ja ok die definition kenn ich natürlich. bitte hab jetzt
> > > bischen geduld^^
> >
> > die bringt hier jeder mit
> >
> > >
> > > wir wollen ja zeifen dass die partielle ableitung nach x
> > > nicht stetig ist im punkt (0,0). wie kommt man auf die idee
> > > x:=1/n und [mm]y:=1/n^{2}[/mm] zu setzten?!?
> >
> > Ist eine reelle Funktion [mm]f[/mm] in einem Punkt [mm]a[/mm] ihres
> > Definitionsbereichs [mm]D[/mm] stetig, so konvergiert für jede
> > Folge [mm]x_n[/mm] aus [mm]D[/mm] mit [mm]x_n \to a[/mm] immer auch [mm]f(x_n) \to f(a) [/mm].
>
> ok, is es richtig wenn ich es so auffasse:
> da unsere partielle abl. im punkt a (hier (0,0) ) nach x
> gegen 0 geht, kann ich jede beliebige folge in f einsetzen
> die gegen a konvergiert, wobei der grenzwert dabei der
> gleiche bleibt.
> die nullfolge konvergiert gegen 0, so wie auch unser
> grenzwert der part. abl. .
> da jedoch nicht der selbe grenzwert rauskommt wenn ich die
> nullfolge in f einsetzte ist die funktion nicht stetig.
> ???
> und 1/n, [mm]1/n^{2}[/mm] nehm ich deshalb her, weil ich von ihnen
> weiß, dass sie gegen 0 konvergiert.
> (also war das jetzt quasi wegen der vermutung einfach
> ausprobiert, ob f(1/n, [mm]1/n^{2})[/mm] auch gegen 0 geht?)
>
> wenn ich nicht auf die idee mit den nullfolgen kommen
> würde, könnte ich die aufgabe dann auch anders lösen?
Hallo
bilde doch den Grenzwert für die Annäherung an den Punkt (0/0) mal auf verschiedene Weise:
Näherst du dich dem Punkt (0/0) auf der Geraden y=x, wird $ [mm] \bruch{2xy}{x^{2}+y^{2}} [/mm] $ zu $ [mm] \bruch{2x^2}{x^{2}+x^{2}} [/mm] $ und somit zu 1.
Näherst du dich dem Punkt (0/0) auf der Geraden y=-x, wird $ [mm] \bruch{2xy}{x^{2}+y^{2}} [/mm] $ zu $ [mm] \bruch{-2x^2}{x^{2}+x^{2}} [/mm] $ und somit zu -1.
Näherst du dich dem Punkt (0/0) auf der Geraden y=0, wird $ [mm] \bruch{2xy}{x^{2}+y^{2}} [/mm] $ zu $ [mm] \bruch{0}{x^{2}} [/mm] $ und somit zu 0.
Bei jeder Annäherung ein anderer Grenzwert???
Gruß Abakus
>
>
> DANKE DANKE DANKE :)
> > Also [mm]\lim_{x \to a}f(x) = f(a)[/mm]
> >
> > In Deinem Fall muss also, damit deine partiellen
> > Ableitungen im Punkt Null stetig sind, jede Nullfolge,
> > gegen [mm]\frac{\partial f(0,0)}{x_i} = 0[/mm] konvergieren.
> >
> > Mit [mm]\frac{1}{n}[/mm] und [mm]\frac{1}{n^2}[/mm] existieren aber bereits
> > zwei sehr einfache Nullfolgen, für die
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\ \infty} \bruch{d}{dx} f(1/n,1/n^{2})=-2[/mm]
>
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\ \infty} \bruch{d}{dy} f(1/n^{2}, 1/n)=-2[/mm]
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> >
> > Also sind die part. Ableitungen im Nullpunkt nicht stetig.
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> > Grüße
> > ChopSuey
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